(一)完全平方数的性质

1、(一)完全平方数的性质  一个数如果是另一个整数的完全平方，那么我们就称这个数为完全平方数，也叫做平方数。例如：  0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,441,484,  观察这些完全平方数，可以获得对它们的个位数、十位数、数字和等的规律性的认识。下面我们来研究完全平方数的一些常用性质：  性质1：完全平方数的末位数只能是0,1,4,5,6,9。  性质2：奇数的平方的个位数字为奇数，十位数字

2、为偶数。  证明奇数必为下列五种形式之一：  10a+1, 10a+3, 10a+5, 10a+7, 10a+9  分别平方后，得  (10a+1)=100+20a+1=20a(5a+1)+1  (10a+3)=100+60a+9=20a(5a+3)+9  (10a+5)=100+100a+25=20(5a+5a+1)+5  (10a+7)=100+140a+49=20(5a+7a+2)+9  (

3、10a+9)=100+180a+81=20   (5a+9a+4)+1  综上各种情形可知：奇数的平方，个位数字为奇数1,5,9；十位数字为偶数。  性质3：如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6；反之，如果完全平方数的个位数字是6，则它的十位数字一定是奇数。  证明已知=10k+6，证明k为奇数。因为的个位数为6，所以m的个位数为4或6，于是可设m=10n+4或10n+6。则  10k+6=(10n+4)=100+(8n+1)x10+6  或10k

4、+6=(10n+6)=100+(12n+3)x10+6  即k=10+8n+1=2(5+4n)+1  或k=10+12n+3=2(5+6n)+3  k为奇数。  推论1：如果一个数的十位数字是奇数，而个位数字不是6，那么这个数一定不是完全平方数。  推论2：如果一个完全平方数的个位数字不是6，则它的十位数字是偶数。  性质4：偶数的平方是4的倍数；奇数的平方是4的倍数加1。  这是因为(2k+1)=4k(k+1)+1  (2k)=4&#

5、160; 性质5：奇数的平方是8n+1型；偶数的平方为8n或8n+4型。  在性质4的证明中，由k(k+1)一定为偶数可得到(2k+1)是8n+1型的数；由为奇数或偶数可得(2k)为8n型或8n+4型的数。  性质6：平方数的形式必为下列两种之一：3k,3k+1。  因为自然数被3除按余数的不同可以分为三类：3m,3m+1, 3m+2。平方后，分别得  (3m)=9=3k  (3m+1)=9+6m+1=3k+1  (3m+2)=9+12m+4=3k+1&#

6、160; 同理可以得到：  性质7：不能被5整除的数的平方为5k±1型，能被5整除的数的平方为5k型。  性质8：平方数的形式具有下列形式之一：16m,16m+1,16m+4,16m+9。  除了上面关于个位数，十位数和余数的性质之外，还可研究完全平方数各位数字之和。例如，256它的各位数字相加为2+5+6=13，13叫做256的各位数字和。如果再把13的各位数字相加：1+3=4，4也可以叫做256的各位数字的和。下面我们提到的一个数的各位数字之和是指把它的各位数字相加，如果得到的数字之和不是一位数，就把所得的数字

7、再相加，直到成为一位数为止。我们可以得到下面的命题：  一个数的数字和等于这个数被9除的余数。  下面以四位数为例来说明这个命题。  设四位数为，则  = 1000a+100b+10c+d   = 999a+99b+9c+(a+b+c+d)   = 9(111a+11b+c)+(a+b+c+d)  显然，a+b+c+d是四位数被9除的余数。  对于n位数，也可以仿此法予以证明。 

8、; 关于完全平方数的数字和有下面的性质：  性质9：完全平方数的数字之和只能是0,1,4,7,9。  证明因为一个整数被9除只能是9k,9k±1, 9k±2, 9k±3, 9k±4这几种形式，而  (9k)=9(9)+0  (9k±1)=9(9±2k)+1  (9k±2)=9(9±4k)+4  (9k±3)=9(9±6k)+9 

9、 (9k±4)=9(9±8k+1)+7  除了以上几条性质以外，还有下列重要性质：  性质10：为完全平方数的充要条件是b为完全平方数。  证明充分性：设b为平方数，则  =(ac)  必要性：若为完全平方数，=，则    性质11：如果质数p能整除a，但不能整除a，则a不是完全平方数。  证明由题设可知，a有质因子p，但无因子，可知a分解成标准式时，p的次方为1，而完全平方数分解成标准式时，各质因子的次方

10、均为偶数，可见a不是完全平方数。  性质12：在两个相邻的整数的平方数之间的所有整数都不是完全平方数，即若  <k<(n+1)  则k一定不是完全平方数。  性质13：一个正整数n是完全平方数的充分必要条件是n有奇数个因子(包括1和n本身)。  (二)重要结论  1.个位数是2,3,7,8的整数一定不是完全平方数；  2.个位数和十位数都是奇数的整数一定不是完全平方数；  3.个位数是6，十位数是偶数的整数一定不是完全平方数

11、；  4.形如3n+2型的整数一定不是完全平方数；  5.形如4n+2和4n+3型的整数一定不是完全平方数；  6.形如5n±2型的整数一定不是完全平方数；  7.形如8n+2, 8n+3, 8n+5, 8n+6,8n+7型的整数一定不是完全平方数；  8.数字和是2,3,5,6,8的整数一定不是完全平方数。  (三)范例  例1：一个自然数减去45及加上44都仍是完全平方数，求此数。  解：设此

12、自然数为x，依题意可得  (m,n为自然数)  (2)-(1)可得  n>m  (  但89为质数，它的正因子只能是1与89，于是。解之，得n=45。代入(2)得。故所求的自然数是1981。  例2：求证：四个连续的整数的积加上1，等于一个奇数的平方(1954年基辅数学竞赛题)。  分析设四个连续的整数为，其中n为整数。欲证  是一奇数的平方，只需将它通过因式分解而变成一个奇数的平方即可。  证明设这四个整数之

13、积加上1为m，则            而n(n+1)是两个连续整数的积，所以是偶数；又因为2n+1是奇数，因而n(n+1)+2n+1是奇数。这就证明了m是一个奇数的平方。  例3：求证：11,111,1111,这串数中没有完全平方数(1972年基辅数学竞赛题)。  分析形如的数若是完全平方数，必是末位为1或9的数的平方，即  或  在两端同时减去1之后即可推出矛盾。  证明若

14、，则    因为左端为奇数，右端为偶数，所以左右两端不相等。  若，则    因为左端为奇数，右端为偶数，所以左右两端不相等。  综上所述，不可能是完全平方数。  另证由为奇数知，若它为完全平方数，则只能是奇数的平方。但已证过，奇数的平方其十位数字必是偶数，而十位上的数字为1，所以不是完全平方数。  例4：试证数列49,4489,444889,的每一项都是完全平方数。  证明  = &#

15、160;=+1  =4+8+1  =4()(9+1)+8+1  =36()+12+1  =(6+1)  即为完全平方数。  例5：用300个2和若干个0组成的整数有没有可能是完全平方数？  解：设由300个2和若干个0组成的数为A，则其数字和为600  36003A  此数有3的因子，故9A。但9600，矛盾。故不可能有完全平方数。  例6：试求一个四位数，它是一个完全平方数，并且它的前两位数字相

16、同，后两位数字也相同(1999小学数学世界邀请赛试题)。  解：设此数为    此数为完全平方，则必须是11的倍数。因此11a + b，而a,b为0,1,2,9，故共有(2,9),(3,8), (4,7),(9,2)等8组可能。  直接验算，可知此数为7744=88。  例7：求满足下列条件的所有自然数：  (1)它是四位数。  (2)被22除余数为5。  (3)它是完全平方数。  解：

17、设，其中n,N为自然数，可知N为奇数。  11N - 4或11N + 4  或  k = 1  k = 2  k = 3  k = 4  k = 5  所以此自然数为1369, 2601, 3481, 5329, 6561, 9025。 &

18、#160;例8：甲、乙两人合养了n头羊，而每头羊的卖价又恰为n元，全部卖完后，两人分钱方法如下：先由甲拿十元，再由乙拿十元，如此轮流，拿到最后，剩下不足十元，轮到乙拿去。为了平均分配，甲应该补给乙多少元(第2届“祖冲之杯”初中数学邀请赛试题)？  解：n头羊的总价为元，由题意知元中含有奇数个10元，即完全平方数的十位数字是奇数。如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6。所以，的末位数字为6，即乙最后拿的是6元，从而为平均分配，甲应补给乙2元。  例9：矩形四边的长度都是小于10的整数(单位：公分)，这四个长度数可构成一个四位数，这个四位数的千位数字与百位数字相同，并且这四位数是一个完全平方数，求这个矩形的面积(1986年缙云杯初二数学竞赛题)。  解：设矩形的边长