工科数学分析ii期末复习提纲

1、工科数学分析II期末考试复习提纲第16章 重积分二重积分、三重积分的定义以及性质；重积分的计算方法：化为累次积分或换元法；重积分的物理应用：计算重心坐标、转动惯量以及万有引力。重点：1、正确交换积分顺序；2、灵活选择换元变量。第10、13题为典型题。典型例题1. 计算二重积分，其中， .解：将重积分化为累次积分即可。2. 通过交换积分次序计算累次积分(1),(2).解：可用作图法或不等式法交换积分顺序。例，等价于。3. 计算二重积分, 其中.提示：关于y轴的对称性。见223页注。4. 通过换元计算椭圆盘的面积. (其中)提示：单位特征向量是一组标准正交基。5. 计算二重积分,.6. 计算二重积

2、分,其中.提示：x=arcos, y=brsin。7. 计算二重积分,其中.提示：u=x-y, v=x+y。8. 计算二重积分,其中由所围而成。提示：u=x2-y2, v=xy。9. 设为一连续函数, 求极限.提示：216页积分中值定理。10. 计算三重积分,其中由曲面所围而成.解：积分区域由如下不等式确定：-1x1, x2y1, 0zx2+y2。称它为一个x-y-z型区域，即先对z积分，再对y，最后对x。以此顺序则表达式最为简洁。11. 计算三重积分，其中为椭球。参考第6题。12. 计算三重积分，其中为椭球.提示：积分区间关于xy平面对称，积分函数是z的奇函数，因此积分为0。13. 计算三重

3、积分，其中由曲面，所围而成。提示：积分区域及函数是xy-z型区域，即先在圆盘上重积分（不妨用极坐标），再对z积分。14. 计算三重积分，其中由曲面和曲面围成。提示：同上，对z积分时注意分段。15. 设密度为1的平面薄板由,与轴围成，求它绕轴旋转的转动惯量。16. 设薄片所占的闭区域是介于两个圆之间的闭区域，求均匀薄片的重心.17. 求密度为1的均匀球锥体（即锥体被球面截下的部分）对于在其顶点为以单位质量的质点的吸引力，设球的半径为，而轴截面的扇形的角等于.第17章，向量场的曲线积分与Green公式第一型曲线积分的概念，性质与计算，第二型曲线积分的概念，性质与计算，Green公式，积分与路径无关

4、的四个等价条件，判断全微分并求其原函数，曲线积分的物理应用。全微分求原函数以7-12题为例。典型例题1 求第一型曲线积分，其中为曲线，().见262页。第3、5题同理。2 求第一型曲线积分，其中为双扭线.解：双扭线的极坐标方程为r2=acos2，因此ds=(asec2)d。利用对称性，原式=40/4asind。3 求第一形曲线积分，其中为旋轮线的一拱.4 求螺线（）对轴的转动惯量.5 求第二型曲线积分，其中曲线为依参数增加的方向行进的曲线（）.6 计算,为球面片，的边界，方向是从到到再回到.提示：由对称性，原式=3=3=67 计算曲线积分，其中为由点至点的上半圆周.提示：是全微分；可用极坐标求

5、出。8 计算第二型曲线积分，其中为一条包围原点的曲线.提示：是全微分；答案为。9 利用格林公式计算星形线所围区域的面积。解：（重要公式）2dxdy=-ydx+xdy。再代入x=acos3t, y=asin3t。10 计算第二型曲线积分.提示：是全微分。11 计算第二型曲线积分.解：全微分求原函数：先将积分得，再看中哪些项与x无关。12 求原函数.解：同上。第18章，向量场的曲面积分与场论初步第一型曲面积分的概念，性质与计算，第二型曲面积分的概念，性质与计算，Gauss公式，Stokes公式，积分与路径无关的四个等价条件，判断全微分并求其原函数。梯度场，散度场，旋度场的概念以及保守场、有势场及无

6、旋场之间的关系。重要公式：291页（），隐函数情形见例题1。 典型例题1 计算,其中为椭球面.解：，原式化为，再用极坐标变换。2 计算，其中为圆锥面被截下来的那一部分.解：。3 计算第二型曲面积分，其中是球面的上半部分，取上侧.解：建议将底面补全再用Gauss公式。4 计算,其中为连续函数, 为平面在第四卦限部分,取下侧.5 使用高斯公式计算，其中为球面,取外侧.提示：Gauss公式后再利用对称性。6 使用高斯公式计算，其中为曲面（）,曲面的法向量与轴正方向成锐角.解：计算出后再用Gauss公式，其中，此时。7 使用Stokes公式计算，其中是球面与平面的交线，从轴正向看去，是逆时针方向.解：考虑曲面，x+y+z0，以外侧为正方向。它的边界从x轴正向看去是顺时针。由Stokes公式将其化为dxdy+dydz+dzdx，由对称性得原式即3dxdy。将半球投影到xy平面得一椭圆，椭圆面积为dxdy=a2/3。因此结果为a23。8 使用Stokes公式计算，其中是平面与柱面的交线.解：Stokes公式后，不妨再作坐标变换u=x-y, v=x+y。9 计算.提