第十二章电磁感应电磁场

1、第十二章电磁感应电磁场题12.1：如图所示，在磁感强度的均匀磁场中，放置一个线圈。此线圈由两个半径均为3.7 cm且相互垂直的半圆构成，磁感强度的方向与两半圆平面的夹角分别为和。若在的时间内磁场突然减至零，试问在此线圈内的感应电动势为多少？题12.1分析：由各种原因在回路中所引起的感应电动势，均可由法拉第电磁感应定律求解，即但在求解时应注意下列几个问题： 1回路必须是闭合的，所求得的电动势为回路的总电动势。 2应该是回路在任意时刻或任意位置处的磁通量。它由计算。对于均匀磁场则有，其中为闭会回路在垂直于磁场的平面内的投影面积。对于本题，中和为两半圆形平面法线与B之间的夹角。 3感应电动势的方向可

2、由来判定，教材中已给出判定方法。为方便起见，所取回路的正向（顺时针或逆时针）应与穿过回路的B的方向满足右螺旋关系，此时恒为正值，这对符号确定较为有利。题12.1解：迎着B的方向，取逆时针为线圈回路的正向。由法拉第电磁感应定律，说明感应电动势方向与回路正向一致题12.2：一铁心上绕有线圈100匝，已知铁心中磁通量与时间的关系为，求在时，线圈中的感应电动势。题12.2解：线圈中总的感应电动势当 时， = 2.51 V。题12.3：如图所示，用一根硬导线弯成半径为r的一个半圆。使这根半圆形导线在磁感强度为 B的匀强磁场中以频率f旋转，整个电路的电阻为R，求感应电流的表达式和最大值。题12.3解：由于

3、磁场是均匀的，故任意时刻穿过回路的磁通量为其中0等于常量，S为半圆面积， 根据法拉第电磁感应定律，有因此回路中的感应电流为则感应电流的最大值为题12.4：有两根相距为d的无限长平行直导线，它们通以大小相等流向相反的电流，且电流均以的变化率增长。若有一边长为d的正方形线圈与两导线处于同一平面内，如图所示。求线圈中的感应电动势。题12.4解1：穿过面元ds的磁通量为因此穿过线圈的磁通量为再由法拉第电磁感应定律，有解2：当两长直导线有电流I通过时，穿过线圈的磁通量为线圈与两长直导线间的互感为当电流以变化时，线圈中的互感电动势为题12.5：如图所示，一长直导线中通有 I = 5.0 A的电流，在距导线

4、 9.0 cm处，放一面积为0.10 cm2，10匝的小圆线圈，线圈中的磁场可看作是均匀的。今在内把此线圈移至距长直导线 10.0 cm处。求：（1）线圈中平均感应电动势；（2）设线圈的电阻为，求通过线圈横截面的感应电荷。题12.5解：虽然线圈处于非均匀磁场中，但由于线圈的面积很小，可近似认为穿过线圈平面的磁场是均匀的，因而可近似用来计算线圈在始、末两个位置的磁链。 （l）在始、末状态，通过线圈的磁链分别为， 则线圈中的平均感应电动势为电动势的指向为顺时针方向。（2）通过线圈导线横截面的感应电荷为题12.6：如图所示，把一半径为R的半圆形导线OP置于磁感强度为B的均匀磁场中，当导线以速率v对水

5、平向右平动时，求导线中感应电动势的大小，哪一端电势较高？题12.6解1：如图所示，假想半圆形导线OP在宽为2R的静止在“”形导轨上滑动，两者之间形成一个闭合回路。设顺时针方向为回路正向，任一时刻端点O或端点P距“”形导轨左侧距离为x，则即由于静止的“”形导轨上的电动势为零，则。式中负号表示电动势的方向为逆时针，对OP段来说瑞点P的电势较高。解2：建立如图所示的坐标系，在导体上任意处取导体元dl，则由矢量的指向可知，端点P的电势较高。解3：连接OP使导线构成一个闭合回路。由于磁场是均匀的，在任意时刻，穿过回路的磁通量。由法拉第电磁感应定律可知又因即 由上述结果可知，在均匀磁场中，任意闭合导体回路

6、平动所产生的动生电动势为零；而任意曲线形导体上的动生电动势就等于其两端所连直线形导体上的动生电动势。上述求解方法是叠加思想的逆运用，即补偿的方法。题12.7：如图所示，金属杆 AB以匀速v = 2.0 m/s平行于一长直导线移动，此导线通有电流 I = 40 A。问：此杆中的感应电动势为多大？杆的哪一端电势较高？题12.7解1：杆中的感应电动势为式中负号表示电动势方向由B指向A，故点A电势较高。解2：对于图，设顺时针方向为回路ABCD的正向，根据分析，在距直导线x处，取宽为dx、长为y的面元ds，则穿过面元的磁通量为穿过回路的磁通量为回路的电动势为由于静止的U形导轨上电动势为零，所以 式中负号

7、说明回路电动势方向为逆时针，对AB导体来说，电动势方向应由B指向A，故点A电势较高。题12.8：如图所示，在“无限长”直载流导线的近旁，放置一个矩形导体线框，该线框在垂直于导线方向上以匀速率向右移动，求在图示位置处，线框中感应电动势的大小和方向。题12.8解1：根据分析，线框中的电动势为由可知，线框中的电动势方向为efgh。解2：设顺时针方向为线框回路的正向。根据分析，在任意位置处，穿过线框的磁通量为相应电动势为令，得线框在图示位置处的电动势为由可知，线框中电动势方向为顺时针方向。题12.9：如图所示，一长为，质量为m的导体棒CD，其电阻为R，沿两条平行的导电轨道无摩擦地滑下，轨道的电阻可忽略

8、不计，轨道与导体构成一闭合回路。轨道所在的平面与水平面成角，整个装置放在均匀磁场中，磁感强度B的方向为竖直向上。求：（1）导体在下滑时速度随时间的变化规律；（2）导体棒CD的最大速度。题12.9解：如图所示，导体棒在下滑过程中除受重力P和导轨支持力FN外，还受到一个与下滑速度有关的安培力FA ，这个力是阻碍导体棒下滑的。根据安培定律，该力的大小为（1）导体律沿轨道方向的动力学方程为 （2）将式（l）代入式（2），并令，则有分离变量并两边积分得由此得导体在t时刻的速度由上式可知，当t增大时，v也按指数规律随之增大，当时此即为导体棒下滑的稳定速度，也是导体棒能够达到的最大速度，其vt图线如图所示。

9、题12.10：在半径为R的圆柱形空间中存在着均匀磁场，B的方向与往的轴线平行。如图所示，有一长为的金属棒放在磁场中，设B随时间的变化率为常量。试证：棒上感应电动势的大小为题12.10证1：由法拉第电磁感应定律，有证2：在rR区域，感生电场强度的大小。设PQ上线元dx处，Ek的方向如图（b）所示，则金属杆PQ上的电动势为 讨论如金属棒PQ有一段在圆外，则圆外一段导体上有无电动势，为什么？如果有，你准备如何求解？题12.11：一半径为R，电阻率为的金属薄圆盘放在磁场中，B的方向与盘面垂直，B的值为，式中B0和为常量，t为时间。（1）求盘中产生的涡电流的电流密度；（2）若 R = 0.20 m，B0

10、 = 2.2 T，= 18.0 s，计算圆盘边缘处的电流密度。题12.11解1：（1）如图所示，P为距圆盘中心点O距离为r的一点，虚线为经过该点的感生电场的电场线，则该点感生电场强度的大小方向为场线的切线方向，于是该点电流密度的大小为方向与该点电场强度方向一致（2）圆盘边缘处r = R，则解2：以O为中心取一半径为r，宽度为dr，截面积为dS的窄圆环回路，则环上电动势的大小为而圆环电阻故环中电流，再考虑到在该处电流与电流密度的关系是I = jdS，这样就可求得与解1相同的结果。题12.12：截面积为长方形的环形均匀密绕螺绕环，其尺寸如图所示，共有N匝（图中仅画出少量几匝），求该螺绕环的自感L。

11、题12.12解：设有电流I通过线圈，线圈回路呈长方形，如图所示，由安培环路定理可求得在R1rR2范围内的磁场分布为由于线圈由N匝相同的回路构成，所以穿过自身回路的磁链为则 。若管中充满均匀同种磁介质，其相对磁导率为，则自感将增大倍。题12.13：一空心长直螺线管，长为0.50 m，横截面积为例10.0cm2，若螺线管上密绕线圈3.0匝，问：（1）自感为多大？（2）若其中电流随时间的变化率为，自感电动势的大小和方向如何？题12.13解：（1）长直像线管的自感为2）当时，线圈中的自感电动势为负号表明，当电流增加时，自感电动势的方向与回路中电流I的方向相反。题12.14：如图所示，螺线管的管心是两个

12、套在一起的同轴圆柱体，其截面积分别为S1和S2，磁导率分别为，管长为，匝数为N，求螺线管的自感。（设管的截面很小）题12.14解：设有电流I通过螺线管，则管中两介质中磁感强度分别为通过N匝回路的磁链为则自感题12.15：有两根半径均为a的平行长直导线，它们中心距离为d。试求长为l的一对导线的自感。（导线内部的磁通量可略去不计）题12.15解：在如图所示的坐标中，当两导线中通有图示的电流I时，两平行导线间位置的点的磁感强度为穿过图中阴影部分的磁通量为则长为的一对导线的自感为题12.16：如图所示，在一柱形纸筒上绕有两组相同线圈AB和，每个线圈的自感均为L，求：（1）A和相接时，B和间的自感 L1

13、；（2）和 B相接时，A和间的自感L2。题12.16解：（1）当A和连接时，AB和线圈中电流流向相反，通过回路的磁通量亦相反，故穿过大回路的总通量为，故L1 = 0 （2）当和B连接时，AB和线圈中电流流向相同，通过回路的磁通量亦相同，故穿过大回路的总通量为，故。题12.17：如图所示，一面积为4.0 cm2共50匝的小圆形线圈A，放在半径为20 cm共100匝的大圆形线圈B的正中央，此两线圈同心且同平面。没线圈A内各点的磁感强度可看作是相同的。求：（1）两线圈的互感；（2）当线圈B中电流的变化率为时，线圈 A中感应电动势的大小和方向。题12.17解：（1）设线圈 B有电流 I通过，它在圆心处

14、产生的磁感强度 ，穿过小线圈A的磁链近似为则两线圈的互感为(2)互感电动势的方向和线圈B中的电流方向相同。题12.18：如图所示，两同轴单匝线圈 A、C的半径分别为R和r，两线圈相距为d。若r很小，可认为线圈A在线圈C处所产生的磁场是均匀的。求两线圈的互感。若线圈C的匝数为N匝，则互感又为多少？题12.18解：设线圈A中有电流I通过，它在线圈C所包围的平面内各点产生的磁感强度近似为穿过线圈C的磁链为则两线圈的互感为若线圈C的匝数为N匝，则互感为上述值的N倍。题12.19：一半径为R的圆形回路与一无限长直导线共面，圆心到长直导线间的距离为d，求它们之间的互感。题12.19解：通有电流I的长直导线

15、在线圈平面内磁感强度的分布为穿过面元dS的磁通量为从图可知代入上式，有因此穿过圆形回路的磁通量为则互感(注：)题12.20：将一段导线弯成一边长为l的正六边形线圈，在正六边形中心处放一个半径为的小圆形线圈，且这两个线圈在同一平面内。求：（1）它们的互感；（2）当小圆线圈通以电流I时，通过正六角形线圈的磁通量为多少？题12.20解：（1）六边形线圈中通以电流I1，在中心O处激发的磁感强度为其中一条边激发的磁感强度的6倍，即考虑到，小圆线圈内各点的磁感强度B近似相等，故穿过小圆线圈的磁链为两回路间的互感为（2）由于M21 = M12，当小圆线圈通以电流I时，在六边形线圈内的磁通量为题12.21：如

16、图所示，螺绕环A中充满了铁磁质，管的截面积S为2.0 cm，沿环每厘米绕有100匝线圈，通有电流，在环上再绕一线圈C，共10匝，其电阻为，今将电键K突然开启，测得线圈C中的感应电荷为。求：当螺绕环中通有电流时，铁磁质中的B和铁磁质的相对磁导率。题12.21解：当螺绕环中通以电流I1时，在环内产生的磁感强度，则通过线圈C的磁链为设断开电源过程中，通过C的感应电荷为qc，则有由此得相对磁导率题12.22：一个直径为0.01 m，长为0.10 m的长直密绕螺线管，共1000匝线圈，总电阻为7.76Q。求：（1）如把线圈接到电动势的电池上，电流稳定后，线圈中所储存的磁能有多少？磁能密度是多少？（2）从

17、接通电路时算起，要使线圈储存磁能为最大储存磁能的一半，需经过多少时间？题12.22解：（1）密绕长直螺线管在忽略端部效应时，其自感，电流稳定后，线圈中电流，则线圈中所储存的磁能为在忽略端部效应时，该电流回路所产生的磁场可近似认为仅存在于螺线管中，并为均匀磁场，故磁能密度显然，对于均匀磁场来说，处处相等。 （2）自感为L，电阻为R的线圈接到电动势为的电源上，其电流变化规律，当电流稳定后，其最大值按题意，则，将其代入中，得题12.23：一无限长直导线，截面各处的电流密度相等，总电流为I。试证：每单位长度导线内所贮藏的磁能为。题12.23证：本题中电流激发的磁场不仅存在于导体内(当rR时，)，而且存在于导体外(当时，)。由于本题仅要求单位长度导体内所储存的磁能，故用公式计算为宜，取长为单位长度，半径为r，厚为dr的薄柱壳（壳层内wm处处相同）为体元d