微分几何 陈维桓 第四章讲稿

1、目 录第四章曲面的第二基本形式50§ 4.1 第二基本形式50§ 4.2 法曲率52§ 4.3 Weingarten映射和主曲率55一、Gauss映射和Weingarten变换55二、主曲率和主方向55§ 4.4 主方向和主曲率的计算57一、Gauss曲率和平均曲率57二、Weingarten变换在自然基底下的矩阵59三、第三基本形式61§ 4.5 Dupin标形和曲面参数方程在一点的标准展开61§ 4.6 某些特殊曲面64一、Gauss曲率为常数的旋转曲面65二、旋转极小曲面66第四章 曲面的第二基本形式本章内容：第二基本形式，法曲

2、率，Gauss映射和Weingarten变换，主方向与主曲率，Dupin标形，某些特殊曲面计划学时：12学时，含习题课3学时.难点：主方向与主曲率§4.1 第二基本形式设为正则曲面，是单位法向量.向量函数的一阶微分为，二阶微分为.由于，再微分一次，得.定义二次微分式 (1.6)称为曲面的第二基本形式(second fundamental form)，其中， (1.4-5)称为曲面的第二类基本量.第二基本形式的几何意义：刻划了曲面偏离切平面的程度，也就是曲面的弯曲程度.图4.1由微分的形式不变性可知第二基本形式在保持定向的参数变换下是不变的，而在改变定向的参数变换下会相差一个符号. 但

3、是，在参数变换下第二类基本量一般都会改变. 第二基本形式与空间坐标系的选取无关. 对曲面作参数变换 (1.7)在新的参数下，.因此. (1.10)当时，从而；当时，从而.在保持定向的参数变换下，第二类基本量有和第一类基本量相同的变化规律. 事实上，记参数变换(1.7)的Jacobi矩阵为.则. (1.14)从而，即有. (1.13)例 求平面和圆柱面的第二基本形式.解. (1)对平面，所以.(2) 对圆柱面，. 因此，.定理1.1正则曲面是平面(或平面的一部分)，当且仅当的第二基本形式.证明“”平面的单位法向量是常向量，故.“” 由，得. 同理有. 所以是常向量.于是. 故.定理1.2正则曲面

4、是球面(或球面的一部分)，当且仅当的第二基本形式是第一基本形式的非零倍数：，其中是非零函数.证明“”不妨设球心为原点，半径为. 则，. 从而.“”由条件，(因为是独立的变量). 所以，.又. 故. (1)同理有. (2)因为是三次以上连续可微的，. 于是，即有.由于线性无关，. 故是非零常数.由(1)和(2)得，.所以是常向量. 从而上的点满足球面方程.课外作业：习题1(1,4,5)，2(3)，3，6§ 4.2 法曲率设是曲面上过点的一条正则曲线，是的弧长参数，为点的曲纹坐标. 则的单位切向量为. (2.3)根据Frenet公式，的曲率向量， (2.4)其中是的曲率.设为的单位法向量

5、，则.定义 函数 (2.6) (2.5)称为曲面在点沿着切方向(即)的法曲率(normal curvature).注 曲面上所有在点相切的曲线在点有相同的法曲率，并且在点这些曲线的曲率中心位于垂直于切方向的平面(的法平面)内的一个直径为的圆周上：曲率中心为.图4.2沿着曲线，有. 由于是弧长参数，因此在点成立.定义2.1在曲面上对应于参数的点处，沿着切方向的法曲率为. (2.8)注 法曲率除了与点有关，还与切方向即比值有关. 但是与切向量的大小无关. 上面的定义不要求以为切向量的曲线以弧长为参数.定义 曲面上过点的一个切方向与点的法线确定的平面称为由切方向确定的法截面. 法截面与曲面的交线称为

6、该点的一条法截线.定理2.1曲面在点，沿切方向的法曲率等于该切方向确定的法截线在相应的有向法截面(以为平面的定向)中的相对曲率，即有.证明设该点是，沿切方向的单位切向量为，在点的单位法向量为.则法截面的定向是，从而法截线的弧长参数方程为，其中.因为是的切向量，. 从而. 因此是由确定的切方向.由定义，沿切方向的法曲率.另一方面，法截线在该点的相对曲率.所以有.例(1)平面的法曲率.在平面上，. 所以在任意点，沿任意切方向，都有法曲率.(2)圆柱面的法曲率.对圆柱面，由上一节的例，所以.(3) 球面的法曲率.由定理1.2，. 所以是非零常数.定理2.2 在曲面上任意一点处，法曲率必定在两个彼此正

7、交的切方向上分别取到最大值和最小值.证明在固定点，都是常数，法曲率仅与比值有关. 取点邻近的正交参数网. 则任意单位切向量，可以写成，其中，即 .沿着切方向的法曲率是上的连续可微周期函数，必定在闭区间上取到最大值和最小值.如果是常值函数，则在任意两个彼此正交的切方向上分别取到最大值和最小值.设不是常值函数，则它的最大值和最小值不相等.通过对曲面作参数变换，不妨设在处取到最大值. 由于，并且，有.所以在处取到最小值.定义2.2在曲面上一个固定点处，法曲率取最大值和最小值的切方向称为曲面在该点的主方向(principal direction)，相应的法曲率称为在该点的主曲率(principal c

8、urvature).注由上面的推导过程可知，如果在点不是常值函数，在闭区间上只有4个零点，所以在点只有两个主曲率，. 于是有下面的Euler公式：，其中，并且.定义2.3(1) 在曲面上一点，使法曲率为零的切方向称为该点的一个渐近方向(asymptotic direction).(2) 设是曲面上的一条曲线. 若上每一点的切向量都是曲面在该点的渐近方向，则称是曲面上的一条渐近曲线(asymptotic curve).在一点处，渐近方向是二次方程 (2.5)的解.当时，有两个实渐近方向；当时，只有一个实渐近方向；当时，没有实渐近方向.让变动，则(2.5)就是渐近曲线的微分方程. 如果在曲面上每一

9、点，则曲面上存在两个处处线性无关的渐近方向向量场. 根据第三章定理4.1，在曲面上有由渐近曲线构成的参数曲线网，称为渐近线网.定理2.3参数曲线网是渐近线网的充分必要条件是：.证明 “” 在-曲线上. 由(2.5)得. 同理可得.“” (2.5)现在成为. 因此-曲线和-曲线都是渐近曲线.定理2.4 设是曲面上的一条曲线. 则是渐近线，当且仅当是直线，或的密切平面与曲面的切平面重合.证明 由公式可得.课外作业：习题1，4，7.§4.3Weingarten映射和主曲率一、Gauss映射和Weingarten变换设()是一个正则曲面，是它的单位法向量.向量函数定义了一个映射，其中是中的单

10、位球面. 因为空间中的点与它的位置向量是一一对应的，映射诱导了映射. (3.1)这个映射称为Gauss映射.注意Gauss映射的象不一定是的一个区域.Gauss映射的切映射是一个线性映射，满足，即，. (3.2)特别有，. (3.4)因为同时也是的法向量，在点的切平面与在点的切平面是平行的，从而在自由向量的意义下可将与等同.定义 线性映射称为曲面在点的Weingarten变换(Weingarten transformation).事实上，因为，所以. 由定义可知，. (3.5)图22二、主曲率和主方向定理3.1 .定理3.2 相对于切空间的内积，Weingarten变换是自共轭(对称)的，即，

11、.证明.根据线性变换理论，Weingarten变换的2个特征值都是实的(这2个特征值可能相等).设分别是从属于它们的特征向量，即，. 当时，所确定的切方向和是唯一的，且相互正交. 当时，中的任何非零向量都是特征向量.因此仍然有两个相互正交的特征方向. 定理3.3在曲面上任意一点处，的2个特征值正好是曲面在点的主曲率，对应的特征方向是曲面在点的主方向.证明 取的由的特征向量构成的单位正交基，使得， (3.12)并设. 对任意一个单位切向量，可设. (3.13)则有. (3.14)于是沿切方向的法曲率为由可知，并且在时取最大值，在时取最小值. 所以就是曲面在点的主曲率，相应的切方向就是主方向. 注

12、1 由定理可知沿特征方向的法曲率就是对应于特征向量的特征值：.注2 曲面在每一点有2个主曲率. 当时，只有2个主方向，它们相互正交.此时可取2个单位特征向量.当时，任何方向都是主方向.此时可任取2个正交的单位特征向量.定理3.4(Euler公式)设是点的2个正交的单位特征向量，对应的主曲率为.则对任意单位切向量，沿着方向的法曲率为.(3.15)在曲面上一点处，如果，则由Euler公式可知沿任何切方向，都有， (3.16)即.这样的点称为脐点(umbilical point). 此时在该点有.(3.17)当时，该点称为平点(planar point)；当时，该点称为圆点(circle point

13、).定理1.1和定理1.2的推论 曲面是平面(或其一部分)，当且仅当上的点都是平点；曲面是球面(或其一部分)，当且仅当上的点都是圆点.定义3.1设是曲面上的一条曲线. 若上每一点的切向量都是曲面在该点的主方向，则称是曲面上的一条曲率线(curvature line).定理3.5(Rodriques定理)曲面上一条正则曲线是曲率线的充分必要条件是：沿着曲线，即.证明. 由定义，是曲率线，当且仅当对所有的，是Weingarten变换的特征向量，即，也就是.定理3.6 曲面上一条曲线是曲率线的充分必要条件是：曲面的沿着曲线的法线构成可展曲面.证明. 对曲面上任意一条曲线，曲面的沿着曲线的法线构成直纹

14、面，其中是的弧长参数.由于和是相互正交的单位向量，从而是线性无关的.是可展曲面.上式两边与作内积可得，从而上式等价于，这正好是曲线是曲率线的充分必要条件.例3.1 求旋转面上的曲率线. 解 设旋转面的方程为. 其中，并且是经线的弧长参数，. 则，. 由于，并且，有，. 所以u-曲线(纬线圆)和v-曲线(经线)都是曲率线. 当时，这个旋转面是平面，任何曲线都是曲率线. 当时，. 如果是常数，即经线是圆弧，则旋转面是球面.此时任何曲线都是曲率线. 例3.2 求可展曲面上的曲率线.解 设可展曲面方程为. 已经知道它的单位法向量与v无关，沿着v-曲线(直母线)有. 所以v-曲线是它的一族曲率线. 于是

15、v-曲线的正交轨线是它的另一族曲率线. 如果可展曲面是平面，任何曲线都是曲率线. 课外作业：习题1，4，5§ 4.4主方向和主曲率的计算一、Gauss曲率和平均曲率设曲面的参数方程为，和分别是的第一、第二类基本量.引理设是点的主曲率，则满足， (4.4)即是二次方程的根，也就是方程 (4.8)的根，其中，分别称为曲面的平均曲率(或中曲率) (mean curvature)和Gauss曲率(或总曲率)(Gaussian curvature). 换句话说，. (4.9)证明. 设是对应的主方向. 则有，即.分别用与上式两边作内积，得，.所以主方向满足 (4.3)由于不全为零，可得(4.4

16、)式.设是点的两个主曲率.由根与系数的关系可得，. (4.6-7)因此，. (4.9)点是脐点的充分必要条件是在点成立.注 方程(4.4)即(4.8)是Weingarten变换的特征方程，在保持定向的参数变换下保持不变. 事实上，主曲率在保持定向的参数变换下不变，在反转定向的参数变换下相差一个符号. 因此平均曲率在保持定向的参数变换下不变，在反转定向的参数变换下相差一个符号. 而Gauss曲率在参数变换下保持不变.定理4.1 假定曲面是次连续可微的. 则主曲率函数是连续的，且在非脐点邻近是次连续可微的.在脐点，. 从而由可知，(4.3)中的两个方程成为恒等式. 此时，任何方向都是主方向.在非脐

17、点，分别用和代入(4.3)，得到相应的主方向 (4.10)和. (4.11)将(4.3)改写成 (4.12)由于不全为零，有， (4.14)即.(4.15)上式可写成. (4.16)(4.14)或(4.15)或(4.16)就是曲面上曲率线的微分方程.定理4.2 设是曲面上一个固定点，它的曲纹坐标为. 则在该点参数曲线的切方向是相互正交的主方向，当且仅当在该点有，. 此时，曲面在该点的两个主曲率分别为，.证明 必要性. 在点，-曲线和-曲线相互正交，故. (1)又，是的特征向量，故，.分别用与上面两式作内积得，并且，. (4.17)充分性. 由条件，即，相互正交. 又.因此，即，是的特征向量.下

18、面的两个定理是定理4.2的直接推论. 定理4.3参数曲线网是正交的曲率线网的充分必要条件是，此时.(4.18)定理4.4在非脐点，定理4.3中的参数曲线网局部总是存在的.注若曲面上没有脐点，则可取正交的曲率线网作为参数曲线网.事实上，此时由(4.10)和(4.11)可确定两个相互正交的主方向和. 从而有两个相互正交的非零向量场和，它们是连续可微的. 根据第三章定理4.1，这样的参数曲线网是存在的.若曲面上的点都是脐点，则曲面上任意曲线都是曲率线，此时任何正交参数曲线网都是曲率线网. 但是在孤立脐点邻近，未必有正交的曲率线网作为参数曲线网.二、Weingarten变换在自然基底下的矩阵我们知道是

19、切空间的基，称为的自然基. 在这组基下，设Weingarten变换的矩阵为，即， (4.19)也就是分别用与上面二式作内积得.因此. (4.21)代入(4.19)得. (4.22)我们知道Weingarten变换的特征多项式.其中是单位矩阵.的特征值是特征多项式的根，与基的取法无关，从而Gauss曲率和平均曲率与参数取法无关，是曲面的几何不变量. Gauss曲率的几何意义：从(4.19)可得.因此曲面上一个区域在Gauss映射下的像的面积元素. (4.23)所以的面积.根据积分中值定理，存在使得.让区域收缩到一点，取极限得到.(4.25)这个公式是曲线论中的一个推广,其中是曲线上一段由到的弧在

20、切线像下的弧长. 三、第三基本形式定义 设是曲面的单位法向量. 二次微分式 (4.27)称为曲面的第三基本形式，其中.(4.28)注 利用Gauss映射，第三基本形式，其中是单位球面的第一基本形式.定理4.5曲面上的三个基本形式满足.证明 因为Weingarten变换的特征多项式为，所以.其中是单位变换. 于是有同理可得，.课外作业：习题2，4，6§4.5Dupin标形和曲面参数方程在一点的标准展开设是曲面上一个固定点，是点的两个相互正交的单位主向量(即Weingarten变换的特征向量)，对应的主曲率为. 对单位切向量 ()，沿该方向的法曲率为. 当时，在点的切平面中取一点使得.

21、(5.3)点切平面中这样的点的轨迹称为曲面在点的Dupin标形(或标线indicatrix).在平面中取直角标架, 现在来导出Dupin标线的方程.设轨迹上的点在此坐标系中的坐标为. 则.因此，. (5.4)由Euler公式得到. (5.5)这就是Dupin标线的直角坐标方程，它是平面中的二次曲线. 如果在平面中取极坐标系，那么Dupin标线的极坐标方程可由(5.3)立即得到：. (5.5)当点的Gauss曲率时，同号，Dupin标线(5.5)是一个椭圆. (5.6)当时，异号，Dupin标线(5.5)是两对共轭双曲线. (5.7)它们的公共渐近线的方向正是曲面在点的渐近方向.当时，若，不全为

22、零，Dupin标线(5.5)是两条平行直线() 或 (). (5.8)当点为平点，即时，Dupin标线不存在.图4.4定义. 设，若，则称点为曲面上的椭圆点；若，则称点为曲面上的双曲点；若，则称点为曲面上的抛物点.下面考察曲面在一点邻近的形状. 在点邻近取正交参数曲线网，使得点对应的参数为，且，是点的两个单位主向量. 则，且在点有，. (5.9)以标架建立的坐标系. 根据Taylor公式，, (5.10)其中. 由于， ， (5.11)(5.10)可化为. (5.12)(5.12)称为曲面在点的标准展开.当充分小时，我们得到的近似曲面，在标架下，的参数方程为，显式方程为. (5.14)直接计算

23、可知近似曲面与原曲面在点相切(即它们的切平面相同). 并且沿着点切空间的任何相同的切方向，两者有相同的法曲率，即在点具有公共切方向的法截线有相同的曲率和相同的弯曲方向.在椭圆点，近似曲面是椭圆抛物面.在点是凸的.在双曲点，是双曲抛物面.在点不是凸的，且点的切平面与相交成两条直线，它们是上过点的两条渐近曲线.在非平点的抛物点，是抛物柱面，点的切平面与相交成一条直线，是上过点的渐近曲线.在平点，是平面. 此时，要考察曲面的近似形状，需要将Taylor展式(5.10)展开到更高阶的项. 见例5.2.用平面去截近似曲面，再投影到点的切平面上，就得到点的Dupin标线.图4.6例5.1考察圆环面，上各种

24、类型点的分布，其中常数满足.解，. ，. 所以两个主曲率为. Gauss曲率和平均曲率分别为. 当时，这些点是抛物点，但不是平点. 它们构成圆环面的上下两个圆.当时，这些点是双曲点，布满圆环面的内侧.当时，这些点是椭圆点，布满圆环面的外侧.图4.7例5.2(1) 猴鞍面. (2).课外作业：习题3§4.6某些特殊曲面将平面上一条曲线绕着轴旋转，得到旋转曲面. 它的参数方程为， (6.1)其中.它的母线是平面上的曲线：.则由，.，.可得， (6.2)，. (6.3)因此参数曲线网是正交的曲率线网. 由定理4.2，主曲率为， .于是Gauss曲率和平均曲率分别为，. (6.4)一、Gauss曲率为常数的旋转曲面如果是常数，则函数应满足.(6.5)积分得到， (6.6)其中为积分常数.即有.于是. (6.7)1.若，则，其中，为积