计算专题整数裂项

1、精选优质文档-倾情为你奉上计算专题对于较长的复杂算式，单单靠一般的运算顺序和计算方法是很难求出结果的。如果算式中每一项的排列都是有规律的，那么我们就要利用这个规律进行巧算和简算。而裂项法就是一种行之有效的巧算和简算方法。通常的做法是：把算式中的每一项裂变成两项的差，而且是每个裂变的后项（或前项）恰好与上个裂变的前项（或后项）相互抵消，从而达到“以短制长”的目的。下面我们以整数裂项为例，谈谈裂项法的运用，并为整数裂项法编制一个易用易记的口诀。例1、  计算1×2+2×3+3×4+4×5+98×99+99×100分析：这个算式实

2、际上可以看作是：等差数列1、2、3、4、598、99、100，先将所有的相邻两项分别相乘，再求所有乘积的和。算式的特点概括为：数列公差为1，因数个数为2。1×2=（1×2×3-0×1×2）÷（1×3）2×3=（2×3×4-1×2×3）÷（1×3）3×4=（3×4×5-2×3×4）÷（1×3）4×5=（4×5×6-3×4×5）÷（

3、1×3）98×99=（98×99×100-97×98×99）÷（1×3）99×100=（99×100×101-98×99×100）÷（1×3）将以上算式的等号左边和右边分别累加，左边即为所求的算式，右边括号里面诸多项相互抵消，可以简化为（99×100×101-0×1×2）÷3。解：1×2+2×3+3×4+4×5+98×99+99×100=

4、（99×100×101-0×1×2）÷3=例2、  计算3×5+5×7+7×9+97×99+99×101分析：这个算式实际上也可以看作是：等差数列3、5、7、997、99、101，先将所有的相邻两项分别相乘，再求所有乘积的和。算式的特点概括为：数列公差为2，因数个数为2。3×5=（3×5×7-1×3×5）÷（2×3）5×7=（5×7×9-3×5×7）÷（2&

5、#215;3）7×9=（7×9×11-5×7×9）÷（2×3）97×99=（97×99×101-95×97×99）÷（2×3）99×101=（99×101×103-97×99×101）÷（2×3）将等号左右两边分别累加，左边即为所求算式，右边括号里面许多项可以相互抵消。解：3×5+5×7+7×9+97×99+99×101=（99×

6、;101×103-1×3×5）÷（2×3）=÷6=例3、  计算1×2×3+2×3×4+3×4×5+96×97×98+97×98×99分析：这个算式实际上可以看作是：等差数列1、2、3、4、598、99、100，先将所有的相邻三项分别相乘，再求所有乘积的和。算式的特点概括为：数列公差为1，因数个数为3。1×2×3=（1×2×3×4-0×1×2×3）

7、÷（1×4）2×3×4=（2×3×4×5-1×2×3×4）÷（1×4）3×4×5=（3×4×5×6-2×3×4×5）÷（1×4）96×97×98=（96×97×98×99-95×96×97×98）÷（1×4）97×98×99=（97×98×

8、99×100-96×97×98×99）÷（1×4）右边累加，括号内相互抵消，整个结果为（97×98×99×100-0×1×2×3）÷ （1×4）。解：1×2×3+2×3×4+3×4×5+96×97×98×+97×98×99=（97×98×99×100-0×1×2×3）÷（1

9、15;4）=例4、计算10×16×22+16×22×28+70×76×82+76×82×88分析：算式的特点为：数列公差为6，因数个数为3。解：10×16×22+16×22×28+70×76×82+76×82×88=（76×82×88×94-4×10×16×22）÷（6×4）=通过以上例题，可以看出这类算式的特点是：从公差一定的数列中依次取出若干个数相乘，再

10、把所有的乘积相加。其巧解方法是：先把算式中最后一项向后延续一个数，再把算式中最前面一项向前伸展一个数，用它们的差除以公差与因数个数加1的乘积。将以上叙述可以概括一个口诀是：等差数列数，依次取几个。所有积之和，裂项来求作。后延减前伸，差数除以N。N取什么值，两数相乘积。公差要乘以，因个加上一。需要注意的是：按照公差向前伸展时，当伸展数小于0时，可以取负数，当然是积为负数，减负要加正。对于小学生，这时候通常是把第一项甩出来，按照口诀先算出后面的结果再加上第一项的结果。此外，有些算式可以先通过变形，使之符合要求，再利用裂项求解。例5、   计算1×1+2×2+

11、3×3+99×99+100×100分析：n×n=(n-1)×n+n解：1×1+2×2+3×3+99×99+100×100=1+（1×2+2）+（2×3+3）+（98×99+99）+（99×100+100）=（1×2+2×3+98×99+99×100）+（1+2+3+99+100）=99×100×101÷3+（1+100）×100÷2=+5050=例6、 &#

12、160; 计算1×2+3×4+5×6+97×98+99×100分析：(n-1)×n=(n-2)×n+n解：1×2+3×4+5×6+7×8+97×98+99×100=2+（2×4+4）+（4×6+6）+（6×8+8）+（96×98+98）+（98×100+100）=（2×4+4×6+6×8+96×98+98×100）+（2+4+6+8+98+100）=98×1

13、00×102÷6+（2+100）×50÷2=例7、    计算1×1×1+2×2×2+3×3×3+99×99×99+100×100×100分析：n×n×n=(n-1)×n×(n+1)+n解：1×1×1+2×2×2+3×3×3+99×99×99+100×100×100=1+（1×2

14、×3+2）+（2×3×4+3）+（98×99×100+99）+（99×100×101+100）=（1×2×3+2×3×4+98×99×100+99×100×101）+（1+2+3+99+100）=99×100×101×102÷4+（1+100）×100÷2=例8、   计算1×3+2×4+3×5+4×6+98×100+

15、99×101解：1×3+2×4+3×5+4×6+98×100+99×101=（1×3+3×5+99×101）+（2×4+4×6+98×100）=（99×101×103-1×3×5）÷6+1×3+98×100×102÷6=+=例9、计算1+（1+2）+（1+2+3）+（1+2+3+4+100）解：1+（1+2）+（1+2+3）+（1+2+3+4+100）=1×2÷2+2×3÷2+3×4÷2+100×101÷2=（1×2+2×3+3×4+100×101）÷2=（100×101×102÷3）÷2=将上面的口诀继续编写是：前延比零小，取负就是了。小学不可为，首项先甩掉。平方和立方，变形再裂项。式长要转化，类比解决它。口诀需熟记，灵活靠