圆的概念及性质（1）讲义学生版

1、精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业知识点睛知识点睛一、圆的相关概念1. 圆的定义（1）描述性定义：在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点随之旋转OAOA所形成的图形叫做圆，其中固定端点叫做圆心，叫做半径OOA（2）集合性定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，顶点叫做圆心，定长叫做半径（3）圆的表示方法：通常用符号表示圆，定义中以为圆心，为半径的圆记作”“，读作”OOAO圆“O（4）同圆、同心圆、等圆：圆心相同且半径相等的圆叫同圆；圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；能够重合的两个圆叫做等圆注意：注意：同圆或等圆的半径相等2. 弦和弧（1）弦：连结圆上任

2、意两点的线段叫做弦（2）直径：经过圆心的弦叫做圆的直径，直径等于半径的倍2（3）弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距（4）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧以为端点的圆弧记作，读作弧AB、AABAB（5）等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧（6）半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆（7）优弧、劣弧：大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧（8）弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形3. 圆心角和圆周角（1）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角将整个圆分为等份，每一份的弧对应的圆心角，3601我们也称这样的弧为的弧圆心角的度数和它所对的弧的度数相等1（2

3、）圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角二、圆的对称性1. 旋转对称性（1）圆是中心对称图形，对称中心是圆心；圆是旋转对称图形，无论绕圆心旋转多少度角，总能与自身重合（2）圆的旋转对称性圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系2. 轴对称性（1）圆是轴对称图形，经过圆心的任一条直线是它的对称轴（2）圆的轴对称性垂径定理三、圆的性质定理1. 圆周角定理（1）定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半24.124.1 圆的概念及性质圆的概念及性质精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业EODCBA（2）推论：推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等

4、推论 2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径90推论 3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形2. 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系（1）定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等FEBACDO（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等所对的两圆心角相等所对的两圆心角相等所对的两条弦相等所对的两条弦相等所对的两条弧相等所对的两条弧相等所对的两条弦的弦心距相等所对的两条弦的弦心距相等注意：前提条件是在同圆或等圆中；在由等弦推出

5、等弧时应注意：优弧与优弧相等；劣弧与劣弧相等3. 垂径定理（1）定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧（2）推论 1：平分弦（非直径）的直径，垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧（3）推论 2：圆的两条平行线所夹的弧相等注意：若“过圆心的直线”、 “垂直于弦”、 “平分弦（非直径） ”、 “平分弦所对的优弧”、 “平分弦所对的劣弧”中的任意两个成立，则另外三个都成立注意：应用垂径定理与推论进行计算时，往往要构造如右图所示的直角三角形，根据垂径定理与勾股定理有：，根据此公式，在

6、，三个量中知道任何两个量就可以求出222( )2ardard第三个量精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业ra2dOCBA例题精讲例题精讲一、圆的相关概念及性质【例 1】 判断题：（1）直径是弦( )（2）弦是直径( )（3）半圆是弧( )（4）弧是半圆( )（5）长度相等的两条弧是等弧( )（6）等弧的长度相等( )（7）两个劣弧之和等于半圆( )（8）半径相等的两个圆是等圆( )（9）两个半圆是等弧( )（10）圆的半径是，则弦长的取值范围是大于且不大于( )R02R【巩固】如图，在两半径不同的同心圆中，则（ ）60AOBA OB AAAABA BBAAABA BC的度数的度数AABA

7、A BD的长度的长度AABAA BBABAO【例 2】 如图，点在半圆上，四边形均为矩形，设，ADGM、OABOCDEOFHMNO、BCa，则下列格式中正确的是( )EFbNHcA B C DabcabccabbcaONMHGFEDCBA【巩固】如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为，则该半圆的半径为216cm_精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业【例 3】 如图，1O，2O，3O，4O为四个等圆的圆心，A，B，C，D 为切点，请你在图中画出一条直线，将这四个圆分成面积相等的两部分，并说明这条直线经过的两个点是 ；如图，1O，2O，3O，4O，5O为五个等圆的圆心，A，B

8、，C，D，E 为切点，请你在图中画出一条直线，将这五个圆分成面积相等的两部分，并说明这条直线经过的两个点是 图 1O4O3O2O1DCBAO5EABCDO1O2O3O4图 2二、圆的性质定理1. 圆周角定理【例 4】 如图，则弧所对圆周角的度数是（ ）80AOBABACBA B C D 40455080OCBA【巩固】如图，是的外接圆，已知，则的大小为_OABC50ABOACBOCBA【例 5】 如下左图，四个边长为 的小正方形拼成一个大正方形，是小正方形顶点，的半径1ABO、O为 ，是上的点，且位于右上方的小正方形内，则等于_1POAPBPOBA【例 6】 如图，量角器外沿上有两点，它们的度

9、数分别是，则的度数为_AB、70 40、1精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业O1BA【巩固】如图，量角器外缘边上有三点，它们所表示的读数分别是，则APQ，1807030的大小为（ ）PAQABCD10203040【例 7】 如图，是的外接圆，已知，则的度数是（ ）OABC60BCAOABCD15304560OCBA【巩固】如图，是的直径，是O 的弦，连接，若，则的度ABOACDACAD，35CABADC数为 CBDOA【例 8】 如图所示的半圆中，是直径，且，则的值是_AD32ADAC，sinBDCAB【巩固】如图，是的直径，设，则_ABOCDABCOD2sin2ABADODCBA精选

10、优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业【例 9】 如图，为的直径，是的弦，的延长线交于点，若ABOCDOABCD、E，求的度数218ABDEE，AOCOEDCBA【巩固】如图所示是的直径，交于，且，求的度数CDO87EODAEOBABOCAOEDCBA【例 10】如图，在中，的度数为，是上一点，是上不同的两点(不与OAOBmCAACBDE、AAB两点重合)，则的度数为_AB、DEOEDCBA【巩固】如图，是的直径，弦交于点，弦交于点，ABOPCOADPEOBF且若，则_OCDCOFEF，CE CPEOPFEDCBA【例 11】如图所示，在中，则的半径为（ ）ABC45C4AB O A.2 2B

11、.4C.2 3D.5OCBA【巩固】如图，的三个顶点都在上，则的半径为_ABCO302cmCAB，Ocm精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业OCBA【巩固】如图是半圆的直径，点在弧上，且平分，已知，求ABOCD、ABADCAB106ABAC，的长ADODCBA【例 12】如图，是的内接三角形，点是优弧上一点(点不与重合)，ABCOACABCAB，设，OABC（1）当时，求的度数；35（2）猜想与之间的关系，并给予证明OCBA【巩固】如图，与相交于、两点，是的直径，且把分成度数比为的两条弧，OPBCBCPO1 2是上的动点(不是、重合)，连结、分别交于、两点AABmCBCABACPDE（1

12、）当是钝角三角形时，判断的形状ABCPDE（2）当是直角三角形时，判断的形状ABCPDE（3）当是锐角三角形时，判断的形状这种情况加以证明ABCPDEmOPEDCBA【例 13】圆及相交于点及圆的圆心落在的圆周上，圆的弦交于点1S2SAB1SO2S1SAC2S精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业（如图） ，证明：线段与是互相垂直的DODBCABCDOS1S2【巩固】两圆相交于、，是大圆上一点，过、和、分别作直线交小圆于、，过、ABPOAPBPCDO作直径求证：PPEPECDPGFEDCBA【例 14】如图，已知是的直径，点是上一点，连结，过点作直线ABOCOBCAC、C于点，点是上一点，

13、直线交于点，连结，与直线交于CDABDEABCEOFBFCD点求证：G2BCBG BFFOGEDCBA【巩固】如图，已知：在中，直径，点是上任意一点，过作弦，点是O4AB EOAECDABF上一点，连接交于，连接ABCAFCEHACCFBDOD、 求证：；ACHAFC 猜想：与的数量关系，并说明你的猜想；AH AFAE AB 探究：当点位于何处时，？并加以说明E:1:4AECBODSS精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业ABCDEFHO【例 15】如图，是圆中的三条弦，点在上，且请你说明以下ABACADEADABACAE各式成立的理由：（1）；（2）2CADDBE 22ADABBD DC

14、EDCBA【巩固】在中，点、分别是的外心、垂心点、分别在边、ABC60ABCOHABCDEBC上，使得，已知求的面积ABBDBHBEBO1BO BDE图 12HOFEDCBA2. 圆内接四边形【例 16】如图，为的直径，交于点，交于点， ABOAACOAEBCOADCDBD70C现给出以下四个结论：； ； AAAEBE； 45AACAB22CE ABBD其中正确结论的序号是A BC D精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业OEDCBA【巩固】已知：如图，面积为的四边形内接于，对角线经过圆心，若，2ABCDOAC45BAD则的长等于 2CD ABODCBA【例 17】已知是的直经，是弦，若，

15、求由ADOABAC、232ADABAC，四点构成的四边形的周长ABCD，图 1ODCBA【巩固】如图，已知四边形内接于直径为 3 的圆，对角线是直径，对角线和的交点ABCDOACACBD，且，求四边形的周长PABBD0.6PC ABCDOPBCDA【例 18】如图，四边形为正方形，过正方形的顶点和对角线的交点，分别交ABCDOAAP于点ABAD，FE，（1）求证：DEAF（2）若的半径为，求的值OA3221AB AEED精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业EFOPDCBA【例 19】圆内接四边形，交于，于，交于求证：ABCDACBDACBDEEGCDGABFAFBFGEFABCD【巩固】

16、圆内接矩形，过作圆的切线，分别与、的延长线相交于、，求证：CEDFDABCECFAB33BFBCAEACOFEDCBA精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业3. 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系【例 20】在同圆中，的度数小于，且，那么弦和弦的大小关系为（ ACD180AA2ABCDABCD）A B C D无法确定ABCDABCDABCD【巩固】如图所示在中，那么（ ）O2ABCD AAA.2ABCDAAB.2ABCD 与的大小关系不能确定AAC.2ABCDAD. ABA2CDDCBAO【例 21】已知是的弦，平分交于，弦交于，求证：ABAC、OADBACODDEABACP平分OPAPDO

17、EPDCBA【巩固】如图，过的直径上两点，分别作弦，若求证： OABMN，CDEF，CDEFACBF，；AABECADFAMBNOFDECMBNA精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业【例 22】已知点、顺次在上，于点，求证：ABCDOAAABBDBMACMAMDCCMCEABCDOMdABCDOMNcABCDOMNbaNMODCBA【巩固】在中，是它的外接圆上包含点的弧的中点，上的点使得ABCACBCMCABACX，求证：MXACAXXCCBOXMCBA【例 23】如图，是的内接三角形，为中上一点，延长至点，ABCOACBCDOAABDAE使是关于的方程的两根CECD、x22123412

18、904xmxmm1 求证：；若，求证：AEBDACBC2ADBDCDOEDCBA精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业【巩固】如图，四边形内接于圆，且其对角线交于点，点在线段上，使得ABCDABADEFAC若，求的值BFCBAD 2BADDFC BEDE图 4FEDCBA【例 24】已知：如图，是中直角边上的一点，以为直径的圆交斜边于点，DRt ABCBCBDABE连结交此圆于点，交于点求证：ECFBFACGGF CACF EAOEGDFCBA【巩固】是半圆的直径，点在圆上，过点、分别作过点的切线的垂线、，、为ABCABCADBEDE垂足，求证：24DEAD DEECDFOBA精选优质文档

19、-倾情为你奉上专心-专注-专业课后作业课后作业1.如图，是的直径，点在上，则ABOCD、O110BOCADOC_AODODCBA2.如图，已知是的圆周角，则圆心角是（ ）ACBOA50ACBAOBABCD405080100OCBA3.如图，四边形是的内接正方形，点是劣弧上不同于点的任意一点，则ABCDOPACDC的度数是( )BPC A.45B.60C.75D.90精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业PODCBA4.如图，为的直径，过点的弦平行于半径，若的度数是，则的度数CDODDEOAD50C是（ ）ABCD25403050OEDCA5.如图，已知为O 的直径，则_AB20E50DBCCBEOEDCBA6.如图，是的直径，点，都在上，若，求ABOACDEOACDEABOEDCBA7.如图，是的直径，点，都在上，若，求ABOACDEOACDEABOEDCBA8.如图，有一圆形展厅，在其圆形边缘上的点处安装了一台监视器，它的监控角度是为A65了监控整个展厅，最少需在圆形边缘上共安装这