《线性代数》样卷B及答案

1、线性代数样卷 B、选择题（本题共 10小题，每小题2分，共20分）（从下列备选答案中选择一个正确答案）1、排 列7352164的逆序数为（）（A） 11（ B）12（ C） 13（ D） 142、若A为n阶可逆矩阵，下列各式正确的是（）（A）（2A）1 2A1（ B）A A 0(C) (A ) 1A 1A(D) (A1 T 1T 1 T)(A)0010 013、以初等矩阵 010右乘初等矩阵A 100相当于对矩阵A施行初等变换为（）1000 10(A) r2r3(B) C2C3(C) r13( D) GC34、奇异方阵经过(）后，矩阵的秩有可能改变（A）初等变换（B）左乘初等矩阵（C）左右冋乘

2、初等矩阵（D）和一个单位矩阵相加5、如果n元齐次线性方程组 Ax0有基础解系并且基础解系含有s（s n）个解向量，那么矩阵A的秩为（）(A) n(B) S(C) n S（D）以上答案都不正确6、向量组1, 2,3线性无关，2,3, 4线性相关，则有（)(A)1可由4,2 ,3线性表示(B)2可由1,4 ,3线性表示(C)3可由1,2,4线性表小(D)4可由1,2 ,3线性表示7、 以下结论正确的是（）（A）一个零向量一定线性无关；（B） 个非零向量一定线性相关;（C）含有零向量的向量组一定线性相关;（D）不含零向量的向量组一定线性无关8、n阶方阵A具有n个不同的特征值是 A与对角阵相似的（）（

3、A）充要条件（B）充分不必要条件（C）必要不充分条件（D）既不充分也不必要条件9、关于x的一次多项式 f(x)，则式中一次项的系数为(A) 2(B) 2(C)(D) 310、下列不可对角化的矩阵是(A)实对称矩阵(B)有n个相异特征值的n阶方阵(C) 有n个线性无关的特征向量的 n阶方阵(D) 不足n个线性无关的特征向量的 n阶方阵、填空题(本题共10空，每空2分，共20分)(请将正确答案填入括号内)1、若三阶方阵A的3重特征值为2,则行列式 A =2、已知D687 6324 33 423 ，则 6A21 8A22 3 A23 4A24 =1 22 13.设A为三阶可逆矩阵，且A1，则13A3

4、2154、=131125、矩阵134的秩是1341236、行列式247中兀素一2的代数余子式是6257、设AX 0为一个4元齐次线性方程组，若1, 2, 3为它的一个基础解系，则秩R(A)8、设 A 12 的行最简形为:9、已知 x (6,4,3) T,y (1, 3, 2)T，贝V x, y10、 设向量(3, 2,2)T与向量(4,3,t)正交，则三、计算题(本题共2小题,每小题6分，共12分)(要求写出主要计算步骤及结果)1、计算D42M2224M2222M4222M24、已知f(x)x24x00，求2f(A).四、综合应用题(本题共4小题,共48分)(要求写出主要计算步骤及结果)1、(

5、 8分)已知向量组 11,2,3,21, 1,3,0T5,7, 3,4,，(1 )求该向量组的秩.(2)求该向量组的一个最大无关组(3 )将不属于最大无关组的向量用最大无关组线性表示2、( 8 分)验证 1(0,2,1)t,2 (2, 1,3)t, 3( 3,3, 4)T 为 R3 的一个基并求1(1,2,3)t,2(2, 3,1)t在这个基中的坐标。3、( 14 分)设有向量组 A:a1 (2, 2, 4)t, a2 (1,2,4)T,a3 (2, , 3)T及向量b (1,3, )T，问，取何值时。(1) 向量b不能由A向量组线性表示？(2) 向量b能由A向量组线性表示，且表示式唯一？(3

6、) 向量b能由A向量组线性表示，且表示式不唯一?4、( 18分)已知二次型22=2x1 4x1 x2 +x24x2x3,（2）求矩阵A的特征值.（3分）（3）求矩阵A的特征值对应的特征向量.（6分）（4） 求正交变换x Py把二次型 =2xj 4x1x2+x22 4x2x3化为标准型.（6分）线性代数样卷B答案及评分标准、选择题（本题共10小题,每小题2分，共20分）1-5: C B D D C 6-10: D C B A D(2n2)2n 1(6分)、填空题（本题共10空，每空2分，共20分）1351、 82 、03、4、5、2121 006、-47、1 8、0 109、一12 10、30

7、01三、计算题（本题共2小题,每小题6分，共12分）1、122L22122L2142L22020L0C1 Ci解：Dc 1(2n2)MMMG A (2 n 2)002L01 (2n 2)122L42i 2,L nMMMM122L24000L2122、已知f(x)x24x1，A 2 100340解： 2（ 2 分）A2430004640fAA24AE46000300 ，求2f (A).4A480（ 2 分）8400082 分）四、综合应用题（ 本题共 4小题，共 48 分）（要求写出主要计算步骤及结果）1、（ 8 分）已知向量组T1,2,3,2 T , 2TT1, 1,3,0 , 3 5,7,

8、3,41）求该向量组的秩2）求该向量组的一个最大无关组3）将不属于最大无关组的向量用最大无关组线性表示115102217r013解：A（2 分）333000204000（1）该向量组的秩R( 1, 2,3)2， （2 分）2）该向量组的一个最大无关组为1, 2 （2 分）（ 3） 32 1 3 2 (2 分）2、（8 分）验证 1(0, 2,1)T ,2(2, 1,3)t, 3( 3,3, 4)t 为 R3 的一个基并求 1(1,2,3)T,2 (2,3,1)T在这个基中的坐标。解：证 A( 1, 2,3) B( 1,2)0 23 1 210(A, B)21 323:01134 3 100A

9、:E即1,2,3为R3,的一个基且12123 ,241即1,2在这个基中的坐标分别为(2,0 24017(4 分)11 47 24 31, 1)和(4,7, 4)(2 分)(2 分)3、(14 分)设有向量组 A:a,(2, 2, 4)t, a2 (1,2,4)T, a3 (2, , 3)T及向量b (1,3, )T，问，取何值时。4、(18分)已知二次型=2财24x1 x2 +x2 4x2x3,(1) 向量b不能由A向量组线性表示？(2) 向量b能由A向量组线性表示，且表示式唯一？(3) 向量b能由A向量组线性表示，且表示式不唯一？解：设x1a1X2a2X3a3b 记 A(a1, a2, a

10、3)X(X1, X2 , X3 )T212 1 21 21(A b)2230324(5分)443003 26(1)当3且26 时 R(A)2 R(代b)3,Ax b无解，即b不能由A组线性表示。(3 分)(2)当43步3, Ax时 R(A)R( A,b)b有唯 解,b冃匕由A组唯表小。(3分丿(3)当13且6 时，R(A)R(A,b)2 3,Ax b有无穷多解，b能由A表示且不唯一。(3分)(1 )写出二次型对应的矩阵 A .(3分)(2)求矩阵A的特征值.(3分)（3）求矩阵A的特征值对应的特征向量.（6分）2（4）求正交变换x Py把二次型 =2xj24X1X2+X24X2X3化为标准型 （6 分）解：（1）A-21 -2（3分）0-2 022 0（2）AE21 2（1）（4）（2）02故得特征值为 12, 21, 34 . （3 分）42 0X（3）当12时,由（A2E）X0,即232X2002 2X3X11解得X2k1 2 得特征向量12（2 分）X322120x1当21时，由（A-E）X0,即 202 x20021X3X22解得X2k2 1得特征向量21（2 分）X32222 0X1当 34时，由（A-4E）X0,即232X20024X3X22解得X2k32得特征向量32（2 分）X