工程矩阵往年试题分析

1、第一章1.（20%）已知的子空间， 分别求，的一组基及它们的维数。2.（18%）设上的线性变换定义为：， 其中，(1) 求在的基下的矩阵；(2) 分别求的特征值及相应的特征子空间的一组基及它们的维数；(3) 给出的最小多项式；(4) 问：是否存在的基，使得的矩阵为对角阵？为什么？3.（20%）设上的线性变换定义为：， 其中，表示矩阵的迹。(1) 求在的基下的矩阵；(2) 求的值域及核子空间的基及它们的维数；(3) 问：+是否为直和？为什么？4.（20%）假设矩阵，在上定义映射如下：对任意， (1) 证明：是上的线性变换；(2) 求在的基下的矩阵；(3) 求的值域及核子空间的各一组基及它们的维数

2、；(4) 问：是否成立？为什么？(5) 试求的Jordan标准形，并写出的最小多项式；(6) 问：能否找到的基，使得的矩阵为对角阵？为什么？5. (16%)上的线性变换定义如下：,(1) 求在的基下的矩阵；(2) 求的值域及核子空间的各一组基及它们的维数；(3) 问：是否成立？为什么？6.（8%）设为线性空间上的线性变换，且. 试证：；7. 若阶方阵与满足：. ； . ； . 则（证明时请注明每一步的理由）.第二章1.（10%）设的子空间=，。试求，使得。?2. 在上定义内积。的子空间。试求，使得。3.（10%）假设，的由生成的子空间，。在中求向量，使得。4.（10%）设是一维欧氏空间，是一单

3、位向量，是一参数，上的线性变换定义为：， 问：当取何值时，是正交变换？5. 记。定义上先行变换如下：(1)求的值域的一组基，并给出的两个不同的子空间，使得；(2) 问：是否为正交变换？为什么？第三章1. 已知的特征多项式与最小多项式都是，分别求及的Jordan标准形. 2.（8%）已知阶方阵满足，且的秩是，求.3.（12%）设矩阵，。(1) 根据的不同的值，讨论矩阵的所有可能的Jordan标准形；(2) 若与是相似的，问：参数应满足什么条件？试说明你的理由。4. 假设矩阵的特征多项式及最小多项式都等于，并且。(1) 分别给出和的Jordan标准形；(2) 问：与是否相似？为什么？5. 证明：若

4、方阵的特征值全为零，则必存在正整数，使。6. 已知矩阵。(1) 试写出矩阵的特征多项式，最小多项式，及矩阵的秩；(2) 如果矩阵与有相同的特征多项式，有相同最小多项式，并且与的秩也相同，问：与是否一定相似？说明你的理由。7.（12%）已知矩阵的特征多项式及最小多项式相等，均等于，矩阵。(1) 分别给出和的Jordan标准形；(2) 问：与是否相似？为什么？8.（16%）设矩阵。(1) 试分别求的特征多项式和最小多项式；(2) 写出的Jordan标准型；(3) 求；第四章1. 假设是正规矩阵。若的特征值全是实数，证明：是Hermite矩阵。2. 假设、都是Hermite矩阵。证明是Hermite

5、矩阵当且仅当。3. 假设是Hermite矩阵，证明：是酉矩阵。4. 证明：Hermite阵和酉矩阵都是正规阵。试举一例说明存在这样的正规阵，它既不是Hermite矩阵，也不是酉矩阵。5. 若维列向量的长度小于2，证明：是正定矩阵。6. 假设是酉矩阵,是矩阵。证明：是酉矩阵当且仅当是酉矩阵。7. 假设是酉矩阵, 是Hermite矩阵，并且。记。证明：存在酉矩阵，使得是对角阵。8. 若是正规矩阵，则是酉矩阵的充要条件是的特征值的模全为1；9. 若阶Hermite矩阵为正定阵，又是阶方阵且也是正定阵，则的谱半径。10. 若方阵的特征值全为零，则必存在正整数，使.11. 设是阶正定矩阵，是维非零列向量. 若当时，总有 ，则必线性无关第五章1.（10%）设为方阵，作，设是参数.(1) 试证：； (2) 已知，求.2.（15%）设，求的特征多项式、最小多项式，并求矩阵函数。3. 试证：.4.（10%）试证：若为阶正规矩阵，则5. 设是相容矩阵范数。证明：对任意方阵，的谱半径；6. 证明：对任意方阵，（这里，表示矩阵的行列式，表示矩阵的迹）；第六章 1.（10%）设为矩阵，为矩阵，作.求（用表示）；2.（12%）假设矩阵，试求的广义逆矩阵。3. 假设矩阵，求的广义逆矩阵。