2010年高考试题——数学文（全国卷I）（解析版）

1、20102010 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试文科数学文科数学( (必修必修+ +选修选修) ) 解析版解析版本试卷分第 I 卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分。第 I 卷 1 至 2 页。第卷 3 至 4 页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第第 I I 卷卷注意事项：1答题前，考生在答题卡上务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。2每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。 3

2、第 I 卷共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。参考公式：参考公式：如果事件互斥，那么 球的表面积公式A、B ()( )( )P ABP AP B24SR如果事件相互独立，那么 其中 R 表示球的半径A、B 球的体积公式()( )( )P A BP A P B如果事件 A 在一次试验中发生的概率是，那么 p334VR次独立重复试验中事件恰好发生次的概率 其中 R 表示球的半径nAk( )(1)(0,1,2,)kkn knnP kC ppkn一、选择题一、选择题(1)cos300 (A) (B)- (C) (D) 321212321.C

3、【命题意图】本小题主要考查诱导公式、特殊三角函数值等三角函数知识【解析】1cos300cos 36060cos602 (2)设全集，集合，则1,2,3,4,5U 1,4M 1,3,5N UNMA. B. C. D. 1,3 1,5 3,54,52.C【命题意图】本小题主要考查集合的概念、集合运算等集合有关知识【解析】，则=2,3,5UM 1,3,5N UNM1,3,52,3,5 3,5(3)若变量满足约束条件则的最大值为, x y1,0,20,yxyxy2zxy(A)4 (B)3 (C)2 (D)13.B 【命题意图】本小题主要考查线性规划知识、作图、识图能力及计算能力.【解析】画出可行域（如

4、右图） ，由图可知,当直线l经过点11222zxyyxzA(1,-1)时，z 最大，且最大值为.max1 2 ( 1)3z （4）已知各项均为正数的等比数列，=5，=10，则=na123a a a789a a a456a a a(A) (B) 7 (C) 6 (D) 5 24 24.A【命题意图】本小题主要考查等比数列的性质、指数幂的运算、根式与指数式的互化等知识，着重考查了转化与化归的数学思想. 【解析】由等比数列的性质知，31231322()5a a aa aaa10,所以,37897988()a a aa aaa132850a a 所以13336456465528()()(50 )5 2

5、a a aa aaaa a(5)的展开式的系数是43(1) (1)xx2x(A)-6 (B)-3 (C)0 (D)35.A. 【命题意图】本小题主要考查了考生对二项式定理的掌握情况，尤其是展开式的通项公式的灵活应用，以及能否区分展开式中项的系数与其二项式系数，同时也考查了考生的一些基本运算能力.【解析】134323422(1) (1)1 4641 33xxxxxxxxx0 xy1Oyxy20 xyxA0:20lxyL022A的系数是 -12+6=-62x(6)直三棱柱中，若，则异面直线111ABCA BC90BAC1ABACAA与所成的角等于1BA1AC(A)30 (B)45(C)60 (D)

6、906.C【命题意图】本小题主要考查直三棱柱的性质、异面直线所成的角、异面111ABCA BC直线所成的角的求法. 【解析】延长 CA 到 D，使得，则为平行四边形，就是异面直线ADAC11ADAC1DAB与所成的角，又三角形为等边三角形，1BA1AC1ADB0160DAB(7)已知函数.若且，则的取值范围是( ) | lg|f xxab( )( )f af bab(A) (B)(C) (D) (1,)1,)(2,)2,)7.C【命题意图】本小题主要考查对数函数的性质、函数的单调性、函数的值域，考生在做本小题时极易忽视 a 的取值范围，而利用均值不等式求得 a+b=,从而错选 D,这也是12a

7、a命题者的用苦良心之处.【解析 1】因为 f(a)=f(b),所以|lga|=|lgb|,所以 a=b(舍去)，或，所以 a+b=1ba1aa又 0ab,所以 0a1f(1)=1+1=2,即 a+b 的取值范围是(2,+).【解析 2】由 0ab,且f(a)=f(b)得：，利用线性规划得：，化为求0111abab0111xyxy的取值范围问题，过点zxyzxyyxz 2111yyxx 时 z 最小为 2,(C) 1,1(2,)（8）已知、为双曲线 C:的左、右焦点，点 P 在 C 上，=，则1F2F221xy1FP2F06012| |PFPF (A)2 (B)4 (C) 6 (D) 8ABCD

8、A1B1C1D1O8.B【命题意图】本小题主要考查双曲线定义、几何性质、余弦定理，考查转化的数学思想，通过本题可以有效地考查考生的综合运用能力及运算能力.【解析 1】.由余弦定理得cosP=1F2F222121212|2|PFPFFFPFPF22221212121201212222 221cos60222PF PFPFPFPF PFFFPF PFPF PF412| |PFPF 【解析 2】由焦点三角形面积公式得：120220121260113cot1 cot3sin6022222F PFSbPF PFPF PF412| |PFPF （9）正方体-中，与平面所成角的余弦值为ABCD1111ABC

9、 D1BB1ACD（A） （B） （C） （D）233323639.D 【命题意图】本小题主要考查正方体的性质、直线与平面所成的角、点到平面的距离的求法，利用等体积转化求出 D 到平面 AC的距离是解决本题的关键所在,这也是转化思想的1D具体体现.【解析 1】因为 BB1/DD1,所以B与平面 AC所成角和DD1与1B1D平面 AC所成角相等,设 DO平面AC，由等体积法得1D1D,即.设 DD1=a,11D ACDDACDVV111133ACDACDSDOSDD则,12211133sin60( 2 )2222ACDSAC ADaa.21122ACDSAD CDa所以,记 DD1与平面 AC所

10、成角为,则1312333ACDACDSDDaDOaSa1D,所以.13sin3DODD6cos3【解析 2】设上下底面的中心分别为；与平面AC所成角就是B与平面AC1,OO1O O1D1B所成角，1D111136cos1/32OOOODOD（10）设则123log 2,ln2,5abc（A）（B） (C) (D) abcbcacabcba10.C 【命题意图】本小题以指数、对数为载体，主要考查指数函数与对数函数的性质、实数大小的比较、换底公式、不等式中的倒数法则的应用.【解析 1】 a=2=, b=In2=,而,所以 ab,3log21log 321log e22log 3log1ec=,而,

11、所以 ca,综上 cab.125152252log 4log 3【解析 2】a=2=,b=ln2=, ，； c=3log321log21loge3221loglog2e32211112logloge，cab121115254（11）已知圆的半径为 1，PA、PB 为该圆的两条切线，A、B 为两切点，那么的最OPA PB 小值为(A) (B) (C) (D)42 32 42 2 32 2 11.D【命题意图】本小题主要考查向量的数量积运算与圆的切线长定理，着重考查最值的求法判别式法,同时也考查了考生综合运用数学知识解题的能力及运算能力.【解析 1】如图所示：设 PA=PB=,APO=,则x(0)

12、x APB=，PO=，221x21sin1x=| |cos2PA PBPAPB 22(1 2sin)x=，令，则，222(1)1xxx4221xxxPA PBy 4221xxyx即，由是实数，所以42(1)0 xy xy2x，解得或.故2 (1)4 1 ()0yy 2610yy 32 2y 32 2y .此时.min()32 2PA PB 21x 【解析 2】设，,0APB2cos1/tancos2PA PBPAPB PABO换元：，2222221 sin1 2sincos2221 2sin2sinsin222sin,012xx11 21232 23xxPA PBxxx 【解析 3】建系：园的

13、方程为，设，221xy11110( ,), ( ,), (,0)A x yB xyP x 2211101110110,001AOPAx yxxyxx xyx x222222221100110110221232 23PA PBxx xxyxxxxx （12）已知在半径为 2 的球面上有 A、B、C、D 四点，若 AB=CD=2,则四面体 ABCD 的体积的最大值为(A) (B) (C) (D) 2 334 332 38 3312.B【命题意图】本小题主要考查几何体的体积的计算、球的性质、异面直线的距离,通过球这个载体考查考生的空间想象能力及推理运算能力.【解析】过 CD 作平面 PCD，使 AB

14、平面 PCD,交 AB 与 P,设点 P 到 CD 的距离为,则有h,当直径通过 AB 与 CD 的中点时,故ABCD11222323Vhh 四面体22max2 212 3h.max4 33V第卷注意事项： 1答题前，考生先在答题卡上用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考 证号填写清楚，然后贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。 2第卷共 2 页，请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域 内作答，在试题卷上作答无效。 3.第卷共 10 小题，共 90 分。 22210110111001,2PA PBxxyxxyxx xxy 二填空题：本大题共

15、4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在题中横线上 (注意：在试题卷上作答无效) (13)不等式的解集是 .22032xxx13. 【命题意图】本小题主要考查不等式及其解法21,2xxx 或【解析】: ，数轴标根得：22032xxx20221021xxxxxx21,2xxx 或(14)已知为第二象限的角，,则 .3sin5a tan214.【命题意图】本小题主要考查三角函数值符号的判断、同角三角函数关系、和角的247正切公式,同时考查了基本运算能力及等价变换的解题技能.【解析】因为为第二象限的角,又, 所以，,所3sin54cos5 sin3tancos4 22tan24tan(2 )

16、1tan7 (15)某学校开设 A 类选修课 3 门，B 类选修课 4 门，一位同学从中共选 3 门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有 种.(用数字作答)15. A【命题意图】本小题主要考查分类计数原理、组合知识,以及分类讨论的数学思想.【解析 1】:可分以下 2 种情况:(1)A 类选修课选 1 门,B 类选修课选 2 门,有种不同的选法;(2)A 类选修课选 2 门,B 类选修课选 1 门,有种不1234C C2134C C同的选法.所以不同的选法共有+种.1234C C213418 1230C C 【解析 2】: 33373430CCC(16)已知是椭圆的一个焦点，是短轴的

17、一个端点，线段的延长线交于点， FCBBFCD且，则的离心率为 .BF2FDuu ruurC16. 【命题意图】本小题主要考查椭圆的方程与几何性质、第二定义、平面向量知识，33考查了数形结合思想、方程思想,本题凸显解析几何的特点：“数研究形，形助数” ，利用几何性质可寻求到简化问题的捷径.【解析 1】如图，,22|BFbca作轴于点 D1,则由，得1DDyBF2FDuu ruur,所以,1|2|3OFBFDDBD133|22DDOFc即,由椭圆的第二定义得32Dcx 2233|()22accFDeaca又由,得| 2|BFFD232,caaa33e【解析 2】设椭圆方程为第一标准形式，设，F

18、分 BD 所成的比为 2，22221xyab22,D xy，代入22223022333 0;122212222ccccybxbybbxxxc yy ，222291144cbab33e三解答题：本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（17） （本小题满分 10 分）(注意：在试题卷上作答无效)记等差数列的前项和为，设，且成等比数列，求. nannS312S 1232 ,1a a a nS(18)(本小题满分 12 分)(注意：在试题卷上作答无效) 已知的内角，及其对边，满足，求内角ABCVABabcotcotabaAbBC(19)(本小题满分 12 分)（注意：在试题卷上作答无效注意：在试题卷上作答无效) 投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审若能通过两位初审专家的评审，则予以录用