导数的应用(1)

1、 导数的应用 姓名 复习目标：1理解可导函数的单调性与其导数的关系； 2了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)。基础热身：1. 对于总有成立，则= 。2. 设函数为实数。（）已知函数在处取得极值，求的值； （）已知不等式对任意都成立，求实数的取值范围。知识梳理：1单调性与导数 若在上恒成立，在 函数若在上恒成立，在 函数 在区间上是增函数 在上恒成立；在区间上为减函数 在上恒成立.2极值与导数10. 设函数在点附近有定义，如果左 右 ，则是函数的一个极大值; 如果左 右 ，则是函数的一个极小值； 如果左右不改变符号，那么在这个根处注意: 极值是一个局部概念,不同

2、与最值; 函数的极值不是唯一的; 极大值与极小值之间大小关系: ；数的极值点一定出现在区间的内部.20.求可导函数极值的步骤：；3利用导数求函数的最值设函数在上连续，在内可导，则求在上的最大值与最小值的步骤： ； 案例分析：例1.已知函数，且是奇函数（）求，的值；（）求函数的单调区间例2.已知函数，（）讨论函数的单调区间；Ks5u（）设函数在区间内是减函数，求的取值范围例3.已知函数，R且. ()若曲线在点处的切线垂直于y轴，求实数的值； ()当时，求函数的最大值和最小值.例4.已知函数有三个极值点。Ks5u （I）证明：； （II）若存在实数c，使函数在区间上单调递减，求的取值范围。参考答案

3、:基础热身：1. 【答案】4【解析】本小题考查函数单调性及恒成立问题的综合运用,体现了分类讨论的数学思想。 要使恒成立，只要在上恒成立。当时，所以，不符合题意，舍去。当时，即单调递减， ，舍去。当时Ks5u 若时在和 上单调递增，在上单调递减。所以 当时在上单调递减，不符合题意，舍去。综上可知a=4.2. 【解析】（I）在取得极值即（）即 令Ks5u 即对任意都成立则即例1. 已知函数，且是奇函数（）求，的值；（）求函数的单调区间 【解析】（）因为函数为奇函数， 所以，对任意的，即 又所以 所以解得（）由（）得所以 当时，由得变化时，的变化情况如下表：00 所以，当时，函数在上单调递增，在上单

4、调递减， 在上单调递增 当时，所以函数在上单调递增例2. .已知函数，（）讨论函数的单调区间；Ks5u（）设函数在区间内是减函数，求的取值范围 例3. .已知函数，R且. ()若曲线在点处的切线垂直于y轴，求实数的值； ()当时，求函数的最大值和最小值.解： Ks5u . -3分 () 曲线在点处的切线垂直于y轴， 由导数的几何意义得， . -6分 ()设，只需求函数的最大值和最小值.-7分 令，解得或. ，. 当变化时，与的变化情况如下表：00增函数极大值减函数极小值增函数 函数在和上单调递增；在上单调递减； -9分 当，即 时，函数在上为减函数. , . 当，即 时，函数的极小值为上的最小

5、值， .函数在上的最大值为与中的较大者. ，.Ks5u 当时，此时； 当时，此时； 当时，此时. -12分 综上，当时，的最小值为，最大值为； 当时，的最小值为，最大值为； 当时，的最小值为，最大值为. -13分例4：已知函数有三个极值点。Ks5u （I）证明：； （II）若存在实数c，使函数在区间上单调递减，求的取值范围。【解析】（I）因为函数有三个极值点, 所以有三个互异的实根. 设则 当时， 在上为增函数; 当时， 在上为减函数; 当时， 在上为增函数; 所以函数在时取极大值,在时取极小值. 当或时,最多只有两个不同实根. 因为有三个不同实根, 所以且. 即,且,解得且故.（II）由（I）的证明可知，当时, 有三个极值点. 不妨设为（），则 所以的单调递减区间是, 若在区间上单调递减，Ks5u则, 或, 若,则.由