奥数训练专题——容斥原理

1、容斥原理1、某班学生手中分别拿红、黄、蓝三种颜色的小旗，已知手中有红旗的共有人，手中有黄旗的共有人，手中有蓝旗的共有人其中手中有红、黄、蓝三种小旗的有人而手中只有红、黄两种小旗的有人，手中只有黄、蓝两种小旗的有人，手中只有红、蓝两种小旗的有人，那么这个班共有多少人？2、 某班有人，其中人爱打篮球，人爱打排球，人爱踢足球，人既爱打篮球又爱踢足球，人既爱打排球又爱踢足球，没有一个人三种球都爱好，也没有一个人三种球都不爱好问：既爱打篮球又爱打排球的有几人？3、 四年级一班有46名学生参加3项课外活动其中有24人参加了数学小组，20人参加了语文小组，参加文艺小组的人数是既参加数学小组也参加文艺小组人数

2、的35倍，又是3项活动都参加人数的7倍，既参加文艺小组也参加语文小组的人数相当于3项都参加的人数的2倍，既参加数学小组又参加语文小组的有10人求参加文艺小组的人数（6级）4、五年级三班学生参加课外兴趣小组，每人至少参加一项其中有25人参加自然兴趣小组，35人参加美术兴趣小组，27人参加语文兴趣小组，参加语文同时又参加美术兴趣小组的有12人，参加自然同时又参加美术兴趣小组的有8人，参加自然同时又参加语文兴趣小组的有9人，语文、美术、自然3科兴趣小组都参加的有4人求这个班的学生人数（6级）5、光明小学组织棋类比赛，分成围棋、中国象棋和国际象棋三个组进行，参加围棋比赛的有人，参加中国象棋比赛的有人，

3、参加国际象棋比赛的有人，同时参加了围棋和中国象棋比赛的有人，同时参加了围棋和国际象棋比赛的有人，同时参加了中国象棋和国际象棋比赛的有人，其中三种棋赛都参加的有人，问参加棋类比赛的共有多少人？（6级）6、新年联欢会上，共有90人参加了跳舞、合唱、演奏三种节目的演出如果只参加跳舞的人数三倍于只参加合唱的人数；同时参加三种节目的人比只参加合唱的人少7人；只参加演奏的比同时参加演奏、跳舞但没有参加合唱的人多4人；50人没有参加演奏；10人同时参加了跳舞和合唱但没有参加演奏；40人参加了合唱；那么，同时参加了演奏、合唱但没有参加跳舞的有多少人？7、 五年级三班有46名学生参加三项课外活动，其中24人参加

4、了绘画小组，20人参加了合唱小组，参加朗诵小组的人数是既参加绘画小组又参加朗诵小组人数的3.5倍，又是三项活动都参加人数的7倍，既参加朗诵小组又参加合唱小组的人数相当于三项都参加人数的2倍，既参加绘画小组又参加合唱小组的有10人，求参加朗诵小组的人数 8、 六年级100名同学，每人至少爱好体育、文艺和科学三项中的一项其中，爱好体育的55人，爱好文艺的56人，爱好科学的51人，三项都爱好的15人，只爱好体育和科学的4人，只爱好体育和文艺的17人问：有多少人只爱好科学和文艺两项？只爱好体育的有多少人？9、在某个风和日丽的日子，个同学相约去野餐，每个人都带了吃的，其中个人带了汉堡，个人带了鸡腿，个人

5、带了芝士蛋糕，有个人既带了汉堡又带了鸡腿，个人既带了鸡腿又带了芝士蛋糕个人既带了汉堡又带了芝土蛋糕问：三种都带了的有几人？只带了一种的有几个？ 9、 盛夏的一天，有个同学去冷饮店，向服务员交了一份需要冷饮的统计表：要可乐、雪碧、橙汁的各有人；可乐、雪碧都要的有人；可乐、橙汁都要的有人；雪碧、橙汁都要的有人；三样都要的只有人，证明其中一定有人这三种饮料都没有要 10、全班有个学生，其中人会骑自行车，人会游泳，人会滑冰，这三个运动项目没有人全会，至少会这三项运动之一的学生数学成绩都及格了，但又都不是优秀若全班有个人数学不及格，那么，数学成绩优秀的有几个学生？有几个人既会游泳，又会滑冰？ 11、在一

6、个自助果园里，只摘山莓者两倍于只摘李子者；摘了草莓、山莓和李子的人数比只摘李子的人数多个；只摘草莓者比摘了山莓和草莓但没有摘李子者多人；个人没有摘草莓；个人摘了山莓和李子但没有摘草莓；总共有人摘了李子.如果参与采摘水果的总人数是，你能回答下列问题吗？ 有 人摘了山莓； 有 人同时摘了三种水果； 有 人只摘了山莓； 有 人摘了李子和草莓，而没有摘山莓； 有 人只摘了草莓. 12、五年级一班共有人，每人参加一个兴趣小组，共有、五个小组，若参加组的有人，参加组的人数仅次于组，参加组、组的人数相同，参加组的人数最少，只有人那么，参加组的有多少人？13、五一班有28位同学，每人至少参加数学、语文、自然课

7、外小组中的一个其中仅参加数学与语文小组的人数等于仅参加数学小组的人数，没有同学仅参加语文或仅参加自然小组，恰有6个同学参加数学与自然小组但不参加语文小组，仅参加语文与自然小组的人数是3个小组全参加的人数的5倍，并且知道3个小组全参加的人数是一个不为0的偶数，那么仅参加数学和语文小组的人有多少人？ 14、某学校派出若干名学生参加体育竞技比赛，比赛一共只有三个项目，已知参加长跑、跳高、标枪三个项目的人数分别为10、15、20人，长跑、跳高、标枪每一项的的参加选手中人中都有五分之一的人还参加了别的比赛项目，求这所学校一共派出多少人参加比赛？ 图形中的重叠问题1、 把长厘米和厘米的两根铁条焊接成一根铁

8、条已知焊接部分长厘米，焊接后这根铁条有多长？2、把长厘米和厘米的两根铁条焊接成一根铁条已知焊接部分长厘米，焊接后这根铁条有多长？ 3、两张长厘米，宽厘米的长方形纸摆放成如图所示形状把它放在桌面上，覆盖面积有多少平方厘米？ 4、 如图，一张长厘米，宽厘米，另一个正方形边长为厘米，它们中间重叠的部分是一个边长为厘米的正方形，求这个组合图形的面积 5、一个长方形长厘米，宽厘米，另一个长方形长厘米，宽厘米，它们中间重叠的部分是一个边长厘米的正方形，求这个组合图形的面积 6、三个面积均为平方厘米的圆纸片放在桌面上(如图)，三个纸片共同重叠的面积是平方厘米三个纸片盖住桌面的总面积是厘米问：图中阴影部分面积

9、之和是多少？ 7、如图，三角形纸板、正方形纸板、圆形纸板的面积相等，都等于60平方厘米阴影部分的面积总和是40平方厘米，3张板盖住的总面积是100平方厘米，3张纸板重叠部分的面积是多少平方厘米？ 8、如图所示，、分别是面积为、的三张不同形状的纸片，它们重叠在一起，露在外面的总面积为若与、与的公共部分的面积分别为、，、这三张纸片的公共部分为求与公共部分的面积是多少？ 容斥原理在数论问题中的应用1、 在的全部自然数中，不是的倍数也不是的倍数的数有多少个？ 2、 在自然数中，能被或中任一个整除的数有多少个？ 3、 在前个自然数中，能被或整除的数有多少个？ 4、 在从1至1000的自然数中，既不能被5

10、除尽，又不能被7除尽的数有多少个? 5、求在1至100的自然数中能被3或7整除的数的个数 5、 以105为分母的最简真分数共有多少个？它们的和为多少？ 7、 分母是385的最简真分数有多少个？并求这些真分数的和. 8、 在1至2008这2008个自然数中，恰好是3、5、7中两个数的倍数的数共有 个 9、 在从1到1998的自然数中，能被2整除，但不能被3或7整除的数有多少个？ 10、50名同学面向老师站成一行老师先让大家从左至右按1，2，3，49，50依次报数；再让报数是4的倍数的同学向后转，接着又让报数是6的倍数的同学向后转问：现在面向老师的同学还有多少名? 11、有2000盏亮着的电灯，各

11、有一个拉线开关控制着，现按其顺序编号为1，2，3，2000，然后将编号为2的倍数的灯线拉一下，再将编号为3的倍数的灯线拉一下，最后将编号为5的倍数的灯线拉一下，三次拉完后，亮着的灯有多少盏？12、写有1到100编号的灯100盏，亮着排成一排，每一次把编号是3的倍数的灯拉一次开关，第二次把编号是5的倍数的灯拉一次开关，那么亮着的灯还有多少盏？ 13、在游艺会上，有100名同学抽到了标签分别为1至100的奖券按奖券标签号发放奖品的规则如下：（1）标签号为2的倍数，奖2支铅笔；（2）标签号为3的倍数，奖3支铅笔；（3）标签号既是2的倍数，又是3的倍数可重复领奖；（4）其他标签号均奖1支铅笔那么游艺会

12、为该项活动准备的奖品铅笔共有多少支? 14、在一根长木棍上，有三种刻度线，第一种刻度线将木棍分成十等份；第二种将木棍分成十二等份；第三种将木棍分成十五等份；如果沿每条刻度线将木棍锯断，则木棍总共被锯成_段 15、一根101厘米长的木棒，从同一端开始，第一次每隔2厘米画一个刻度，第二次每隔3厘米画一个刻度，第三次每隔5厘米画一个刻度，如果按刻度把木棒截断，那么可以截出 段16、一根米长的木棍，从左端开始每隔2厘米画一个刻度，涂完后再从左端开始每隔3厘米画一个刻度，再从左端每隔5厘米画一个刻度，再从左端每隔7厘米画一个刻度，涂过按刻度把木棍截断，一共可以截成多少段小木棍？ 容斥原理中的最值问题1、

13、 将113这13个数字分别填入如图所示的由四个大小相同的圆分割成的13个区域中，然后把每个圆内的7个数相加，最后把四个圆的和相加，问：和最大是多少？ 2、如图，5条同样长的线段拼成了一个五角星如果每条线段上恰有1994个点被染成红色，那么在这个五角星上红色点最少有多少个? 3、某班共有学生48人，其中27人会游泳，33人会骑自行车，40人会打乒乓球那么，这个班至少有多少学生这三项运动都会？ 4、某班有名学生，参加语文竞赛的有人，参加数学竞赛的有人，参加英语竞赛的有人，每人最多参加两科，那么参加两科的最多有 人 5、60人中有的人会打乒乓球，的人会打羽毛球，的人会打排球，这三项运动都会的人有人，问：这三项运动都不会的最多有多少人？ 6、 图书室有100本书，借阅图书者需在图书上签名已知这100本书中有甲、乙、丙签名的分别有33，44和55本，其中同时有甲、乙签名的图书为29本，同时有甲、丙签名的图书为25本，同时有乙、丙签名的图书为36本问这批图书中最少有多少本没有被甲、乙、丙中的任何一人借阅过?7、甲、乙、丙都在读同-一本故事书，书中有100个故事每个人都从某一个故事开