数学分析 第六章 中值定理

1、3/5/2022.1第六章第六章 导导 数数 应应 用用一、一、引理 ( Fermat )二、( Rolle ) 中值定理中值定理三、三、拉格朗日拉格朗日 ( Lagrange ) 中值定理中值定理四、四、( Cauchy ) 中值定理中值定理1 微分中值定理微分中值定理3/5/2022.2一、费马费马引理( Fermat Fermat )内内有有定定义义，某某邻邻域域的的在在点点设设函函数数 )()(00 xUxxf )( 0有，如果对xUx )()( ( )()(00 xfxfxfxf 或或)(,)(.)(,)( 0000为极小值的极小值点为为极大值的极大值点为称则xfxfxxfxfx定义

2、1（极值概念）x0 xyo)(xfy 3/5/2022.3FermatFermat定理定理 ,)(0取得极值在点设函数 xxxf .0)(00 xfx则处可导，并且在定理定理1（极值的必要条件）（极值的必要条件）（可导函数取得极值的必要条件）（可导函数取得极值的必要条件）【几何意义几何意义】3/5/2022.4x0 xyo)(xfy 水平切线水平切线【定义定义】通常称导数等于零的点为函数的驻点通常称导数等于零的点为函数的驻点（或稳定点、临界点）（或稳定点、临界点）【几何意义几何意义】1.1.若曲线在若曲线在点点 处处取得极值取得极值, ,0 x2.曲线在点曲线在点 处具有切线，处具有切线，0

3、x则该切线必是水平的则该切线必是水平的.3/5/2022.50)()(00 xfxxf 时时当当 0 x0)()(00 xxfxxf时时当当 0 x0)()(00 xxfxxf由极限的由极限的不等式性不等式性及可导条件立得及可导条件立得0)()(lim)()(00000 xxfxxfxfxfx0)()(lim)()(00000 xxfxxfxfxfx所以所以0)(0 xf证完证完【证证】 )()(0 xfxf 仅证极大值的情形，即仅证极大值的情形，即 )(0时时xUx 则则定理证明定理证明3/5/2022.6研究下面两例：研究下面两例：不是极值点；不是极值点；但但时，时，当当0, 00. 10

4、 xyxx【注注】 . 13xy . 2xy .0,0. 20是极值点是极值点不存在不存在时，时，当当 xyxx说明什么问题？是是可导可导函数取得函数取得极值极值的的必要必要条件条件是极值点是极值点0 x不存在。不存在。或或)(0)(00 xfxf 0)(0 xf3/5/2022.7二、罗尔（二、罗尔（RolleRolle）定理）定理如果如果 f ( (x) )满足满足: :则则 至少存在至少存在(a , b)，使得，使得 f ()=0;,)(1 baCxf );,()(2baDxf ).()(3bfaf 3/5/2022.8【几何解释几何解释】ab1 2 xyo)(xfy .,的的在在该该点

5、点处处的的切切线线是是水水平平上上至至少少有有一一点点在在曲曲线线弧弧 AB 连续、可导、端点值相等连续、可导、端点值相等函数必有一最值点在函数必有一最值点在区间内部取得。区间内部取得。该最值点必为极值点。该最值点必为极值点。).()(3);,()(2;,)(1 bfafbaDxfbaCxf 0)( f3/5/2022.9例如例如32)(2 xxxf).1)(3( xx,3 , 1上连续上连续在在 ,)3 , 1(上上可可导导在在 ),0()3()1( ff且且)3 , 1(1( , 1 取取. 0)( f),1(2)( xxfRolle定理定理 零点零点定理定理如果如果 f ( (x) )满

6、足满足: :则则 至少存在至少存在(a , b)，使得，使得 f ()=0;,)(1baCxf );,()(2baDxf ).()(3bfaf ;,)(1 baCxf . 0)()(2 bfaf. 0)( f3/5/2022.10【证证】.)1(mM 若若,)(连续连续在在baxf.mM 和和最最小小值值必必有有最最大大值值.)(Mxf 则则. 0)( xf由由此此得得),(ba . 0)( f都有都有.)2(mM 若若),()(bfaf . 取取得得最最值值不不可可能能同同时时在在端端点点),(afM 设设.)(),(Mfba 使使内内至至少少存存在在一一点点则则在在即即 ),( Ux有有M

7、fxf )()( 由由FermatFermat定理立得定理立得. 0)( f证完证完3/5/2022.11【注意注意】( (1) )罗尔定理的条件是充分的，不必要罗尔定理的条件是充分的，不必要. .反例反例1;2 , 2, xxy, ,)0(2 , 2的的一一切切条条件件满满足足罗罗尔尔定定理理不不存存在在外外上上除除在在f . 0)( 2-2 xf使使内内找找不不到到一一点点能能，但但在在区区间间( (2) )若罗尔定理的三个条件中有一个不满足若罗尔定理的三个条件中有一个不满足, ,其结论可能成立，也可能不成立其结论可能成立，也可能不成立. .故若不满足第（故若不满足第（2）条：）条：xyo

8、2 xy 2有不可导点有不可导点无水平切线无水平切线3/5/2022.12;0, 01 , 0(,1)( xxxxy .1 , 0, xxy反例反例2不满足第（不满足第（1 1）条：）条：不满足第（不满足第（3 3）条：）条：xyo11)(xy 有不连续点有不连续点两端点值不相等两端点值不相等xyo11xy 反例反例3无水平切线无水平切线无水平切线无水平切线3/5/2022.13【例例1】.1 0155的的正正实实根根于于有有且且仅仅有有一一个个小小证证明明方方程程 xx【证证】, 15)(5 xxxf设设,1 , 0)(连连续续在在则则xf. 3)1(, 1)0( ff且且由零点定理由零点定

9、理. 0)(),1 , 0(00 xfx使使即为方程的小于即为方程的小于1 1的正实根的正实根. .,),1 , 0(011xxx 设设另另有有. 0)(1 xf使使 ,)(10件件之之间间满满足足罗罗尔尔定定理理的的条条在在xxxf使得使得之间之间在在至少存在一个至少存在一个),(10 xx . 0)( f)1(5)(4 xxf但但)1 , 0( , 0 x矛盾矛盾, ,.为唯一实根为唯一实根【分析分析】（1）有有 存在性存在性（2）仅一个仅一个唯一性唯一性3/5/2022.14【例例2】 设函数设函数f ( (x)=()=(x 1)(1)(x 2)(2)(x 3), 3), 试判断方程试判

10、断方程f x【解】【解】因为因为 f( (1)=)=f( (2)=)=f( (3), ), 且且f ( (x) )在在 1, 2 上连续上连续, ,在在( (1,2) )内可导内可导, , 由罗尔定理由罗尔定理, , 1 1 ( (1, 2),),使使 f ( ( 1 1; ;同理同理, , 2 ( , ), , 使使 f ( ( 2 ; ;又因又因f ( (x 是二次方程是二次方程, , 至多两个实根至多两个实根, ,故故f ( (x 有两个实根有两个实根, , 分别位于分别位于( (1,2) ) 和和( (2,3) )内内. .(1)(1)修改修改: :f ( (x)=()=(x 1)()

11、(x 2)()(x 3)()(x 4), ), 结论如何结论如何? ?(2)修改修改: 不解方程不解方程, 问问 (x 2)(x 3)+(x 1)(x 3) +(x 1)(x 2)=0有几个实根有几个实根, 分别在何区间分别在何区间?有几个实根有几个实根, 分别在何区间分别在何区间?(2) 【提示提示】是补例的导函数；是补例的导函数；用零点定理用零点定理3/5/2022.15此条件太苛刻此条件太苛刻三、拉格朗日(Lagrange)中值定理),()(2,)(1 )(baDxfbaCxfxf 满足：如果).()(bfaf 去掉了去掉了与罗尔定理相比条件中与罗尔定理相比条件中【注意注意】【拉氏定理拉

12、氏定理】至少存在一个至少存在一个(a , b)，使得，使得 f(b) f(a)= f ()(ba)()()(),(abfafbfba 则：3/5/2022.16),()(2,)(1 baDxfbaCxf 满足：满足：中值定理中值定理)(xfL)()()(),(abfafbfba .)()()(abafbff 或或切线斜率切线斜率弦弦AB斜率斜率xoy)(xfy ABC1 3/5/2022.17ab1 2 xxoy)(xfy ABCDNM【几何解释几何解释】.,ABCAB线平行于弦线平行于弦在该点处的切在该点处的切一点一点上至少有上至少有在曲线弧在曲线弧【证明分析证明分析】).()( bfaf

13、条件中与罗尔定理相差条件中与罗尔定理相差弦弦AB方程为方程为).()()()(axabafbfafy , )(yABxf的纵标的纵标减去弦减去弦曲线曲线 ., 两两端端点点的的函函数数值值相相等等所所得得曲曲线线在在ba3/5/2022.18作辅助函数作辅助函数).()()()()()(axabafbfafxfxF , )(满满足足罗罗尔尔定定理理的的条条件件xF. 0)(,),( Fba使得使得内至少存在一点内至少存在一点则在则在0)()()( abafbff 即即).)()()(abfafbf 或或拉格朗日中值公式拉格朗日中值公式【证证】（要验证）（要验证）.)()()(abafbff 3

14、/5/2022.19).)()()(abfafbf拉格朗日公式拉格朗日公式【注意注意】拉氏公式精确地表达了函数增量与函数导拉氏公式精确地表达了函数增量与函数导数之间的关系数之间的关系. .定理得上用在区间L,xaxfy )( 即即：同时注意到：xafdyxoxafy )()()( xafdyy )( .的精确表达式的精确表达式增量增量 y 增量增量y的的近似近似表达式表达式).()()()(axfafxf 微分中值定理微分中值定理微分近似公式微分近似公式3/5/2022.20L L定理又称为定理又称为有限增量公式有限增量公式 或或 微分中值定理微分中值定理. .).10()()()( xxxf

15、xfxxf).,()()()()(之之间间介介于于axaxfafxf ).),()()()(baabfafbf 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理几种等价形式几种等价形式 尽管不知尽管不知 的精确位置，但已经很有用了，见例：的精确位置，但已经很有用了，见例：3/5/2022.21.)(,)(上是一个常数上是一个常数在区间在区间那末那末上的导数恒为零上的导数恒为零在区间在区间如果函数如果函数IxfIxf【推论推论】【证证】2121,xxIxx )()()(1212xxfxfxf )(21xx 由假定由假定0)( f)( )( 21xfxf )(常数常数 xf证毕证毕在在 上应用拉氏定理得上应用拉氏

16、定理得,21xx由由 的任意性立知的任意性立知 21,xx. 0 )( )( xfCxf3/5/2022.22【例例3】).11(2arccosarcsin xxx证明【证明证明】1 , 1,arccosarcsin)( xxxxf设设)11(11)(22xxxf . 0 1 , 1,)( xCxf0arccos0arcsin)0( f又又20 ,2 .2 C即即.2arccosarcsin xx推论的应用推论的应用证明函数为常数函数证明函数为常数函数)1 , 1(0 x.2cotarctan xarcx同理可证同理可证3/5/2022.23例例4 4.)()(),()(Cxgxfxgxf 则

17、则若若)()()(Fxgxfx 令令)()()(xgxfxF .)()(Cxgxf 即即证明：证明：,0 ,)(CxF 3/5/2022.24拉氏定理拉氏定理应用应用证明不等式证明不等式【例例5】.)1ln(1,0:xxxxx 时当证明 【分析分析】据拉氏定理据拉氏定理)()()( fabafbf )(ba 由由 的范围，确定的范围，确定 的范围的范围 )( f 从而得到从而得到 的范围，变形可的范围，变形可得所求不等式得所求不等式 . . abafbf )()(【关键关键】 将结论写成将结论写成 的形式，以找出的形式，以找出abafbf )()(, )(baxf及及3/5/2022.25【证

18、证】),1ln()(xxf 观察可设观察可设, 0)( 上满足拉氏定理的条件在xxf)0(),0)()0()(xxffxf ,11)(, 0)0(xxff 由上式得由上式得,11)1ln( xx 11.)1ln(1xxxx 即即变形为：变形为：10)01ln()1ln(11 xxx（要验证）（要验证）.)1ln(1,0:xxxxx 时当证明 x111 3/5/2022.26【例例6】.sinsin:yxyx 证明【证明证明】)(cossinsinyxyx yxyx cossinsin.yx 3/5/2022.27四、柯西(Cauchy)中值定理)()()()()()( FfaFbFafbf 0

19、)(),(3);,()(),(2;,)(),(1 )()( xFbaxbaDxFxfbaCxFxfxFxf满足：及如果【Cauchy 中值定理中值定理】 使得则),(ba 3/5/2022.28Cauchy 中值定理)()()()()()( FfaFbFafbf 如果如果 f ( (x) )及及F( (x) )满足满足（1）在闭区间）在闭区间a , b上连续；上连续；（2）在开区间（）在开区间（a , b）内可导；）内可导；存在存在(a , b)，使得，使得（3）对任一）对任一x(a , b),F (x)0)()()()()()()()(FfabFabfaFbFafbf证明：分子、分母用Lag

20、range中值定理得：？3/5/2022.29【几何解释几何解释】)(1 F)(2 FXOY )()(xfYxFX)(aFA)(bFBCD)(xFNM. )(),(ABfFC处的切线平行于弦处的切线平行于弦点点 【证证】作辅助函数作辅助函数).()()()()()()()()(aFxFaFbFafbfafxfx , )(件件满足罗尔定理的条满足罗尔定理的条x )(af)(bf xxFxfdXdY)()(切线斜率切线斜率弦弦AB斜率斜率)()()()(aFbFafbf 曲线曲线 )()(为参数为参数xxfYxFX 即即（要验证）（要验证）3/5/2022.30, 0)()()()()()( Fa

21、FbFafbff即即.)()()()()()( FfaFbFafbf. 0)(,),( 使使得得内内至至少少存存在在一一点点则则在在ba,)(xxF 当当, 1)(,)()( xFabaFbF)()()()()()( FfaFbFafbf).()()( fabafbf证完证完【注意注意】( (1) )即为拉氏中值定理即为拉氏中值定理3/5/2022.31( (2) )柯西中值定理即可看作拉氏中值定理的推柯西中值定理即可看作拉氏中值定理的推广，又可看作拉氏中值定理的参数形式广，又可看作拉氏中值定理的参数形式. .( (3) )三个中值定理的条件都是充分的，不必要三个中值定理的条件都是充分的，不必

22、要. .3/5/2022.32三个中值定理的相互关系Rolle定理定理Lagrange中值定理中值定理Cauchy中值定理中值定理xxF )()()(bfaf 注意定理成立的条件；注意定理成立的条件；2. .证明等式与不等式；证明等式与不等式；【中值定理应用中值定理应用】1.证明方程根的存在性、唯一性；证明方程根的存在性、唯一性；3.证明函数为常数函数。证明函数为常数函数。3/5/2022.33).0()1(2)(),1 , 0(:,)1 , 0(,1 , 0)(fffxf 使使至至少少存存在在一一点点证证明明内内可可导导在在上上连连续续在在设设函函数数【例例7】【证证】【分析分析】结论可变形

23、为结论可变形为 2)(01)0()1(fff.)()(2 xxxf,)(2xxF 设设,1 , 0)(),(条条件件上上满满足足柯柯西西中中值值定定理理的的在在则则xFxf有有内内至至少少存存在在一一点点在在,)1 , 0( 2)(01)0()1(fff).0()1(2)(fff 即即3/5/2022.34【证证】),0()1(2)()(ffxxfxg 则则),0()1()()(2ffxxfxg 令令)0()0(fg , 0)(10 gRolle），使使，（定定理理，由由).0()1(2)(fff ).1 , 0( 利用罗尔定理利用罗尔定理),1(g 3/5/2022.35. 0)(),(:, )()()(, 0)()(,)(2 FbaxfaxxFbfafbaxf使使至至少少存存