数学思想方法的两个源头

1、.数学思想方法数学思想方法大兴电大大兴电大.课程的基本内容课程的基本内容课程内容包括数学思想与方法的两个源头、课程内容包括数学思想与方法的两个源头、数学思想与方法的几次重要突破、数学的真理数学思想与方法的几次重要突破、数学的真理性、现代数学的发展趋势、抽象与概括、猜想性、现代数学的发展趋势、抽象与概括、猜想与反驳、演绎与化归、计算与算法、应用与建与反驳、演绎与化归、计算与算法、应用与建模、其他方法、数学思想与方法与素质教育、模、其他方法、数学思想与方法与素质教育、数学思想与方法教学、数学思想与方法教学案数学思想与方法教学、数学思想与方法教学案例。例。 .课程的主线分为三大块：课程的主线分为三大

2、块：l上篇上篇 数学的起源与基本内涵；数学的起源与基本内涵；l中篇中篇 各种数学方法的介绍与应用；各种数学方法的介绍与应用；l下篇下篇 数学的素质教育及实施数学的素质教育及实施 .本课程的考试本课程的考试本课程的最终成绩由两部分组成，一本课程的最终成绩由两部分组成，一是平时成绩，它由形成性考核作业册是平时成绩，它由形成性考核作业册（占（占20%）来评价，一是期末考试成绩）来评价，一是期末考试成绩（占（占80%）。形成性考核作业册安排）。形成性考核作业册安排4次次记分作业，两次课堂讨论和一次实践学记分作业，两次课堂讨论和一次实践学习，均按百分制统计成绩，形成性考核习，均按百分制统计成绩，形成性考

3、核作业册的总成绩乘以作业册的总成绩乘以20%得到平时成绩。得到平时成绩。考试成绩乘以考试成绩乘以80%+平时成绩平时成绩=最终成绩。最终成绩。 .第一章第一章 数学思想与方法的两个源头数学思想与方法的两个源头l学习要求学习要求1知道知道几何原本几何原本和和九章算术九章算术形成形成的原因和基本内容；的原因和基本内容；2理解理解几何原本几何原本和和九章算术九章算术数学数学思想的特点和意义。思想的特点和意义。.一、一、几何原本几何原本思想方法的体例思想方法的体例几何原本几何原本共有十三篇共有十三篇:l第一篇到第四篇是关于平面几何一一直线形和圆第一篇到第四篇是关于平面几何一一直线形和圆的理论，的理论，

4、l第五篇是比例论，第六篇讲平面相似形，第五篇是比例论，第六篇讲平面相似形，l第七、八、九篇则阐述算术第七、八、九篇则阐述算术(数论数论)，l第十篇是关于第十篇是关于“不可通约量不可通约量”的理论，的理论，l第十一、十二、十三篇是关于立体几何的理论和第十一、十二、十三篇是关于立体几何的理论和“穷竭法穷竭法”。l从内容上来看，可以说，包括了当时希腊数学各从内容上来看，可以说，包括了当时希腊数学各个方面的成就。个方面的成就。 .二、二、几何原本几何原本思想方法上的思想方法上的特点特点 l（1）封闭的演绎体系）封闭的演绎体系 l几何原本几何原本就是一个最早的标准的演绎体系：由少数不定义的概念，就是一个

5、最早的标准的演绎体系：由少数不定义的概念，如点如点线、平面等等，和不证明的命题线、平面等等，和不证明的命题公理与公设公理与公设出发，在需要出发，在需要的地方，定义出相应的概念，按着一定的逻辑规则，演绎出所有其他命的地方，定义出相应的概念，按着一定的逻辑规则，演绎出所有其他命题来。在题来。在几何原本几何原本的演绎体系中，公理是最一般的命题，它们是一的演绎体系中，公理是最一般的命题，它们是一系列演绎推理的前提，这个体系的所有其他命题，都是从公理系列演绎推理的前提，这个体系的所有其他命题，都是从公理(通过适通过适当的定义当的定义)推导出来的。除了推导所需要的逻辑规则外，推导出来的。除了推导所需要的逻

6、辑规则外，几何原本几何原本的由一系列公理、定义、定理等构成的数学理论体系，原则上不必依赖的由一系列公理、定义、定理等构成的数学理论体系，原则上不必依赖于其他东西。当然，在实际上，于其他东西。当然，在实际上，几何原本几何原本在某些地方背离了这个原在某些地方背离了这个原则：证明某些命题时运用了公理和逻辑规则之外的则：证明某些命题时运用了公理和逻辑规则之外的“直观直观”。但是，那。但是，那只是个别的地方，并不影响体系的大局；而且，正是作为只是个别的地方，并不影响体系的大局；而且，正是作为几何原本几何原本的的“缺陷缺陷”而受到了人们的指责的，后来的人们按欧几里得的原意，不而受到了人们的指责的，后来的人

7、们按欧几里得的原意，不断地在体系中排除直观，得到更严格断地在体系中排除直观，得到更严格 的数学理论体系，其指导思想正是的数学理论体系，其指导思想正是由由几何原本几何原本开始的。由于开始的。由于几何原本几何原本的这种思想原则和结构方式，的这种思想原则和结构方式，从实质上说，从实质上说，几何原本几何原本是一个比较完整的、相对封闭的数学理论体是一个比较完整的、相对封闭的数学理论体系。系。.l（2）抽象化的内容）抽象化的内容l几何原本几何原本以及以它为代表的古希腊数学著述，以及以它为代表的古希腊数学著述，都是论述一般的、抽象的数学概念和命题的，它们探都是论述一般的、抽象的数学概念和命题的，它们探讨的只

8、是概念和命题的各种逻辑关系，由一些给定了讨的只是概念和命题的各种逻辑关系，由一些给定了的概念和命题推演出另一些概念和命题。它不考虑产的概念和命题推演出另一些概念和命题。它不考虑产生这些概念和命题的社会背景，也不研究这些数学生这些概念和命题的社会背景，也不研究这些数学“模型模型”所由之产生的那些现实原型。比如在所由之产生的那些现实原型。比如在几何几何原本原本中研究了中研究了“所有的所有的”矩形矩形(即抽象的即抽象的“矩形矩形”概概念念)的性质，但却不研究任何一个具体的矩形的实物的的性质，但却不研究任何一个具体的矩形的实物的大小。又如在大小。又如在几何原本几何原本中，研究数的若干性质，中，研究数的

9、若干性质，但却一点也不涉及具体的数的计算和应用。它用线段但却一点也不涉及具体的数的计算和应用。它用线段表示数，即一般的、抽象的数，用演绎推理研究其性表示数，即一般的、抽象的数，用演绎推理研究其性质。它排斥各种理论的实际应用，重视抽象理论、鄙质。它排斥各种理论的实际应用，重视抽象理论、鄙视具体运用是视具体运用是几何原本几何原本的基本倾向。的基本倾向。.l（3）公理化的方法）公理化的方法l作为现代数学的一种基本的表述方法和发展方式的公理法就作为现代数学的一种基本的表述方法和发展方式的公理法就是以欧几里得的是以欧几里得的几何原本几何原本开其端的。它采用了前面我们说的开其端的。它采用了前面我们说的比较

10、严格的演绎体系比较严格的演绎体系通常称为公理体系，而建立公理体系的通常称为公理体系，而建立公理体系的方法就称为公理方法。欧几里得的公理法对后世影响极大，方法就称为公理方法。欧几里得的公理法对后世影响极大，几几何原本何原本作为公理法的典范对数学以及科学的发展起了很大的作作为公理法的典范对数学以及科学的发展起了很大的作用。现代数学和各门科学中的公理法正是由用。现代数学和各门科学中的公理法正是由几何原本几何原本的公理的公理法发展出来的。法发展出来的。l作为现代数学的一种基本的表述方法和发展方式的公理法就作为现代数学的一种基本的表述方法和发展方式的公理法就是以欧几里得的是以欧几里得的几何原本几何原本开

11、其端的。它采用了前面我们说的开其端的。它采用了前面我们说的比较严格的演绎体系比较严格的演绎体系通常称为公理体系，而建立公理体系的通常称为公理体系，而建立公理体系的方法就称为公理方法。方法就称为公理方法。.三三 几何原本几何原本的思想方法源远的思想方法源远流长流长 l几何原本几何原本可以说是古希腊数学思想的集中可以说是古希腊数学思想的集中表现，它把古希腊数学的特点，数学思想方法表现，它把古希腊数学的特点，数学思想方法的特点发扬光大了。的特点发扬光大了。l几何原本几何原本是古希腊数学由泰勒斯和毕达哥是古希腊数学由泰勒斯和毕达哥拉斯开其端的传统发展的产物，可以说是古希拉斯开其端的传统发展的产物，可以

12、说是古希腊数学的最高成就。它开拓了数学思想发展的腊数学的最高成就。它开拓了数学思想发展的一个取之不竭的源泉，对人类文化的发展做出一个取之不竭的源泉，对人类文化的发展做出了重大的贡献。了重大的贡献。 .九章算术九章算术的内容及思想方法的内容及思想方法l九章算术九章算术全书约有全书约有90余条抽象性的算法、余条抽象性的算法、公式，公式，246道例题及其解法，包括丰富的算术、道例题及其解法，包括丰富的算术、代数和几何内容。书中的代数和几何内容。书中的246道题，几乎全是道题，几乎全是应用题，结构上分为：应用题，结构上分为：“问问”“”“答答”“”“术术”。这些问题按不同的用途分为九部分，故名这些问题

13、按不同的用途分为九部分，故名九九章算术章算术。.l第一章，第一章，“方田方田”，计有，计有38道问题，其中计算道问题，其中计算各种形状的田地面积的题目有各种形状的田地面积的题目有24道，提供了道，提供了“方田术方田术”、“圭田术圭田术”、“邪田术邪田术”、“箕箕田术田术”、“圆田术圆田术”、“宛田术宛田术”、“弧田弧田术术”、“环田术环田术”等多种算法。还有与计算面等多种算法。还有与计算面积有关的分数四则计算题积有关的分数四则计算题14道。这一章里注重道。这一章里注重研究了各种具体田地面积的计算法。研究了各种具体田地面积的计算法。ll第九章第九章.l九章算术九章算术的出现，标志着我国古代数学体

14、系的正式确立，当的出现，标志着我国古代数学体系的正式确立，当中有以下的一些特点：中有以下的一些特点：l1、是一个应用数学体系，全书表述为应用问题集的形式；、是一个应用数学体系，全书表述为应用问题集的形式；l2、以算法为主要内容，全书以问、答、术构成，、以算法为主要内容，全书以问、答、术构成，“术术”是主要是主要需阐述的内容；需阐述的内容；l3、以算筹为工具。、以算筹为工具。 l 九章算术九章算术取得了多方面的数学成就，包括：分数运算、取得了多方面的数学成就，包括：分数运算、比例问题、双设法、一些面积、体积计算、一次方程组解法、负比例问题、双设法、一些面积、体积计算、一次方程组解法、负数概念的引

15、入及负数加减法则、开平方、开立方、一般二次方程数概念的引入及负数加减法则、开平方、开立方、一般二次方程解法等。解法等。九章算术九章算术的思想方法对我国古代数学产生了巨大的的思想方法对我国古代数学产生了巨大的影响。自隋唐之际，影响。自隋唐之际，九章算术九章算术已传入朝鲜、日本，现在更被已传入朝鲜、日本，现在更被译成多种文字。译成多种文字。 .九章算术九章算术思想方法的特点思想方法的特点l（1）开放的归纳体系）开放的归纳体系l九章算术九章算术是按着当时社会实践所需要解决的是按着当时社会实践所需要解决的问题来分类的，每一类问题来分类的，每一类(一章一章)中设置若干个实际问题，中设置若干个实际问题，每

16、个问题都给出答案，并提供有关的算法。由于实际每个问题都给出答案，并提供有关的算法。由于实际问题是从具体的东西开始研究，所以是一个归纳的体问题是从具体的东西开始研究，所以是一个归纳的体系系从个别的问题到一般的算法。又由于是按当时从个别的问题到一般的算法。又由于是按当时社会实践所需要解决的问题来分类的，那么社会实践社会实践所需要解决的问题来分类的，那么社会实践的发展必然向数学提出新的问题来，那也就必然会直的发展必然向数学提出新的问题来，那也就必然会直接促进数学的发展，数学的发展直接来自社会实践中接促进数学的发展，数学的发展直接来自社会实践中的问题，所以是一个开放的体系。整个中国古代数学的问题，所以

17、是一个开放的体系。整个中国古代数学思想都具有这个特点，思想都具有这个特点，九章算术九章算术是它的一个典型是它的一个典型代表。代表。.l（2）算法化的内容）算法化的内容l前面我们已谈过前面我们已谈过九章算术九章算术的结构特点：按应的结构特点：按应用方向或主要应用的数学模型把全书划分为若干章，用方向或主要应用的数学模型把全书划分为若干章，在每一章内举出若干个实际问题，对每个问题都给出在每一章内举出若干个实际问题，对每个问题都给出答案，然后给出这一类问题的算法。答案，然后给出这一类问题的算法。九章算术九章算术中中称这种算法为称这种算法为“术术”，按，按“术术”给出的程序去做就一给出的程序去做就一定能

18、求出问题的答案来。历来数学家对定能求出问题的答案来。历来数学家对九章算术九章算术的注售校夕基本上都是在的注售校夕基本上都是在“术术”上作文章，即不断改上作文章，即不断改进算法。进算法。 举一个例子：举一个例子：九章算术九章算术第一章第一章“方田方田”的第的第5、6题及有关的题及有关的“术术”。.l（3）模型化的方法）模型化的方法l从方法论的角度来看，从方法论的角度来看，九章算术九章算术广泛广泛地采用了模型化方法。它在每一章中所设置的地采用了模型化方法。它在每一章中所设置的问题，都是在大量的实际问题中选择具有典型问题，都是在大量的实际问题中选择具有典型性的现实原型，然后再通过性的现实原型，然后再

19、通过“术术”(即算法即算法)转转化成数学模型。其中有些章就是探讨某种数学化成数学模型。其中有些章就是探讨某种数学模型的应用的模型的应用的其章的标题也就是。这种数其章的标题也就是。这种数学模型的名称，如学模型的名称，如“勾股勾股”、“方程方程”等章。等章。“衰分衰分”、“少广少广”等章也是由数学模型开始等章也是由数学模型开始的。的。.1、九章算术九章算术在中国数学史上在中国数学史上的地位的地位l九章算术九章算术是我国的算经之首，在中国数学史上是一部承前启是我国的算经之首，在中国数学史上是一部承前启后的数学巨著，对后世的数学发展产生了深远的影响。后的数学巨著，对后世的数学发展产生了深远的影响。l九

20、章算术九章算术为中国古代数学著作提供了编撰创作的范例和样板，为中国古代数学著作提供了编撰创作的范例和样板，建立了中国古代数学的基本框架。以后的数学著作大体为两种模建立了中国古代数学的基本框架。以后的数学著作大体为两种模式，一是以式，一是以九章算术九章算术为样本编撰新的著作，如为样本编撰新的著作，如孙子算经孙子算经、张丘建算经张丘建算经、四元玉鉴四元玉鉴等。另一种就是采取为等。另一种就是采取为九章算九章算术术作注的形式，以作注的形式，以九章算术九章算术为研究内容。如刘徽注、贾宪为研究内容。如刘徽注、贾宪细草、杨辉祥解等，这种形式也造就了大批的优秀数学家，如：细草、杨辉祥解等，这种形式也造就了大批的优秀数学家，如：刘徽、祖冲之、祖暅之、杨辉等。刘徽、祖冲之、祖暅之、杨辉等。l由于从唐代开始，由于从唐代开始，九章算术九章算术被钦定为教科书，这也决定了中被钦定为教科书，这也决定了中国古代数学的框架基本上是从国古代数学的框架基本上是从九章算术九章算术发展起来的。因此还发展起来的。因此还可以说可以说九章算术九章算术奠定了中国数学发展的基础。奠定了中国数学发展的基础。.2、九章算术九章算