完全相异物的组合

1、1. 完全相異物的組合:從n個相異物品中任意取出k個,則取法有種。其中。註: 1. 2. 3.。<第一類>組合公式:例1.(1)已知n為自然數,則n=? A:10(2)已知n,k為自然數,n>k,若=1:2:3,則(n,k)=? A:(14,5)例2.(1)試證巴斯卡定理:,其中n,m為自然數,n>m。(2)利用(1),求=? A:1140<類>1.若m=? 2.若3:7:14,則n=? r=?3.試證:。 4.計算=? 答案:1. 1 or 15 2. n=7,r=4 3.略 4.1360<第二類>完全相異物的組合問題:例1.教室內有42位學生

2、,(1)若任選3位當值日生,有幾種選法? (2)若任選3位,且其中一位當班長、一位當副班長、一位當風紀股長,有幾種選法?例2.某次考試,規定10題中選做7題,求下列的選法數?(1)任意選 (2)首3題必做答 (3)首3題恰做答2題 (4)首5題至少做答4題A:(1)120 (2)35 (3)63 (4)60<類>1.某桌球隊要從10名隊員中選出5名,分別參加五場單打友誼賽。10名隊員中五月與伍佰近況特佳,教練決定安排他們在第一、三場出賽,另三場由其餘隊員任意選出排定,問出賽名單順序一共有幾種? 2.從男子6人,女子5人中選出6人,(1)男女各3人,共有多少種方法? (2)男生至少3

3、人,女生至少2人,共有多少種方法? 答案:1.672 2.(1)200 (2)350例3.今有10間相鄰的教室, (1)任選3間教室放置蒸飯箱,方法有幾種? (2)選彼此不相鄰的3間放置蒸飯箱,方法有幾種? A:(1)120 (2)56例4.平面上有A,B,C,D,E,F,.等15點,(1)其中任三點不共線,若任意連接各點,可決定幾條直線?幾個三角形? (2)又其中A,D,E,F四點共線,其餘任三點不共線,可決定幾條直線?幾個三角形? A:(1)105, 455 (2)100, 451<類>1.一列火車共有10節車廂。要從中指定三節車廂為吸煙車廂,有幾種選法? 若這三節吸煙車廂兩兩

4、不相連接,又有幾種選法? 2.某次拳擊比賽,規定每一位選手必須和其他選手各比賽一場,賽程總計為78場,則選手有幾人? 3.一平行六面體有8個頂點,在此8個頂點中,(1)共可連成多少條直線?(2)共可決定多少個三角形? 4.如右圖的10個點,利用此10個點可決定多少條直線? 答案:1.120, 56 2.13 3.(1)28 (2)56 4.20例5.凸10邊形有幾條對角線?這些對角線在凸10邊形的內部最多有幾個交點?CD例6.如右圖,算出有多少個不同的矩形與正方形? 其中至少包含C點或D點的矩形有幾個?例7.從1到50的自然數中,任意選出相異三數,此三數會成為等差數列的情形有多少種?<類

5、>1.圓上有13個點,(1)可決定多少條弦? 這些弦在圓內最多有多少個交點?(2)以這些點為頂點,可作多少個三角形? 多少個四邊形? 2.右圖,有多少個不同的矩形?答案: 1.(1)78, 715 (2)286, 715 2.117例8.一副撲克牌有52張(4種花色,每種花色有13種點數),從中任取出5張,(1)(TWO PAIRS)兩對的情形有幾種? (2)5張都不同點數的情形有幾種? A:(1)123552 (2)1317888<類>承上,(FULL HOUSE)葫蘆的情形有幾種? 答案:3744<第三類>分組分堆的問題:例1.12本不同的書,依下列分法求其方

6、法數:(1) 平分三堆 (2)按6本、3本、3本分成三堆(3)按6本、4本、2本分成三堆(4)平分給甲、乙、丙三人 (5)6本給甲、3本給乙、3本給丙 (6)按6本、3本、3本自由分給三人 (7) 6本給甲、4本給乙、2本給丙 (8)按6本、4本、2本自由分給三人例2.今10人分成3人、3人、4人三組,分住101,102,103號寢室,其中指定A,B二人須住同一寢室,問有多少種住法? A:3360<類>1.將8位新生平均分到甲,乙,丙,丁四班,共有多少種分法? 2.將9件不同的獎品,依下列條件分別求其方法數: (1)平分成三組 (2)分給甲3件、乙3件、丙3件 (3)分給甲4件、乙

7、3件、丙2件 (4)依4件、3件、2件自由分給三人3.甲,乙,.等9人分乘3輛汽車(A,B,C),每車3人,(1)方法有多少種?(2)若限制甲乙同車,方法又有多少種? 答案:1.2520 2.(1)280 (2)1680 (3)1260 (4)7560 3.(1)1680 (2)4201.方程式的非負整數解的個數為(=)。2.從n類物品中取出k件,若每一類物品都至少有k件,且可重複選取, 則取法有種。2. 重複組合:一.整數解:例1.方程式x +y+z+u=12,求合於下列條件的解有幾組? (1)非負整數解 (2)正整數解 (3)x>1,y>1,z>1,u>1 (4)x

8、-1,y> -1,z>1,u5. A:(1)例2.(1)滿足方程式a+b+c+d+e=25的正奇數解有幾組?A:(2)滿足不等式x+y+z+t10的非負整數解有多少組?A:例3.方程式x +y+z+=21有幾組正整數解?A:352<類>1.方程式x +y+z+u=10有幾組非負整數解?幾組正整數解? 2.設x+y+z+u=12,求x,y為正奇數,z,u為正偶數的解有幾組?3.有幾組正整數解?4.方程式x +y+z+=10有幾組正整數解?5.方程式x +y+=13有幾組非負整數解?答案:1. 2. 3. 4.38 5.27例3.(1)方程式xy=144的整數解共有幾組?

9、A:30 (2)方程式xy=144的正整數解共有幾組?整數解有幾組? A:90,360二.重複組合的應用:例1.現有5本相同的書,全部送給3位小朋友,每人可兼得亦可不得,有多少種可能的贈法?若A小朋友至少分得2本書,有多少種可能的贈法?例2.有9位同學到便便屋冷飲店,那兒有5種飲料供選擇,每人點一種飲料,問店員拿出的飲料方法可能有幾種? A:715<類>1.水果攤上有4種水果:蘋果、水梨、橘子、香瓜。如果想裝一盒水果,盒子裏可放10個,不考慮盒子裏的放法,共有多少種方法? 2.承1,若蘋果至少要裝1個,那麼又有多少種方法? 答案:1.286 2.220例3.將9件相同玩具分給甲、乙

10、、丙三人, 若(1)每人至少2件 (2)甲至少得1件,乙至少得2件,丙至少得3件 (3)若一人至少得1件,一人至少得2件,一人至少得3件,分法有幾種? <類>將11件相同的物品分給甲,乙,丙三人,問各有多少種分法?1.每人至少2件 2.甲至少一件,乙至少二件,丙至少三件3.其中一人至少一件,其中一人至少二件, 其中一人至少三件答案:1. 2. 3.42例4.有4本相同的小說書,6本相同的漫畫書, (1)分給甲乙兩人,每人不限一本,求其分法數?又若每人至少一本書(漫畫書或小說書均可),求其分法數? A:35,33 (2)分給甲乙丙三人,每人不限一本,求分法數?又若每人至少一本書(漫畫書或小說書均可),求其分法數? A:420,318例5.於的展開式中,(1)共有幾個不同項? (2)與同型項共有幾個? (3)與同型項共有幾個? (4)項的係數是多少?(5)所有項的係數之