带不确定退出时间的投资组合模型研究.docx

1、第38卷第10期2018年10月高师理科学刊JournalofScienceofTeachers'CollegeandUniversity文章编号：1007-9831(2018)10-0004-04带不确定退出时间的投资组合模型研究卢进佳，邓雪(华南理工大学数学学院，广东广州510640)摘要：以Markowitz的经典均值-方差模型为基础，现代投资组合理论在20世纪的研究基本把投资期限当成不变的，即不会提前更改预设好的资金退出时间.然而，在实际投资中，有很多因素会导致投资者提前退出.为了使模型更好地贴近现实并刻画这种现象，研究了带不确定退出时间的投资组合模型，并根据不确定退出时间的2

2、种分类方式，即在随机或模糊环境下退出时间独立于资产在各期的收益或与之相关，构建了4种带不确定退出时间的投资组合模型.4种模型可对应于不同投资环境中的投资行为，使关于带不确定退出时间的投资组合模型的研究更加客观、合理.关键词：投资组合；不确定退出时间；随机环境；模糊环境；M-V模型中图分类号：029:F224文献标识码：Adoi：10.3969/j.issn.1007-9831.2018.10.002ResearchoftheportfoliomodelunderuncertainexittimeLUJin-jia,DENGXue(SchoolofMaihematics,SouthChinaUn

3、iversityofTechnology,(Juangzhou510640.China)Abstract：BasedonMarkowitz'sclassicalmean-variancemodel,theresearchofmodernportfoliotheoryintwentiethcenturybasicallyassumestheinvestmenthorizontobefixed,thatis,itwillnotchangethepresupposedexittimeinadvance.Nevertheless,inrealinvestment,therearcmanyfac

4、torsthatleadinvestorstoexitinadvance.Inordertomakethemodelclosertorealityanddepictthisphenomenon,studiestheportfoliomodelunderuncertainexittime,andconstructfourkindsofthismodelaccordingtotwoclassificationmethods,instochasticorfuzzyenvironment,theexitlimeisindependentofthereturnofassetsatallperiodsor

5、relatedtoit.Thefourmodelscancorrespondtoinvestmentbehaviorindifferentinvestmentenvironments,makestheresearchonportfoliomodelunderuncertainexittimemoreobjectiveandreasonable.Keywords：portfolio；uncertainexittime；stochasticenvironment；fuzzyenvironment；M-Vmodel以Markowtiz(1952)的经典均值-方差模型为基础，现代投资组合理论在20世纪

6、的研究基本把投资期限当成不变的，即不会提前更改预设好的资金退出时间.然而，在实际中，一个投资者事先拟定一个多阶段的投资计划，但是在投资过程中口J能因为很多因素导致投资计划未完成而中途终止，如没预期到的大额消费或开支、严重疾病或死亡、市场环境的变化等.早期的研究如Yan?在人寿保险中引入了不确定寿命的假设，之后Hakansson3把Ymi的工作延伸到多期投资组合的领域，旦带有一个不确定的退出时间.基收稿日期：2018-07-01基金项目:2016年广东省自然科学基金项目(2016A030313545):2016年广东省自然科学基金项目(2015A030310101):2015年广东省研究生教育创

7、新计划重点项目(2015JGXM-ZD03):2016年广东省学位与研究生教育改革研究规划项目(2016QTI.XXM-19)作者简介：卢进佳(1995-),!«,广东广用人，在读硕士研究生，从事投资组合与风险分析研究.I:-mail：929837092通信作者：邓雪(1974-),女,辽宁沈印人.教授.博士，从事投资组合与风险管理研究.E-mail：dxue于效用函数期望最大化的目的，Menon'研究了一个连续时间的最优投资及消费问题，其中退出时间假设为一个独立泊松过程的第一个事件的时间(因此投资期限为指数分布的).从此，带不确定退出时间的投资组合模型逐渐受到关注，且在近十

8、几年内相关研究数最稳步增加，但都是处于随机环境下的.由于模糊性比随机性更具广泛性，因此模糊环境下的不确定退出时间值得深入研究.对于投资组合模型在是否独立于资产在各期的收益这方面上的分类，其中大部分为不确定退出时间的概率分布(或隶属度函数)与资产在各期的收益独立，即资产在早期的过低收益对退出投资无影响，投资者的提前退出行为只与其它因素有关，如没预期到的大额消费或开支、严重疾病或死亡、市场环境的变化等.关于随机环境卜的不确定退出时间的研究较多，Martellini'等利用静态均值-方差模型研究了当退出时间是外生和内生随机变量情形的资产配置问题.文献6将带不确定退出时间的多期最优投资组合问题

9、推广到带外生负债的情形.基于均值-方差准则，文献7研究了不确定退出时间及存在随机现金流情形的多阶段资产负债管理问题.文献8把平均场公式应用于离散时间的带不确定退出时间的M-V投资组合问题，文献9在文献8的基础上，提出了种二维的平均场公式并得到最优解和有效前沿的解析式.较小部分的投资组合模型中，不确定退出时间的概率分布(或隶属度函数)与资产在各期的收益相关，其中一部分原因是资产在早期的过低收益致使投资者改变投资期限，从而做出中途退出投资的行为，如文献10把每一期的退出概率视作关于市场状况的条件概率.对于投资组合模型的不确定性分类，通常把不确定退出时间这一因素视作随机变量，并根据实际情况给予退出时

10、间关于投资期数的概率分布.文献1-10均在随机环境下讨论不确定退出时间，文献11较为系统地列举了随机环境下关于不确定退出时间及其与负债结合的研究文献.但是随着近年来模糊环境在投资组合理论中日显重要，也有部分学者把不确定退出时间视作模糊变量，引入到模糊投资组合模型中进行研究.文献12在可能性理论下讨论了带不确定退出时间的模糊投资组合模型，且不确定退出时间与资产收益是否相关均有提及.文献13在可信性理论下构建了带不确定退出时间的模糊投资组合模型，其中不确定退出时间不再是一个变量，而是作为收益的取值范围来限制收益模糊数的隶属函数.本文根据不确定退出时间的2种分类方式，即在随机或模糊环境下退出时间独立

11、于资产在各期的收益或与之相关，构建了4种带不确定退出时间的投资组合模型.提出的模型可对应于不同投资环境中的现实投资行为，使关于带不确定退出时间的证券投资组合模型的研究和应用更加客观、合理.1不确定退出时间随机不确定退出时间的定义1.1.1 与收益独立的随机不确定退出时间的定义假设投资者原计划在时刻r终止投资活动，但因在投资过程中受到不可控因素的影响而提前退出市场.设退出时刻为r,则实际投资退出时间为TAr=min7；r).设7是一个大于0的随机变量，且其概率分布为皿Prr=/=/?/,t=1,2,T-(1)则Tat的概率分布为Pr人=/=Prm=p,1=1,2,»T-(2)T-lPr

12、丁人=pr=1-£pf(3)r=l本文假设：(1)pT>0,叩在时刻r退出市场的概率大于0：(2)退出时间r与市场在时刻，所处状态&(f=0,1,-sT-l)是统计独立的.1.1.2 与收益相关的随机不确定退出时间的定义假设在时间/退出市场的概率是一个条件概率，与当期的市场S,处于的状态，(，属于状态集S=L2,.,£)有关，因为理性的投资者在现实中会对市场的低迷很敏感并改变退出市场的概率.在时间退出市场的条件概率为pz(/)=Prr=rs=/,/=0,1,»T(4)而且满足£prT=1S,=，=1,iwS(5)1=0模糊不确定退出时间的定

13、义把收益和退出时间都当作模糊数，记n为第，种资产的收益，了为所有资产的退出时间.记第，种资产从开始到第丁期的收益为R,Rfx"若退出时间与收益独立，由模糊数的叉乘定义得出从开始到第z期每种资产收益的期望叽R,)与方差顽R)的表达式，具体见文献12.记收益退出时间的可能性协方差矩阵为COV”=(席)"其中：J.=Cov(r：®r,2带不确定退出时间的投资组合模型1.1 带不确定退出时间的随机投资组合模型由于在随机环境下，退出市场的概率与市场收益独立或相关对于投资组合模型影响不大，因此随机环境下的2种模型介绍将使用同一套符号.除了己经提及的符号，还用到：用代表投资者在

14、第期开始时的总财富；力'，/。=1,2,；1=1,)分别代表在第，期投资于第，种风险资产的金额和随机收tIn益.显然"=1,，7i=1.1.1 带与收益独立的不确定退出时间的随机投资组合模型带与收益独立的不确定退出时间的多期M-V投资组合模型为inaxExrArminVarfvJ严知|=玄沈f=0,1,I1=1其中：ExTAr和Varx/Ar的定义分别为EA-TAr=ExrArTAr=/Pr7,Ar=r=E()p,(7)r=l/=!Varx/Ar=Varljx/AtTar=rf>r7'Ar=r=Var(.r,)pf(8)r=l/=11.1.2 带与收益相关的不确

15、定退出时间的随机投资组合模型当初始的市场状态给定时，即So='MS时，对应的多期投资组合模型为fmaxE,xtafIkinVanxrAr(9)。s.l.Xt+i=£%,1=0,1,T-I./=!其中：E,.和Vai;的定义分别为TTE4.-'taf=ExrArIS()=/0=XEx7-ArTAr=rPr7,Af=r50=/0)=AbPo(/()+XE(x/)77/(5r)(1°)f=0f=lTTVarxrAf=VarxrArS。=中£Varp*73=Pr"3=fS。=4=£Var(>)p,(£)(11)f=lr=

16、l1.2 带不确定退出时间的模糊投资组合模型在含种风险资产的投资组合/，中，设每种资产权重为/=(切，刃，刃/.12n带与收益独立的不确定退出时间的模糊投资组合模型投资组合收益的期望和方差分别为_-M(R“)=£绍M(代)=M(r)coi(12)f=l(13)(14)Var(乌)=cT.C0V,“"其中：为期望收益的向量.因此，带与收益独立的不确定退出时间的模糊投资组合模型为Iminco1-COV,rt<yI-<s.t.妒.心司M(j)<yT/=1其中：£为投资者可接受的最小收益水平.1.2.1 带与收益相关的不确定退出时间的模糊投资组合模型把投

17、资组合收益的可容忍最低、最高水平记为Mm(R“)，这是2个模糊数，含义为投资者对于总收益的最低容忍水平和最高满意水平,可由投资者或专家决定.带与收益相关的不确定呷出时间的模糊投资组合模型为，一/、何网,)+2展")睥市)(/(M(；)+g(；C)(r)+2g(M(r)叩)/3(。)+&网。)(15)s.t.M)=<yT/=1|minVar(Rp)=p_pp本文提出的模型可对应于不同投资环境中的现实投资行为，使关于带不确定退出时间的证券投资组合模型更加客观、合理.很多学者对其中一种模型作出了较详尽的实验分析，因此，对于本文4种模型的实验结果的分析与比较，并运用合适的算法通

18、过迭代次数的增加减少实验误差，将是以后的一个拓展方向.参考文献：1MarkowitzII.PortfolioselectionJ.JournalofFinance,1952,7(1)：77-91*2YaariME.Uncertainlifetime,lifeinsurance,andthetheoryoftheconsumerj.RevEconSlud,1965(32)：137-150IlakanssonNH.Optimalinvestmentandconsumptionstrategiesunderrisk,anuncerlainlifetimeandinsurance。.InternalE

19、conomRev,1969(10)：443-446j)MertonRC.Optimalconsumptionandportfoliorulesinacominuous-timemodelj.JEconomTheory,1971(3)：373-413MarteDiniL,UroscvicB.Staticmean-varianceanalysiswithuncertaintimehorizoniJLManagementScience.2006(52)：955-964YiL,LiZF,LiD.Multi-periodportfolioselectionforasset-liabilitymanage

20、mentwithuncertaininvestmenthorizonlj.JournalofIndustrialandManagementOptimization,2008,4(3)：535-552YaoIIX,ZengY,ChenSM.Multi-periodmean-varianceasset-liabilitymanagementwilhuncontrolledcashflowanduncertainiime-horizonJJ.EconomicModeling,2013(30)：492-500$YiL,WuX,LiX,CuiX.Amcan-ficdformulationforoptimalmulti-periodmean-varianceportfolioselectionwithanuncertainexittimeJ.OperationsResearchLetters,2014,42(8)：489-4949 CuiXY,LiX.WuXP,etal.Amean-fieldformulationforoptimalmulti-periodasset-liabilitymean-varianceportfolioselectionwithanuncertainexitlimeJ"JournaloftheOperationalResearchSociety