完全平方数 - E度教育论坛

1、第9讲 完全平方数第一部分 基本知识点这是重中之重一个自然数平方后所得到的数叫完全平方数，也叫平方数。0，1，4，9，16，25，36，49，64，81，100，121，144，169，196，225，256，289，324，361，400，441，484，都是完全平方数，同学们要数记前20个完全平方数。观察这些完全平方数，可以得到完全平方数的一些常用性质： 性质1：完全平方数的末位数字只能是0，1，4，5，6，9。 推论：个位数是2，3，7，8的整数一定不是完全平方数；性质2：如果一个自然数介于两个连续的完全平方数之间，则它不是完全平方数。性质3：完全平方数除以3余0或1；完全平方数除以4余

2、0或1；。 性质4：如果一个完全平方数的个位数字是6，则是位数字是奇数。性质5：完全平方数分解质因数后，每个质因数的次数都是偶数。性质6：一个正整数如果是完全平方数，那么它有奇数个约数(包括1和它本身)。 一个正整数如果它有奇数个约数(包括1和它本身)，那么它是完全平方数。 约数个数为3的自然数一定是某个质数的平方。性质7：平方差公式A2B2（AB）（AB），其中AB与AB的奇偶性相同。第二部分 学 案 学案1 完全平方数的个位数字只能是0、1、4、5、6、9，可是个位数字是0、1、4、5、6、9的不一定都是完全平方数，那么我们定义：个位数字是0、1、4、5、6、9且不是完全平方数的自然数为“

3、伪平方数”，那么在两位数中，偶数与伪平方数那个多？分析： 两位数从10到99共90个，其中偶数90÷245（个）。 两位数中个位数字是“0、1、4、5、6、9”的有6×954（个），其中完全平方数有16、25、36、49、64、81这6个，伪平方数有54648个。 两位数中偶数45个，伪平方数48个，伪平方数比偶数多。学案2 将16分解成若干个质数（可以相同）相加的形式，如果这些质数的乘积正好是平方数，那么这个平方数可能是几？分析： 要使这些质数的乘积是完全平方数，那么质数必须成对出现，我们把16分成88的两组，每组用相同的方式分解成一些质数相加的形式即可。 8222223

4、335 16（2222）（2222）（233）（233）（35）（35） （2×2×2×2）×（2×2×2×2）162256 （2×3×3）×（2×3×3）182324 （3×5）×（3×5）152225 答：这个平方数可能是256、324、225学案3 一个房间里有100盏灯，用自然数1、2、3、4、100编号，每盏灯各有一个开关，开始时，所有的灯都不亮。有100个人轮流进入房间，第一个人进入房间后，将编号为1的倍数的灯的开关按一下，然后离去。

5、第二个人进入房间后，将编号为2的倍数的灯的开关按一下，然后离去；如此下去，直到第100个人进入房间，将编号为100的倍数的灯的开关按一下，然后离去。问：第100个人离开房间后，房间里那些灯还亮着？分析：对于任何一盏灯，由于它原来不亮，那么，开关被按奇数次时灯是亮着的，开关被按偶数次时灯是灭着的。“一盏灯的开关被按的次数，恰等于这盏灯编号的约数个数”。求哪些灯还亮着，就是求哪些灯编号的约数个数是奇数个。显然，完全平方数有奇数个约数，所以用完全平方数编号的灯是亮着的。 在1100这100个数中，完全平方数有1、4、9、16、25、36、49、64、81、100，所以当第100个人离开房间后，房间里

6、还亮着的灯的编号是：1、4、9、16、25、36、49、64、81、100。学案4 两个完全平方数的差为51，且这两个完全平方数之间没有其他完全平方数，求这两个数。分析： 设这两个完全平方数分别为A2、B2 ，且AB1。 A2B251（AB）（AB）51 得到 AB 51 AB 1 解得A26；B25 A2 262676 ；B2252625第三部分 课后训练，巩固知识点1、1×22×33×44×55×66×77×88×99×1010×1111×12的结果是不是完全平方数？为什么？分析：

7、不是！ 我们把每一项的个位数字相加：2620026200222，相加和的个位数字是2。完全平方数的个位数字只能是0、1、4、5、6、9，个位是2的自然数不可能是完全平方数。2、1×23×45×67×89×10的结果是不是完全平方数？为什么？分析：不是！ 我们首先考虑和的个位数字，2206010，个位数字是0，有可能是完全平方数；另一方面，我们看总和除以4的余数：202026，6除以4余2，也就是说总和除以4余2，而完全平方数除以4的余数只能是0或1，余2的必然不是完全平方数。分析：1×23×45×67×8

8、9×10最后的结果是190，190介于132169和142196之间，而132169和142196是两个相邻的完全平方数，因此190不是完全平方数。3、240乘以一个非零自然数，或者除以一个非零自然数b，结果都是一个完全平方数，那么的最小值是 。b的最小值是 。分析：24024×3×5， 240×结果是完全平方数，完全平方数的质因数必须成对出现，所以最小值是3×515。 240÷b结果是完全平方数，完全平方数的质因数必须成对出现，所以b最小值是3×515。4、400以内，有奇数个因数（约数）的自然数有哪些？这些自然数中因数（

9、约数）最多的有多少个因数？分析：一个正整数如果是完全平方数，那么它有奇数个约数(包括1和它本身)。 一个正整数如果它有奇数个约数(包括1和它本身)，那么它是完全平方数。 400以内有奇数个因数（约数）的自然数有：1、4、9、16、25、36、49、64、81、100、121、144、169、196、225、256、289、324、361、400，共20个，其中约数最多的是形如（2b）2形式的自然数，有122144，182324，202400，它们各有15个约数。5、是否存在一个自然数，使得13，13都是完全平方数？分析：假设存在一个自然数，使得13，13都是完全平方数。并且设13A2，13B2

10、。 A2B2（13）（13）26（AB）（AB）262×13AB与AB的奇偶性相同，AB与AB要么都是奇数，要么都是偶数，而它们的乘积26是偶数，说明AB与AB都是偶数，而两个偶数的乘积必然是4的倍数，但是26除以4余2，自相矛盾，说明最开始的假设错误。因此得出结论，不存在这样的自然数，使得13，13都是完全平方数。第四部分 补充题目，开阔视野1、一个整数，它的一半是一个完全平方数，且它的三分之一是一个完全立方数，则这个整数最小是多少？解： 设这个整数为6。 6÷23是完全平方数，可以表示为3A2 6÷32是完全立方数，可以表示为22×B3。 3A222

11、×B3 B是3的倍数，B至少是3。至少是22×B34×33108， 所求整数最小是66×108648。648÷2324182 ， 648÷321663 答：所求的整数最小是648。2、从1到2008的所有自然数中，乘以72后是完全平方数的数共有多少个？解： 完全平方数，分解质因数后质因数必成对出现。 722×22×322×62 乘以72后是完全平方数的数必是某个平方数的2倍。 2×3121922 1922符合要求，且19222008 2×3222048 2048符合要求，但204820

12、08 符合要求的数共有31个：分别是2×12、2×22、2×32、2×42、2×312。3、一个数减去100后是一个平方数，减去63也是一个平方数，问这个数是多少？解： 设这个数为，这个数减去63后的差为A2，这个数减去100的差为B2。根据题意 63A2 100B2 A2 B2（AB）（AB） （63）（100）631001006337 （AB）（AB）37×1 AB37 AB1 解得：A19 B18 100B2 100B2100182424 答：这个数是424。4、已知3528a恰是自然数b的平方数，a的最小值是 。解：平方数分解质因数后质因数必成对出现。 3528ab2 3528a 23×32×72 a2×422 a b