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壁面导热对层流逆流式平行板式换热器的影响摘要:对壁面导热在多层逆流式平行板式换热器的影响进行了理论和数值分析。对常物性流体进行分析，在流体和板上要考虑流体力学层而忽略轴向传导。温度场与一个无穷级数展开的特征函数的正负特征值集有关。除了精确解,近似解,只保留了前两个条件中的特征函数展开式。二项近似解，通过引进入口/出口部分表面温度补偿，还包含了高阶模式的影响。为远离热入口区域的温度场提供了一个精确的表示，从而能够简化壁面温度、平均温度，局部努塞尔数和总传热系数的表达式。作为分析的主要结果，可以看出，增大壁面热阻降低了正负特征值的绝对值，从而降低了换热器效率，并增大了流体的努塞尔数与较低的热容量流量，使其更接近于一个对应于恒定的热通量边界条件的理论值140/17=8.2353。此外，所提出的两个解被认为要依赖于高精度的壁热电阻出口平均温度。还得到了平衡热交换器的渐近解，在这种实际利益限制的情况下提供的封闭形式的解析表达式。关键字：换热器，逆流，平行板，层流，特征展开式，壁热电阻1. 介绍 平行板换热器是广泛应用于化工，制药，食品加工，和许多其他工业应用。最近，他们还发现在各种热工程应用的新兴分支。因此，他们目前用于涉及不同类催化气相反应的微型反应系统1，包括将低品位热能转化为电能的热电发电机2-3，热声发电机和冰箱4。此外，他们是许多低温系统的重要组成部分5-7。近年来，也对聚合物热交换器的发展有了越来越大的兴趣，特别是由于它们的高耐腐蚀和耐结垢。具体而言，聚合物的使用提供了很大的重量，体积，空间，而且在许多应用中比金属热交换器节省维护成本8。然而，高分子材料的低导热率通常导致产生一个很高的壁面传热热阻，在热设计和这些设备的操作中造成严重限制9-11。在过去的几十年里, 由于其简单的几何形状和良好的流动条件，平行板换热器的分析已经有了显著地进展12。特别是，不同流耦合之间的稳态层流传热的分析在边界相容条件构成了所谓的共轭的格雷茨问题12-15。在某些简化的假设恒物性流体和充分发展的层流流动中，这个问题就变得线性，是适合于一个基于特征函数展开式的简化解，是在逆流系统中包括与正、负特征值集有关的正负特征函数集。本文的目的是概括由Vera和Lian18-19进行的层流逆流平行板热交换器有限壁面热阻的影响的研究。这个分析,基于Nunge和Gill的开创性贡献。使用代数符号写出封闭形式特征函数的解析表达式，得出一个提供特征值数值的精确的解析函数。除了精确解，利用特征函数展开为一套完整的无穷级数。只保留前两种模式的特征函数展开式推导出的近似解。这种方法，它还包括通过入口/出口部分引起的表观温度补偿对高阶的本征函数的影响，为远离热入口区域温度场提供准确的陈述。壁面和平均温度，局部传热速率，总传热系数，努塞尔数，和出口平均温度的表达式在工程应用甚至是适度的短热交换器都是是有用的。本文组织如下。在2节中，我们提出了无量纲公式化的问题，引入无量纲参数。在3节中，我们展开这个解，作为一个本征函数的无穷级数，推导出膨胀系数的线性体系。在4节中，我们提出了两个只包括最低阶特征值与特征函数的近似解。在5节中，我们评论我们在经典热交换器的背景下的分析结果的相关性研究。在6节中，我们验证了精确解和近似解与数值解，并讨论了换热器性能的壁面热阻的主要影响。最后，在第7节中，提出了分析的主要结论。作为额外的材料，可用于讨论的结果，在附录A中给出的近似平衡的热交换器的极限情况下的渐近解，而在附录B我们解决高度不平衡的热交换器的退化情况。2. 问题描述 在本文中，我们分析了两种流经多层逆流的平行板热交换器恒物性牛顿流体之间的热传递。通过由相对较大的有限厚度和导热系数的分隔板通道组成的多层逆流的平行板热交换器。导电板允许热交换通过一段长度L,绝缘区域呈现在热交换区的两端,没有热交换20。在这里考虑的配置中，两种流体，表示为1和2（下文中，下标i将被区分地使用两种流体，i = 1，2），在相邻的通道，在相反的方向流动。然后，如果换热器的特征截面尺寸比通道宽度大2ai，出现在横向方向上以2(a1+a2)为周期的周期性变化的温度场。因此当描述的热交换器中的单元电池的温度场，我们可以在没有热能量可转移的通道对称面使用对称边界条件。图1给出了一个研究的理论模型示意图，包括坐标系统，速度分布，入口条件，i= 1,2时流体的物理性质。在下文中，X表示从流体1的入口处测量的纵坐标，纵坐标Yi 从通道i的对称平面测量。在通道中流动的雷诺数，根据流体i的平均流速,运动粘度，被假定为足够小的流动保持层流和稳定20。另一方面，流体i的普朗特数，热扩散系数的定义，被假定为比较大的统一，对于大多数非金属液体的一个很好的近似值，因此，热条目长度比流体条目长度大。由于恒定属性的假设，是独立的温度场。因此，流量可以被认为是一个完全发展泊肃叶流动。，+（-）标志适用于流体1（2）。此外，我们将假定通道中的流体的Peclet数，都是比较大的统一。在这种情况下，在流体轴向导热局限于小的地区位于热交换区两端，靠近导热板。其特征尺寸，当时，比小。在这种限制的情况下，流体的轴向导热可以忽略第一近似解，因此我们假设流体进口温度是均匀的，等于在。根据先前逆流换热器的分析得出结论，这是100个或更多的Peclet数的一个很好的近似解22-23。这些Peclet数，板的轴向传导可以忽略不计，引入了在热交换区两端非常小的距离唯一明显的影响。这种情况下，当导热板的厚度，相比于通道的宽度是足够小的，这个条件通常适用于宏观传热设备24。写无量纲形式的问题，我们引入无量纲变量和。然后，根据上述假设，第一近似解的能量方程减少，当，时，保持轴向和横向对流传导之间的平衡，其中的无量纲参数都假定为统一的。请注意，由于现有的逆流模式，虽然纵向热传导的影响不考虑，但数学问题是椭圆而不是抛物线。图1.显示理想化的逆流平行板式换热器单元电池，坐标系，速度分布，入口条件，I = 1,2时的流体的物理性质。导热壁，有限厚度，和热传导流体分离。在研究领域为灰色阴影。 (1) (2), (3)上述方程必须结合通道对称平面的对称边界条件,导热壁的热耦合条件和入口处指定的无量纲温度。 (，) (4) (,) (5) (,) (6) (,) (7)导热壁的热通量的连续性在（5）中引入了两个额外的参数 (8)它们分别代表了流体与流体和流体和壁面之间的的电导率。(1)(8)的解提供了温度场，对于给定的,和的值。 它还提供了从流体2到流体1的局部传热率，界面壁流体温度分布 (9) 局部壁温变化 (10) 出口处的温度分布 (11) (12)请注意，PE1的纵向热传导效应的缺乏意味着, 在热交换区两端的壁面温度被这一段进入换热器的流体加强了,因此，我们可以预期,、。另一个有趣的结果是两个流的温度分布 (13)定义为均匀的温度,最终是可以求出的如果流体在一个特定的部分被允许绝热发展。具体来说，主要的分析结果是两个流的出口平均温度值，和，与热交换器的有效性密切相关18。总结本节，我们将忽略的壁面轴向导热的假设作进一步的评论。下面的讨论是基于所谓的轴向传导数，定义为壁传导的轴向传热率，流道内的对流换热，。Maranzana24等人计算的数值显示，只要轴向传导换热器性能的影响几乎可以忽略,一个条件，可改写为 (14)在无量纲参数方面,和KW。该不等式为下面的壁面厚度的上限，其中轴向导热的影响可以被安忽略。例如，和KW=2,10,100，1000，我们有。与上述结果相连结，有趣的是如果当KW趋向于无穷大时，趋向于0，那么在热薄壁中判据(14)刚好可以满足。相反的，如果当KW趋向于无穷是，保持不变，那么（14）中的不等式将会相差几个点。这将给现场带来轴向热传导,对热交换器性能有很大的影响20。从技术上讲，数学公式提出了以上才有意义,在著名的极限当时，趋向于O，KW趋向于无穷。这一特征区分热薄壁的方法在(18、19)，从这里有限的热阻的情况下考虑，局部传热率现被KW限制。根据公式（10），这里改写为 (15)鉴于此，根据定义，界面的壁温度跳跃总是小于（或等于）一。值得注意的是，事实上，有一个上限，防止层流逆流热交换器热壁薄的局部传热速率在热入口区域出现特殊运行工况19。3. 离变量法的理论分析3.1一般规划下列标准的做法，问题的解将在特征函数展开式中寻找。假设分离变量导致（）。因此，这个解可以写为 （16）待定常数A来自方程的不变性。（1）和（2）在任意温度的变化。请注意，这个常数也可以看作是一个额外的函数，相应的特征值是零（16）。在热交换区域的两端入口边界条件满足（6）和（7），迫使我们使用一组正（N0）和负（N1为正，mk1为负。当0是一个双代数特征值，单数的情况下mk=1，详见附录A。特别是当系数C0偏离，特征函数趋近于。这种特别情况必须抵消。所以也要偏离，因此是有范围的，最终导致了替代了在（A.5）中的级数展开式。为简洁起见，下面的讨论将仅限于mk不等于1的值，因此。在这种情况下,使用(16)的展开式，(1)和(2)会导致以下方程n个特征函数 (17) (18)当，结合边界条件 （） (19) ， （） (20)下面分别从方程(4)和(5)，式（20）的值被确定为解的一部分。请注意，由于线性度的问题我们还必须指定一个标准化的条件。然后，不失一般性，我们设置 （） (21)3.2特征函数的测定3.2.1在热壁薄管理，通过Vera和Lian的详细研究18,在墙壁上的边界条件(20)，可以以降低温度和热通量的连续性。而且，这个正常化的条件（21）变成当时，。由此产生的问题存在解析解，可以用标准符号数学软件包。例如，Mathematica或Maple，在表格 18 中 (22)保持注释了18，我们通过，（17）-（18）的解与相一致。在上面的表达式中和是惠特克函数25,26。我们已经定义了复杂的无量纲参数， (23)是伽马函数，i是虚数单位。同样，我们使用的符号18 (24)壁面上特征函数的倒数，用和由式（23）的形式给出n和m（仅当i=2）3.2.2有限KW例子当热交换壁具有有限的热阻，0KW1区域尤为明显。即，流体2比流体1具有更高的热容量流量。当从无穷降低到2，最低阶特征值大致降低50，当趋向于0时，降低到0。通过对比，高阶特征值显示相对较小的变化。例如当在mk1范围内，从无穷降低到0，减少60%。不管怎样，而K1几乎保持不变。特征值在表格13被用来计算本征函数G如图3所示。为清楚地看出，在图中，墙面热阻的主要作用是引入在壁中的第n个本征函数的有限的变化。这一变化的幅度，当时，n由于梯度的增大而增大。注意，第n个特征函数有|n|个零点，n0时位于，n 1与热交换器效率单调增加，。相比之下，壁面热阻1/KW的作用是减少固定的换热器长度的换热效率 。在图4中看到的插图，截断的精确解的其他有趣的特性，是预测流体1出口平均温度不会消失，18。相反，我们有 （） （43）由 Vera和Lin讨论的，我们保留高阶特征函数的精确解构成一个额外热量热交换的测量。这发生在靠近入口区域的额外传热，减少较大的壁面热阻，由于日益严格的约束，通过对相对较小的值的传热速率施加。 有趣的是，这两项截断的精确解，线性方程（39）和（40）可以求解给出 （44）给提供，和计算出的相应的值。这一结果将被用于第4.2节，包括两项近似解高阶模态在入口/出口部分引入明显的温度补偿的影响，正如我们将看到的导致数值精度的显著改善。作为最后的话，应当注意的是，作为均衡热交换器制度是接近，mk趋向于0，线性的膨胀系数（39）和（40）变得越来越糟。这个数学分析，成为一个代数的双重特征，是超出了本文的范围。在这种情况下，线性系统（39）和（40）应该得到再利用为出发点的替代系列扩展（A.5）见附录A。4. 两项近似解在图2显示在MK平面区域的中心区域的灰色阴影区，第二个最小特征值的绝对值大于的绝对值25%（淡灰色），50%（灰色），100%（深灰色）。这些地区以外，通过截断前两种模式的特征函数展开式得到近似解。 （45）对远离入口处的温度场将给出一个准确的描述，即。问题是减少的膨胀系数和测定。首先获得A和C0截断系统（39）和（40）的前两项，然后解决线性方程组。然而，截断过程会引入严重的困难，阻碍了其广泛的实际应用 18 。特别是，对于固定的m，k和KW的值。由于明确的换热器长度截断系统变得奇异，离开未定A和的对应值，导致相邻值的错误解。因此，m=1,k=2,和,截断的线性系统被证明是单数形式的，而m=2,k=1和的相同值，奇点出现。由于这些的值在实际应用中的兴趣范围，需要制定一个备选（更强大）确定展开系数的方法。介绍了A和C0的测定，通过所谓的nungeGill方法16,17。促使我们去寻求另一种近似方法，基于截断平均温度的二项展开式。 (46) (47)在这里我们使用的正交性条件（38）与N = Q = 0，和（18），写 (48)4.1零级解 采用集总入口条件 (49)连同（46）和（47），导致第一个近似的膨胀系数 (50)壁温 (52) (53)平均温度 (54) (55)局部传热速率 (56)和的值对应于不同的k,m和KW值可以在表1和2中找到。 换热器设计特别重要的是在出口平均温度，由（54）和（55）给出 (57) (58)4.2第一阶解这两个术语解的精度可以通过改善总入口条件（49） (59)在这里我们介绍的入口温度补偿 (60)在换热器两端包括高阶的本征函数的影响 18 由于线性度的问题，温度场满足入口条件，（59）可以写为 (61)中的零阶二项解，在（51）中给出。这导致了以下表达式 (62) (63) (64) (65) (66)在中比在（52）-（56）中给出更好的近似解，专为较短的热交换器， 然而，应当指出，这（64）和（65）不能用来评估出口平均温度，因为不包括发生在出口处的温度补偿。相反，我们必须使用 (67) (68)两个表达式的最后一项表示出口温度偏移，写在相应的入口温度偏移项(60)18。5. 经典的热交换器的相关性分析5.1努塞尔数和总传热系数先决条件为E-NTU方法的应用是整体传热系数的知识，这在考虑有限的KW情况下，由下式给出 （69）图.5 由方程（70）和（71）的解给出的在m-k平面上和的等高线图，为了不同的值。虚线：由(A.17)和(A.18).给出的的近似解。这两项解预计在灰色阴影部分失败。（看图2描述）根据热敏电阻可加性的概念，是基于传热系数的努塞尔数和流体i的水力直径。引入无量纲量，从（45）（47）我们得到 (70) (71)而Nu2可以从(69)(71)方便地计算出 (72)注意（70）和（71）的最后一个表达式，两项截断解是独立的的膨胀系数。因此，他们预计将在远离热进入区域得到极好的近似值Nu1和U，即对于。事实上，它们可以被看作是对足够长的换热器17有效精确渐近解。图5由方程（70）和（71）的给出的在m-k平面上和的等高线图。可以看出，无论是多少，mk=1。当流体1和流体2热容量流量完美的平衡。以140/17=8.235对应于一个恒定的热通量边界条件（详见附录A）。通过对比的方式，mk1,当流体2比流体1具有更高的热容量流量，趋向于无穷小,的单调变化在恒壁温极限之间，7.541，到达热薄壁系统，18,而恒热流极限8.235，对所有mk1，（详见附录B）。6. 数值验证和结果的讨论评估在前面的章节中报道的解析解的数值精度，公式（1）-（8）有限差分的解，计算了m,k,和的值。该数值方法的细节可以在其他地方找到该数值方法的细节可以在其他地方，将不会在这里重复18。对于N=5和10的截断精确解也得到了参考。在本文中，我们将依据流体1的出口平均温度，比较不同的结解决方法mk1，一个条件，适用于所有情况介绍如下，与换热器效率一致，18。为了使其更容易理解和更容易在文本跟随，用于确定的不同的方法以流程图的形式概括在图6中。进一步的比较平均温度，界面壁流体温度，局部传热率和总传热系数的空间分布。显示出类似的协议，那些在 18 在热壁薄极限的报道，将在目前的讨论中忽略。 图.6 确定过程的总结，使用三种方法来讨论：零阶和一阶的二项解和2（N+1）项的截断精确解。图.7 随着流体1出口平均温度的变化对应的m=1,k=2(左)，m=2,k=1(右)选定的换热器长度。从问题的数值积分得到的结果，N=5时方程式（42）的截断精确解，方程（67）的一阶二项解，和方程（57）的零阶二项解。图.7显示了的变化，壁面热阻的m,k的选定值和的确定值，使用三种不同的解析解。即零阶二项解（57），一阶二项解（67）和N=5时的截断精确解。图中所示的结果表明，增加壁面热阻会显著降低的换热器效率，对小型换热器长度有较大的影响。表4 流体1出口平均温度计算得出的数值(NUM)，N=10，N=5时的截断精确解，近似二项解（2TS)，对应于不同的换热器长度和壁面热阻。结果对应的基准的情况下，M = 1 K = 2；在图7中左边的图表示。相比于n = 10的截断精确解该表还包括不同解的相对误差，作为参考的解决方案。数值计算值以粗体显示表4比较了对应于m=1,k=2时得到的数值，通过N=5和10的截断精确解。它也显示了相对误差由不同的计算方式，如与N=10时截断的精确解进行了比较，作为基准的情况下。可以看出，N=5时截断解得相对误差明显太小，很短的换热器的壁面热电阻忽略不计，它达到0.01%阶值。数值解与参考解很吻合，表现出相对误差均在0.1%以下。然而，特别值得注意的是，一阶二项解也能够描述误差低于1%。换热器的换热性能与和的变化。即使是适度小的热交换器（）。通过对比，零阶解导致比较大的误差。图.8 相对误差的变化采用对应于m = 1；K = 2得近似零阶（左）和一阶（右）二项解选择换热器长度。具体来说，零阶和一阶解的相对误差绘制在图8中，作为一个壁面热阻的函数，是的选定值。可以看出，一阶解不仅具有更小的误差，而且由于壁面热电阻的增加，这些误差都以更快的速度减少。因此，时，热壁薄的零阶解的误差大约是一阶解4.5到5倍。时，最大壁面热阻比率长到约9到12倍。要记住的零阶和一阶两种不同性质的解是来自不同的入口边界条件 18 。通过集中的条件（49），零阶解取代了（6）和（7）确切的入口条件。通过（44），（59）和（60）修正的入口温度一阶解还利用确切的入口条件。因此，在图8中显示的错误条件，介绍了采用集总的结果（49）而不是（59），更重要的是由于忽略高阶模式，其效果可以在很大程度上被取代，通过明显的入口/出口温度补偿和。7. 结论本文提出了层流逆流平行板式换热器分析和数值模拟研究。常物性流体有效性的分析，假设两个数据的Peclet数比整体大。因此，流体和板的上游的热传导被忽略，这是假定有一个有限的热电阻。在这种情况下，问题的数学公式，出现四个无量纲参数：m,k,L和壁面流体导电率，它的倒数表示无量纲壁热阻。分析模型的特征函数展开式涉及正负特征值得无穷集。分析惠特克函数的特征函数解析表达式，然后将其用于特征值的计算。为了简化计算，也提供了特征值渐近表达式。随着对m,k,选定值的特征值的高精度的表示,提出了最低阶的特征值和相应的本征函数的等高线图。由于远离入口的高阶特征函数呈指数衰减快。对只保留的第一非零特征值的近似二项解的影响进行了研究。采用进口条件下获得的复杂程度增加的膨胀系数，推导出在文中讨论了零阶和一阶的二项解。这个二项解推导出的出口平均温度或者换热率解析表达式以及平均温度的空间分布，界面壁流体温度，局部传热率,努赛尔数Nui，总传热系数。这些表达式，其中涉及的参数有，m,k,，L和相应的值。，是伴随着封闭形式的渐近表达式只涉及k,和在近平衡的热交换器的极限，。一阶二项解得解析表达式和有限差分数值模拟进行比较，即使是小的换热器的出口平均温度，整体和壁面温度，局部传热速率，总传热系数，以及努塞尔数都显示出非常一致。这表明使用这种近似解作为一个有用的工程设计工具的可能性。这个调查可以作为出发点，以构建包含轴向传导的导热板的效果的近似模型。扩展模型的圆柱形几何形状和非牛顿流体也值得进一步考虑。专业术语A膨胀系数希腊字母在极限的膨胀系数O(1)流体i的热扩散率在极限的膨胀系数O(1)入口处流体i的整体温度偏移流体i的通道半径壁厚对应第n个本征函数的膨胀系数小参数流体i的比热换热器效率在极限的第n个本征函数伽马函数有限的第n个本征函数K惠特克函数的第一个参数在极限的第0个本征函数无量纲参数流体i的传热系数集总参数变量k无量纲参数第n个特征值流体惠特克函数的第二个参数壁面热导率无量纲的局部传热率在极限的特征值流体i的运动粘度L换热器长度流体i的密度M惠特克函数流体i的无量纲温度m无量纲参数无量纲纵坐标流体i的努赛尔数方程（41）的系数流体i的Peclet数下标流体i的普朗特数i用于流体1和2的下标流体i的雷诺数in入口T温度L换热器长度无量纲总传热系数m平均温度流体i的纵向速度n对应于第n个本征值/本征函数流体i的平均速度out出口W惠特克函数w热交换壁权函数上标X流体1入口纵向距离(0)零阶二项解通道i对称平面的横向距离(1)一阶二项解无量纲横向坐标(N)2（N+1）项截断精确解附录A，近平衡换热器A.1和的渐近展开式 (A.1) (A.2) (A.3) (A.4) (A.5) (A.6) (A.7) (A.8) (A.9) (A.10) (A.11) (A.12) (A.13) (A.14)A.1 的渐近展开式 (A.15) (A.16)A.3换热器性能 (A.17) (A.18) （） (B.1) (B.2) () (B.3) (B.4) (B.5) (B.6) 参考文献1 S. 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