例谈直线与平面所成角的求解策略

1、例谈直线与平面所成角的求解策略山西省临猗中学 陆永泉 （044100）高考考查的直线与平面所成的角，主要指的是平面的斜线与平面所成的角，而斜线与平面所成交的定义就已经给出了它的计算方法，即将其转化为斜线与其在平面的射影所成的角。因此求解斜线与平面所成的角的关键是：作出或找出斜线在平面的射影，然后转化到直角三角形中加以解决。一. 选点做垂线，连结得射影. 借助已知条件，在斜线上选一点作已知平面的垂线，连结垂足及斜足得所求的角.例1.（2004年，天津文）如图1，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点. P E C B F D A.求证：PA

2、平面EDB .求EB与底面ABCD所成的角的正切值. . 略. 解法1.作EFDC交DC于F，连结BF.设正方形ABCD的边长为a，PD底面ABCD，PDDC，EFPD，F为DC的中点，EF底面ABCD，BF为BE在底面ABCD内的射影，故EBF为直线EB与底面ABCD 图1所成的角，在RtBCF中，BF= FE=PD=，在RtEFB中，tanEBF=所以EB与底面ABCD所成的角的正切值为.解法2. 如图2所示，建立空间直角坐标系，D为坐标原点，设DC=a。依题意A（a,0,0）,P(0,0,a),E(0, ),B(a,a,0),C(0,a,0),取DC的中点F（0，0），连结EF、BF E

3、F底面ABCD，BF为BE在底面ABCD内的射影，故EBF为EB与底面ABCD所成的角，在RtEFB中， zP y E C B F D A x所以,EB与底面ABCD所成的角的正切值为. 图2二. 借现成结论，直接找射影. 结论1.从一个角的顶点引这个角所在平面的斜射线，使斜射线和这个角两边的夹角相等，则斜线在平面的射影是这个角的平分线所在的直线.结论2.两个垂直的平面，其中一个平面内的任一条斜线在另一平面的射影必为两垂面的交线. P FA D C B例2.（2004年，全国卷）如图3，三棱锥P-ABC中，侧面PAC与底面ABC垂直，PA=PB=PC=3.求证：ABBC.设AB=BC=，求AC

4、与平面PBC所成角的大小。解. .略.作CFPB与F，连结AF、DF。因为PBCPBA所以AFPB，AF=CF因此，PB平面AFC，所以面AFC面PBC，交线是CF， 图3因此直线AC在平面PBC内的射影为直线CF，ACF为AC与平面PBC所成的角在RtABC中，AB=BC=2，所以BD=.在RtPDC中，DC=，PD=在RtPDB中，在RtFDC中，tanACF=所以ACF=300，即AC与平面PBC所成角为300.例3.在棱长为a的正方体ABCD-ABCD中，E、F分别是BC、AD的中点。1. 求证；四边形BEDF是菱形；2. 求直线AD与平面BEDF所成的角解. .略. ADF=ADE，连结DB、AB，易证AD在平面BEDF的射影为DB。则ADB为直线AD与平面BEDF所成的角. 在RtADB中，DAB=900，DA=a,DB=a D CFA B D C EA BcosADB=ADB=arccos三. 借助点面距，无须作射影。例四：四棱锥P-ABCD的底面ABCD是正方形，PD底面ABCD，PD=AB=2，E是PB的中点.求异面直线PA和DC的距离. 图4PD E C A B.求直线AE与平面PBC所成的角的正弦值.解：.略. PD平面ABCD，且AB面ABCD，PDAB，又ABAD，且PDAD=DAB平面PDA，故ABPA在RtPAB中，E是PB的中点，AE=PB，PA=