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1、例谈直线与平面所成角的求解策略山西省临猗中学 陆永泉 (044100)高考考查的直线与平面所成的角,主要指的是平面的斜线与平面所成的角,而斜线与平面所成交的定义就已经给出了它的计算方法,即将其转化为斜线与其在平面的射影所成的角。因此求解斜线与平面所成的角的关键是:作出或找出斜线在平面的射影,然后转化到直角三角形中加以解决。一. 选点做垂线,连结得射影. 借助已知条件,在斜线上选一点作已知平面的垂线,连结垂足及斜足得所求的角.例1.(2004年,天津文)如图1,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点. P E C B F D A.求证:PA
2、平面EDB .求EB与底面ABCD所成的角的正切值. . 略. 解法1.作EFDC交DC于F,连结BF.设正方形ABCD的边长为a,PD底面ABCD,PDDC,EFPD,F为DC的中点,EF底面ABCD,BF为BE在底面ABCD内的射影,故EBF为直线EB与底面ABCD 图1所成的角,在RtBCF中,BF= FE=PD=,在RtEFB中,tanEBF=所以EB与底面ABCD所成的角的正切值为.解法2. 如图2所示,建立空间直角坐标系,D为坐标原点,设DC=a。依题意A(a,0,0),P(0,0,a),E(0, ),B(a,a,0),C(0,a,0),取DC的中点F(0,0),连结EF、BF E
3、F底面ABCD,BF为BE在底面ABCD内的射影,故EBF为EB与底面ABCD所成的角,在RtEFB中, zP y E C B F D A x所以,EB与底面ABCD所成的角的正切值为. 图2二. 借现成结论,直接找射影. 结论1.从一个角的顶点引这个角所在平面的斜射线,使斜射线和这个角两边的夹角相等,则斜线在平面的射影是这个角的平分线所在的直线.结论2.两个垂直的平面,其中一个平面内的任一条斜线在另一平面的射影必为两垂面的交线. P FA D C B例2.(2004年,全国卷)如图3,三棱锥P-ABC中,侧面PAC与底面ABC垂直,PA=PB=PC=3.求证:ABBC.设AB=BC=,求AC
4、与平面PBC所成角的大小。解. .略.作CFPB与F,连结AF、DF。因为PBCPBA所以AFPB,AF=CF因此,PB平面AFC,所以面AFC面PBC,交线是CF, 图3因此直线AC在平面PBC内的射影为直线CF,ACF为AC与平面PBC所成的角在RtABC中,AB=BC=2,所以BD=.在RtPDC中,DC=,PD=在RtPDB中,在RtFDC中,tanACF=所以ACF=300,即AC与平面PBC所成角为300.例3.在棱长为a的正方体ABCD-ABCD中,E、F分别是BC、AD的中点。1. 求证;四边形BEDF是菱形;2. 求直线AD与平面BEDF所成的角解. .略. ADF=ADE,连结DB、AB,易证AD在平面BEDF的射影为DB。则ADB为直线AD与平面BEDF所成的角. 在RtADB中,DAB=900,DA=a,DB=a D CFA B D C EA BcosADB=ADB=arccos三. 借助点面距,无须作射影。例四:四棱锥P-ABCD的底面ABCD是正方形,PD底面ABCD,PD=AB=2,E是PB的中点.求异面直线PA和DC的距离. 图4PD E C A B.求直线AE与平面PBC所成的角的正弦值.解:.略. PD平面ABCD,且AB面ABCD,PDAB,又ABAD,且PDAD=DAB平面PDA,故ABPA在RtPAB中,E是PB的中点,AE=PB,PA=
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