一题多解与一题多变在培养学生思维能力中的应用

1、一题多解与一题多变在培养学生思维能力中的应用（四川省营山双河中学校 杨林庆）【摘要】：随着社会的发展和进步，人们对现代化国家的数学教育观也有了新的认识：数学教育必须着眼于学生数学思维能力的发展。因此，“一题多解与一题多变”在培养学生数学思维能力方面的应用引起了越来越多的学者和教师的重视。本文将利用例题阐述“一题多解与一题多变”在培养学生思维能力中的应用的重要性。【关键词】：一题多解 一题多变 发散思维 数学思维能力数学，是一门自然学科。对所有的高中生来说，要学好这门学科，却不是一件很容易的事。大多数学生对数学的印象是枯燥乏味，没兴趣。新课程的改革，看似降低了难度，实际对学生的要求更高，讲的少了

2、，探究的多了，课本内容少了，考试内容多了。在这样的情况下，我认为数学教学要在培养学生的思维能力上下大功夫。正所谓“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，我们要让学生学会多角度分析和解决问题。我认为，一题多解与一题多变是发展学生思维的具体体现，也是提高课堂教学效率的有效途径。一题多解是对同一数学问题用不同的数学方法来解答，可以开阔学生思路，发散学生思维。这要求学生对数学知识结构和数学解题方法有深刻的认识，所以一题多解大多在复习课上使用效果更好。在高三一轮复习中就用了这种方法，效果不错。一、在公式的推导中运用一题多解数学的公式在数学的解题中的作用是非常巨大的。并且，要学好数学，就必须熟练的运用公式。但

3、很多学生对公式的记忆大多采取死记硬背的方法，对公式的推导往往不够重视。其实，公式的推导过程就是一种解题的方法，或是一种解题技巧。例如：在学习等差数列通项公式时，方法一： 由此得到 方法二：由等差数列定义知： 所以有 累加得 从而得到方法二就是我们常用的求数列通项公式的方法累差法。这样的话，学生对这个公式的产生过程印象就更深刻，对公式也就更难忘。另外，在记忆公式的同时，也学到了重要的数学方法和思路，更有助于学生数学思维的发展。 二、在例题讲解中运用一题多解和一题多变例1：已知，求的值解法：（利用同角三角函数的基本关系） 设 则 解得 解法：（“1”的应用） 是第一，三象限角 = 当是第一象限角时

4、： 当是第三象限角时： 综上知：解法：（利用三角函数线） 由可知，是第一或第三象限角 当是第一象限角时，如上图：圆O为单位圆，OP为的终边，则： 在直角中， 由三角形相似，同理可求是第三象限时 综上知：解法：（利用比例式的性质） 且与同号 当然，这道例题还有其它的方法求解，比如利用锐角三角函数也可以很快求解，这里就不一一列举。解答完这个题后，我们还可以提出这样的问题：我们将条件改为，求该如何很快求解呢？已知求切呢？已知弦的倍数关系有怎样求呢？通过这种训练，不仅使学生掌握了解这一类题得方法，还可以预防思维定向，同时也培养了发散思维能力。 在平时的新课教学中，不宜就题论题，应该启发引导学生把思路延续下去，通过一题多变，引入新问题，体会问题的细微不同之处，例如，在讲完必修1 函数时有这样的题： 例2：已知函数 的定义域为R，求m的取值范围 解：由题意得：在R上恒成立 且， 得此后可以有这样的变式题： 变1.的定义域为R，求m的取值范围 变2. 把变1的条件改为值域为R，其它不变。总之，在数学教学中，一题多解要基于学生的基础。不要为寻找一题的多解打消学生的积极性，一题多变也得循序渐进，变得自然流畅，使学生的思维得到充分发散，而又不感到突然。在例题练习中，有意识的选择一些非加探索不能发现其内在练习的题，采用一题多解与一题多变的教学形式，有助于启发学生分析思考，逐步把学生引入胜境，从而使学生