第二次课课件第二章数学模型

1、控制工程基础(第二章)精仪系李冬梅第二章控制系统的动态数学模型、系统数学模型的基本概念一、控制系统的运动微分方程二、非线性系统数学模型的线性化三、拉氏变换和拉氏反变换四、传递函数以及典型环节的传递函数五、系统函数方框图和信号流图 六、控制系统传递函数推导举例 七、系统数学模型的MATLAB实现八、小结第二章控制系统的动态数学模型本章要熟悉下列内容：¾建立基本环节(质量-弹簧-阻尼系统、电路网络和电机)的数学模型及模型的线性化重要的分析工具：拉氏变换及反变换经典控制理论的数学基础：传递函数控制系统的图形表示：方块图及信号流图建立实际机电系统的传递函数及方块图系统数学模型的MATLAB实

2、现¾¾¾¾¾第二章控制系统的动态数学模型建立控制系统的数学模型，并在此基础上对控制系统进行分析、综合，是机电控制工程的基本方法。如果将物理系统在信号传递过程中的动态特性用数学表达式描述出来，就得到了组成物理系统的数学模型。经典控制理论采用的数学模型主要以传递函数为基础。而现代控制理论采用的数学模型主要以状态空间方程为基础。而以物理定律及实验规律为依据的微分方程又是最基本的数学模型，是列写传递函数和状态空间方程的基础。第二章控制系统的动态数学模型、数学模型的基本概念l 系统的数学模型数学模型是描述系统输入、输出量以及内部各变量之间关系的数学表统结

3、构及其参数与其性能，它揭示了系的内在关系。静态数学模型：静态条件（变量各阶导数为零）下描述变量之间关系的代数方程。反映系统处于稳态时，系统状态有关属性变量之间关系的数学模型。第二章控制系统的动态数学模型动态数学模型：描述变量各阶导数之间关系的微分方程。描述动态系统瞬态与过渡态特性的模型。也可定义为描述实际系统各物理量随时间演化的数学表达式。动态系统的输出信号不仅取决于而且与它过去的工作状刻的激励信号，关。微分方程或差分方程常用作动态数学模型。对于给定的动态系统，数学模型表达不唯一。工程上常用的数学模型包括：微分方程、传递函数和状态方程。对于线性系统，它们之间是等价的。第二章控制系统的动态数学模

4、型l 建立数学模型的方法Ø 解析法依据系统及元件各变量之间所遵循的物理或化学规律列写出相应的数学关系式，建立模型。¾实验法人为地对系统施加某种测试信号，记录其输出响应，并用适当的数学模型进行逼近。这种方法也称为系统辨识。数学模型应能反映系统内在的本质特征，同时应对模型的简洁性和精确性进行折衷考虑。第二章控制系统的动态数学模型l 数学模型的形式Ø 时间域：微分方程（一阶微分方程组）、差分方程、状态方程Ø 复数域：传递函数、结构Ø 频率域：频率特性第二章控制系统的动态数学模型一、控制系统的运动微分方l 建立数学模型Ø 分析系统工确定系统和

5、一般步原理和信号传递变换的过程，元件的输入、出量；变换过程，依Ø 从输入端开始，按照信号传据各变量遵循的物理学定律，依次列写出各元件、部件的动态微分方程；Ø 消去中间变量，得到描述元件或系统输入、输出变量之间关系的微分方程；Ø 标准化：右端输入，左端输出，导数降幂排列第二章控制系统的动态数学模型机电控制系统的受控对象是机械系统。在机械系统中，有些构件具有较大的惯性和刚度，有些构件则惯性较小、柔度较大们将前一类构在集的弹参数法中，我忽略将其视为质量块，而把后一类构件的惯性忽略而视为量的弹簧。这样受控对象的机械系统可抽象为质量-弹簧-阻尼系统。第二章控制系统的动态数学

6、模型进给传动装置示意图及其等效的力学模型第二章控制系统的动态数学模型组合机床动力滑台示意图及其等效的力学模型第二章控制系统的动态数学模型l 控制系统微分方程的列写Ø 机械系统机械系统中以各种形式出现的物理现象，都可简化为质量、弹簧和阻尼三素：x (t)(t)ü 质量fm(t)参考点d 2dfm (t) = m dt v(t) = m dt 2x(t)第二章控制系统的动态数学模型ü 弹簧x1(t)v1(t)x2(t)v2(t)对于弹簧，各点受力相同，变形量不同。fk(t)fk(kfk (t) = k x1 (t) - x2 (t) = kx(t)tv (t) - v

7、 (t)dtò= k= k12-¥tòv(t)dt-¥第二章控制系统的动态数学模型ü 阻尼v1(t)x1(t)v2(t)x2(t)fD(t)fDDfD (t) = D v1 (t) - v2 (t) =v(t)æödx (t)dx(t)= D-12ç÷èdtdtø= D dx(t)dt第二章控制系统的动态数学模型q 机械平移系统fi(t)fi(t)静止（平衡）工作点作为零点，以消除重力的影响m00ìd 2t) - fk (t) = m dt2xo(t)xo(t)ï

8、fi (t)xo (t)Dfk(t)fD(t)ï fkD(t) = kx (t)íkoïdï fD (t) = Dxo (t)ïîdt机械平移系统及其力学模型第二章控制系统的动态数学模型d 2dyo (t) + D dt yo (t) + kyo (t) = fi (t)mdt 2式中，m、D、k通常均为常数，故机械平移系统可以由二阶常系数微分方程描述。显然，微分方程的系数取决于系统的结构参数，而阶次等于系统中独立储能元件（惯性质量、弹簧）的数量。第二章控制系统的动态数学模型q 弹簧阻尼系统fi(t)0)fi (t) =t) + fk

9、 (t)D dx (t) + kx (t) =kf (t)ooidt系统运动方程为一阶常系数微分方程。弹簧-阻尼系统第二章控制系统的动态数学模型q 机械旋转系统qi(t) 0qo(t) 0JTD(t)Tk(t)k柔性轴粘性液体D齿轮J 旋转体转动惯量；k 扭转刚度系数；D 粘性阻尼系数第二章控制系统的动态数学模型ìïTk (t) = k qi (t) -qo (t)ïïd= Dq (t)dtoíTD (t)ïïd 2qo (t) = Tk (t) - TDïîJ dt 2td 2dqo (t) + D d

10、t qo (t) + kqo (t) = kqi (t)Jdt 2第二章控制系统的动态数学模型Ø 电气系统电气系统三个基本元件：电阻、电容和电感。ü 电阻i(t)Ru(t)u(t) = R × i(t)第二章控制系统的动态数学模型ü 电容i(t)C1u(t) =ò i(t)dt Cu(t)ü 电感i(t)Ldi(t)u(t) = Ldtu(t)第二章控制系统的动态数学模型q R-L-C无源电路网络LRCui(t)uo(t)i(t)R-L-C无源电路网络ìu (t) = Ri(t) + L d i(t) + 1C ò

11、i(t)dtïidti(t)dtí1ïu (t) =C òïîo第二章控制系统的动态数学模型d 2dLCu (t) + RCu (t) + u (t) = u (t)dt 2odtooi一般R、L、C均为常数，上式分方程。二阶常系数微若L=0，系统简化为：RCu (t) + u (t) = u (t)dtooi第二章控制系统的动态数学模型i2(t)q 有源电路网络i1(t)Cu (t)it)-aR+ìua (t) » 0ui (t) = -C duo (t)íRdt( ) » i (t)

12、8;i1t2du(t)= -即：RCou (t)idtuo(第二章控制系统的动态数学模型Ø 电动机T (t ) = KT ia (t )dia (t ) + ee (t ) = R i(t ) + L(t )基尔霍夫定律iaaamdtdq o (t )em (t ) = Ke电磁感应定律dtd 2q (t )odq o (t )T ( )牛顿第二定律t - D= Jdt 2dt第二章控制系统的动态数学模型()t) + ( R D + KK )q (t) = K L Jq(t) + L D + R J qe (t)aoaaaTeoTi为电枢控制式直流电动机的控制系统的动态数学模型。La

13、当电枢电感较小时，通常可忽略计，系统微分方程可简化为Ra Jq (t) + (RK )q (t) = K+ Ke (t)oTeoTi第二章控制系统的动态数学模型Ø 小结ü 物理本质不同的系统，可以有相同的数学模型，从而可以抛开系统的物理属性，用同一方法进行具有普遍意义的分析研究（信息方法） 。ü 从动态性能看，在相同形式的输入作用下，数学模型相同而物理本质不同的系统其输出响应相似。相似系统是控制理论中进行实验模拟的基础。第二章控制系统的动态数学模型ü 通常情况下，元件或系统微分方程的阶次等于元件或系统中所包含的独立储能元（惯性质量、弹性要素、电感、电容等

14、）的个数； 因为系统每增加一个独立储能元，其内部就多一层能量（信息）的交换。ü 系统的动态特性是系统的固有特性，仅取决于系统的结构及其参数，与系统的输入无关。第二章控制系统的动态数学模型Ø 线性系统与非线性系统q 线性系统可以用线性微分方程描述的系统。如果方程的系数为常数，则为线性定常系统；如果方程的系数是时间t的函数，则为线性时变系统；线性是指系统满足叠加原理，即：f ( x1 + x2 ) =f ( x1) + f ( x2 )ü 可加性：ü 齐次性：或：f (a x) = af ( x)f (ax1 + bx2 ) = af (x1) + bf (

15、x2 )第二章控制系统的动态数学模型q 非线性系统用非线性微分方程满足叠加原理。述的系统。非线性系统不实际的系统通常都是非线性的，的工作范围内成立。性只在一定为分析方便，通常在合理的条件下，将非线性系统简化为线性系统处理。第二章控制系统的动态数学模型q 线性系统微分方程的一般形式d n-1dtn-1d ndxo (t) + a1xo (t) +"+ an-1 dt xo (t) + an xo (t)dtnd m-1dtm-1d md=xi (t) + b1xi (t) +"+ bm-1 dt xi (t) + bm xi (t)b0dtm式中，a1，a2，an和b0，b1

16、，bm为由系统结构参数决定的实常数，mn。第二章控制系统的动态数学模型二、非线性数学模型的线性化l 线性化问题的提出Ø 非线性现象：机械系统中的高速阻尼器，阻尼力与速度的平方成反比；齿轮啮合系统由于间隙的存在导致的非线性传输特性；具有铁芯的电感，电流与电压的非线性关系等。Ø 线性化：在一定条件下作某种近似或缩小系统工作范围，将非线性微分方程近似为线性微分方程进行处理。第二章控制系统的动态数学模型Ø 线性化的提出q 线性系统是有条件存在的，只在一定的工作范围内具有线性特性；q 非线性系统的分析和综合常复杂的；q 对于实际系统而言，在一定条件下，采用线性化模型近似代替

17、非线性模型进行处理，能够满足实际需要。第二章控制系统的动态数学模型l 非线性系统数学模型线性化¾泰勒级数展开法函数 y = f(x) 在其平衡点(x0, y0) 附近的泰勒级数展开式为：y = f (x) = f (x ) + df (x)(x - x )00dxx = x01 d 2 f (x)1 d 3 f (x)+2!(x - x0 )+3!(x - x0 )+"23dx2dx3x = x0x = x0第二章控制系统的动态数学模型略去含有高于一次的增量 Dx=x-x0 的项，则：) + df ( x)y =( x - xf ( x)00dxx = x0或：y - y=

18、 Dy = KDx， 其中：K = df ( x)0dxx = x0上式即为非线性系统的线性化模型，称为增量方程。y0 = f (x0)称为系统的静态方程；由于反馈系统不允许出现大的偏差，因此，这种线性化方法对于闭环控制系统具有实际意义。第二章控制系统的动态数学模型增量方程的数学含义就是将参考坐标的原点移到系统或元件的平衡工作点上，对于实际系统就是以正常工作状态为研究系统运动的起始点，这时，系统所有的初始条件均为零。对多变量系统，如：y = f (x1, x2)，同样可采用泰勒级数展开获得线性化的增量方程。第二章控制系统的动态数学模型) + ¶f) + ¶fy =(x -

19、x(x - x) +"f (x, x1020110220¶x1¶x2x1 = x10 x2 = x20x1 = x10 x2 = x20y - y0 = Dy = K1Dx1 + K2Dx2y0 = f (x10, x20)增量方程：静态方程：= ¶f= ¶fK,K其中：12¶x1¶x2x1=x10 x2 =x20x1=x10 x2 =x20第二章控制系统的动态数学模型¾滑动线性化切线法y=f(x)线性化增量方程为：DyDy » Dy' =Dx×tgaDyaAy0Dx切线法是泰勒级数法的

20、特例。0x0非线性关系线性化x第二章控制系统的动态数学模型l 系统线性化微分方程的建立¾步骤q 确定系统组成元件在平态的工作点；近的增量方程；q 列出各组成元件在工作点q 消除中间变量，得到以增量表示的线性化微分方程；第二章控制系统的动态数学模型¾实例：单摆运动线性化解：根据牛顿第二定律：.T (t) - mgl sinq(t) = ml 2 q (t)ioo将非线性项sinqo在 qo = 0 点附近泰勒展开.ml 2 q (t) + mglq(t) = T (t)ooi第二章控制系统的动态数学模型¾实例：阀控液压缸第二章控制系统的动态数学模型=QL0f ( p

21、L0 ,x0 ) + é¶f ( pL ,x)ùQ=× Dxf ( p,xêú x = xLL00¶xëùúû0pL = pL0¶f ( p,x)é+× DpL"êL¶pLëû x = x0pL = pL0DQL = Kq Dx - Kc DpL= é¶f (pL,x)ùf (p,x)éù¶K= -K,Lêúx= xê

22、ëúû x= xqc¶x¶pëû0L0L = pL0ppL = pL0第二章控制系统的动态数学模型液压腔工作腔流动连续性方程为：DQ = A d (Dy)dt液压腔力平衡方程为：d 2 (Dy)d (Dy)DpL A = MDdt 2(Dö d (Dy) =2æKMdy)KD×+Kq (DçA÷ccx)dt 2AKèAødtæö MKD× y(t)+A÷ y(t) = K çccx(t)qAèA&

23、#248;第二章控制系统的动态数学模型线性化方法：假设变量相对于某一工作状态（平衡点）偏差很小。设系统的函数关系为y(t) =f (x(t)简写为y =f (x)。如果系统的工作平衡点为 x, y ，则方程可以在x 点附近台劳展开1 d 2 f (x )df (x ) y =f (x) =f (x ) +(x - x ) +(x - x )+"2dx2dx2如果 x - x 很小，可以忽略其高阶项，因此上述方程可写成增量方程形式Dy = K DxDy = y - y = y - f (x )，Dx = x - x，K = df其中dxx= x第二章控制系统的动态数学模型l 线性化处理

24、的注意事项Ø 线性化方程的系数与平衡工作点的选择有关；Ø 线性化是有条件的，必须注意线性化方程适用的工作范围；Ø 某些典型的本质非线性，如继电器特 性、间隙、死区、摩擦等，由于存在不连续点，不能通过泰勒展开进行线性化，只有当它们对系统影响很小时才能忽略不计，否则只能作为非线性问题处理。第二章控制系统的动态数学模型outout近似特性曲线0in0in真实特性死区性饱和非线性outout0in0in间隙非线性继电器非线性第二章控制系统的动态数学模型三、拉氏变换和拉氏反变换Laplace（拉普拉斯）变换是描述、分析连续、线性、时不变系统的重要工！第二章控制系统的动态数学

25、模型l 拉氏变换的定义设函数 f(t) (t³0) 在任一有限区间上分段连续， 且存在一正实常数s，使得：¥òf (t)e-stdt < ¥0则函数 f(t) 的拉氏变换存在，并定义为：式中：s = s + jw（s，w均为实数）为复变数；¥ò-stedt称为拉普拉斯积分；0第二章控制系统的动态数学模型F(s) 称为函数f(t) 的拉氏变换或象函数，它是一个复变函数；f(t) 称为L为拉氏变换的符号。F(s) 的原函数；拉氏变换可理解为广义单边傅立叶变换。傅氏变换建立了时域和频域间的联系，而拉氏变换建立了时域和复频域间的联系。第

26、二章控制系统的动态数学模型l 几种典型函数的拉氏变换q 单位阶跃函数 1(t)t < 0f(t)11(t) = ì0ít ³ 0î1¥ò- stL1(t) =1(t)edt00t单位阶跃函数= - 1 e-st¥1=ss0第二章控制系统的动态数学模型q 指数函数f (t) = e-atf(t)1（a为常数）¥ò- at- at× e-stdt =Leee0¥ò-( s+a )tdt010t=指数函数s + a第二章控制系统的动态数学模型q 正弦函数与余弦函数¥

27、Lsinwt =Lcoswt =sinwt × eò-stdt0f(t)1f(t)=sinwt¥coswt × eò-stdt00由欧拉公式，有：t(e jw t - e- jw t )1-1f(t)=coswt正弦及余弦函数sin w t =2 jcosw t = 1 (e jwt+ e- jw t )2第二章控制系统的动态数学模型)( 1 2 j¥¥òòLsin wt =wtwt- stdt - stjj从而：eeeedt00æö111=-2 j ç s - jww &#

28、247;s +èø=w+ w2s2同理：第二章控制系统的动态数学模型q 单位脉冲函数 d (t)(t < 0且t > e )(0 < t < e )ì0f(t) 1ed (t) = ïílim 1ïî e ®0ee1eòL d (t) =- st× elimdte ®00e单位脉冲函数0t1(1- e-es )= lime se ®0(1- e-es )¢(es)¢se-e s1-es(1- e) = lim= lim=1由洛必达法

29、则：lime ®0 esse ®0e ®0所以第二章控制系统的动态数学模型q 单位速度函数（斜坡函数）t < 0f (t) = ì0ít ³ 0¥- sttedt0f(t)îtL f (t) =ò1æö1s1 e- st¥- st=-teç÷2èsø01=01单位速度函数ts2第二章控制系统的动态数学模型q 单位加速度函数f(t)t < 0t ³ 0ì0f (t) = ïí1 t2&#

30、239;î2L f (t) =¥ 1 t 2e-stdt =1òs3200t单位加速度函数第二章控制系统的动态数学模型×1(t )q 幂函数 t nu = st¥ò0¥ò01n!L étn ×1(t )ù =tne-stdt =une-udu =ëûsn+1sn+1函数的拉氏变换通常可以由拉氏变换表直接或通过一定的转换得到。第二章控制系统的动态数学模型Ø 拉氏变换积分下限的说明在某些情况下，函数 f(t) 在 t = 0 处有一个脉冲函数。这时必须明确拉氏

31、变换的积分下限是0还是0+，并相应记为L f (t) =¥f (t)e-stdtf (t)e-stdtò0+L f (t)=¥ò0- f (t)+0+f (t)e-stdt= Lò0-+第二章控制系统的动态数学模型l 拉氏变换的主要定理Ø 叠加定理q 齐次性：Laf(t)=aLf(t)，a为常数；q 叠加性：Laf1(t)+bf2(t)=aLf1(t)+bLf2(t)a，b为常数；显然，拉氏变换为线性变换。第二章控制系统的动态数学模型Ø 实微分定理L é df (t) ù = sF (s) - f (0)

32、êëúûdt证明：由于¥e-st¥ é df (t) ù e-st¥ò- òf (t)e-stdt = f (t)dtêú-sdtû -së000f (0) + 1 Lé df (t) ùF (s) =即：êëúûssdt第二章控制系统的动态数学模型所以： Lé df (t) ù = sF (s) - f (0)êë同样有：úû

33、dtìéù2df (t)¢=s F(s) - sf (0) - f (02ïLêúdt2ëûïïí""ïé d nf (t) ùïLêú = snF(s) - sn-1 f (0) - sn-2 f ¢(0) -"- f(n-1) (0)ïîdtnëû,f ¢(0) ，为函数式中，f ¢(0)f(t) 的各阶导数在 t

34、=0 时的值。第二章控制系统的动态数学模型当 f(t) 及其各阶导数在 t = 0 时刻的值均为零时（零初始条件）：第二章控制系统的动态数学模型f(t) 在t=0 处具有间断点时，df(t)/dt 在t=0当f(0+) ¹ f(0)，处将包含一个脉冲函数。故若则：L é df (t) ù = sF (s)(0+ )+ êëúûdtL é df (t) ù = sF (s) - f (0- )- êëúûdt第二章控制系统的动态数学模型Ø 复微分定理Lf(t

35、)=F(s)，则除了F(s)的极点之外，有：F (s) = -Ltf (t)若ddsd 2F (s) =2L tf (t)ds2""d nF (s) =(-(n = 1, 2, 3, ")nn1) L tf (t)dsn第二章控制系统的动态数学模型Ø 积分定理L éò f (t)dt ù = F (s) + f(0) ,f (-1) (t) ò f (t)dtëûssL ò ft= 1 F(s)当初始条件为零时：s若f(0+) ¹ f(0)，则：(-1) (0+ )= F (

36、s) +fL+ ò f (t)dtss(-1) (0- )= F (s) +fL- ò f (t)dtss第二章控制系统的动态数学模型f (t)dt=f (t)dt¥- stLedt证明：òòò0¥-stee-st= ¥0-ò f (t)dtf (t) - s dtò- s= 1 ò f (t)dt1s¥ò+f (t)e-st dts0t = 0f (-1) (0) + F (s)=ss第二章控制系统的动态数学模型同样：éù111sLê

37、ò"ò f (t)dtú =( -1)( - n+1)F (s) +(0) +"+ff(0)n-1êNnssúëûn当初始条件为零时：第二章控制系统的动态数学模型Ø 延迟定理f(t)f(t-t)f(t)t0t函数 f(t-t)设当 t<0 时，f(t)=0，则对任意t ³0，有：第二章控制系统的动态数学模型Ø 衰减定理例：Lsin wt=wswt=L+ w 2+ w 2s2s2sin wt=wLe-atLe-at(s + a)2 + w 2coswt=(s + a)(s

38、 + a)2 + w 2第二章控制系统的动态数学模型Ø 初值定理é df (t) ù = limé df (t) ùe-st dt¥证明：lim Lò0+s®¥+ êëúûêëdtds®¥= limsF (s)(0+ )= 0s®¥即： f (0+ ) = lim sF (s)s®¥初值定理建立了函数 f(t) 在t=0+ 处的初值与函数sF(s)在s趋于无穷远处的值间的关系。第二章控制

39、系统的动态数学模型Ø 终值定理若F(s)的所有极点位于左半 s 平面， 即：lim f (t)存在。则：t®¥终值定理说明 f(t) 稳定值与 sF(s) 在 s=0时的值相同。第二章控制系统的动态数学模型证明： lim Lé df (t) ù = limsF (s) - f (0)êëúûdts®0s®0= lim sF (s) - f (0)s®0éêëùúût) ù e-stdtdf (t)dt

40、65;ò= lim又由于：lim Lûúdt =ës®0s®00éêëùúûdf (t)dt¥ò=f (¥) - f (0)0f (¥) - f (0) = lim sF (s) - f (0)即：s®0f (¥) = lim sF (s)s®0第二章控制系统的动态数学模型Ø 卷积定理其中，f(t)*g(t)表示函数f(t)和的卷积。若 t<0 时， f(t)=g(t)=0，则 f(t表示为

41、：和 g(t) 的卷积可ttòòf (t -t )g(t )dtf (t )g(t -t )dt=f (t)* g(t) 00第二章控制系统的动态数学模型 f (t)* g(t)= f (t)* g(t)e¥-st证明：Ldtò0f (t )g(t -t )dt e-st dt¥t=òò00)dt e-st dt¥¥f (t )g (tòò00t )dt ¥¥g (t -t )edt- stf (òò00¥f (t )e-stG(s)d

42、tò0= F(s)G(s)第二章控制系统的动态数学模型Ø 时间比例尺的改变éæ t öùL ê f ç a ÷ú = aF (as),a = constantèøûë例： Le-t = F (s) =1s + 1Le-t / a = aF (as) =aas +1第二章控制系统的动态数学模型l 拉氏反变换f (t) = L-1F (s) =12pjs + j¥t > 0stF (s)e ds ,òs - j¥L-1为拉氏

43、反变换的符号。这种通过复变函数积分求拉氏反变换的方法比较繁琐，对于有理分式的象函数，可将其化成典型函数象函数叠加的形式，根据拉氏变换反查表，即可写出相应的原函数。第二章控制系统的动态数学模型如果f(t)的拉氏变换F(s)已分解成为下列分量：F(s)=F1(s)+F2(s)+Fn(s)假定F1(s), F2(s), ，Fn(s)的拉氏反变换可以容易地求出，则：L-1F(s) = L-1F1(s)+L-1F2(s)+L-1Fn(s)= f1(t) + f2(t) + + fn(t)第二章控制系统的动态数学模型在控制理论中，通常：+ b sm-1+"+ bs + bb smB(s)F (s

44、) =(n ³ m) 01m-1m + a sn-1+"+ as + aa snA(s)n-101n为了应用上述方法，将F(s)写成下面的形式：+ c sm-1+"+ cs + cc smB(s)F (s) = 01m-10(s + p1)(s + p2 )"(s + pn )A(s)使分母A(s)=0的根，称为F(s)的极点；使分子B(s)=0的根，称为F(s)的零点。此时，即可将F(s)展开成部分分式。第二章控制系统的动态数学模型求解拉氏反变换的部分分式法Ø F(s)只含有不同的实数极点F (s) = B(s) =A1s + p1A2s +

45、 p2Ans + pnAis + pin= åi=1+"+A(s)式中，Ai为常数，称为s = -pi极点处的留数。Ai = F (s) × (s + pi )s=- piL-1F(s) = L-1é nù =nAi于是：- p têå s + p úåi =1Aeiiëi =1i û第二章控制系统的动态数学模型s2 - s + 2的原函数。例：求F (s) =s(s2 - s - 6)s2s2- s + 2- s + 2A1A2A3解：F (s) =s(s2=- s - 6)s(s

46、- 3)(s=+ss - 3s + 2= éùs2- s + 2= - 1A1 = sF (s)ê(s - 3)(s + 2) ús =03ëûs =0éêës- s + 2 ù2= 8A2 = (s - 3)F (s)=úûs =3s =3s(s + 2)15第二章控制系统的动态数学模型éêës- s + 2 ù2= 4A3 = 2)F (s)+=(súûs =-2s =-2s(s - 3)51 + 8 ×

47、;1+ 4 ×即： F (s)15 s - 3s5s(s) = - 1 +38 e3t + 4 e-2t(t ³ 0)f (t)155第二章控制系统的动态数学模型Ø F(s)含有共轭复数极点假设F(s)含有一对共轭复数极点-p1、-p2，其余极点均为各不相同的实数极点，则：A1s + A2(s + p1)(s + p2 )F (s) = B(s) =Ans + pn+"+A(s)p3式中，A1和A2的值由下式求解：= A1s + A2 s =- pF (s)(s + p)(s + p)12s =- p 或s =- p或s =- p1212上式为复数方程，

48、令方程两端实部、虚部分别相等即可确定A1和A2的值。第二章控制系统的动态数学模型注意，此时F(s)仍可分解为下列形式：F (s) = B(s) =A1s + p1A2s + p2Ans + pnAis + pin= å+"+A(s)i=1由于p1、p2为共轭复数，因此共轭复数。A1和A2的也为Ai= F ( s ) × ( s +pi )s = - pi第二章控制系统的动态数学模型s +1例：求 F(s) =的原函数。s(s2 + s +1)s +1A1s + A2A0解：F (s) =+æ3 öæö+ s +1s2s11s

49、ç s + j2÷ç s +- j2÷ø2èøèA0 = sF (s) s=0 = 1(s2 + s +1)F (s)= ( A s + A )1 321 3212s=- j2s=- j2第二章控制系统的动态数学模型ì- 1 ( A+ A ) = 1ï即：íïïî1222ÞA1 = -1,A2= 03 ( A3- A ) = -1222s所以： F (s) = 1 -s= 1 -s+ s +1ss23 ö2æ1 ö2

50、æ+ çè÷øç s + 2 ÷èø2第二章控制系统的动态数学模型s + 112= 1 -s2+3 ö23 ö21 ö2æ1 ö2æææ+ çè÷ø+ çè÷øç s + 2 ÷ç s + 2 ÷èø2èø2s + 13= 1 -s122+23 ö3 

51、6;23 æ1 ö2æ1 ö2ææ+ ç÷ø+ çè÷øç s + 2 ÷ç s + 2 ÷èø2èø2è第二章控制系统的动态数学模型查拉氏变换表得：3 t +13 tf (t) = 1- e-tcose-t22 sin2232 æö23313çèt ÷ø-t= 1-e3cossin22222 sin æ3

52、t + p ö ,2e-t= 1-t ³ 0ç3 ÷23èø第二章控制系统的动态数学模型s +1X (s) =仍为上例：求的原函数。s(s2 + s +1)s + 1a1a2+ a3解：X (s ) =+s(s2 + s + 1)s123123s +s +-j2és + 1æ1=×s +j 3 öù= - 1 +2j 36aê s(s2 + s + 1)÷úç122êëøúû s =- 1 - j 3è22= - 1 - j23a26第二章控制系统的动态数学模型= és +1× sù= 1a