思维特训(七)　建“反比”模型解实际问题

1、.思维特训七建“反比模型解实际问题方法点津 ·通过数学建模解决实际问题，它既符合素质教育提出的“培养学生的应用意识的新要求，同时也有利于培养学生分析问题和解决问题的才能，解这类数学应用题的关键是通过对问题原始形态的分析、联想和抽象，将实际问题转化为一个数学问题，即构建一个相应的数学模型来解决问题典题精练 ·类型一根据给定的关系，建立反比例函数模型此类问题一般题中已明确给出变量间的函数关系，根据给定的关系，用一个变量表示另一个变量，建立等量关系，从而把实际问题转化为数学问题，利用相关数学知识解决问题1水产公司有一种海产品，为寻求适宜的销售价格，进展了一周的试销，通过试销发现这

2、种海产品每天的销售量y千克是销售价格x元/千克的反比例函数，且当销售价格定为120元/千克时，销售量为100千克1求y关于x的函数解析式；2试销后，公司决定把这种海产品的销售价格定为150元/千克，并且每天都按这个价格销售，那么库存的2019千克的海产品预计再用多少天可以全部售出？2一辆汽车匀速通过某段公路，所需时间t单位：h与行驶速度v单位：km/h满足函数关系t，其图象为图7Y1中的一段曲线，端点为A40，1和Bm，0.51求k和m的值；2假设行驶速度不得超过60 km/h，那么汽车通过该路段最少需要多长时间？图7Y13某地上一年度电价为每度0.8元，年用电量为1亿度，本年度方案将电价调至

3、每度0.550.75元之间，经测算，假设电价调至每度x元，那么本年度新增用电量y亿度与x0.4元成反比例又知当x0.65时，y0.8.1求y与x之间的函数解析式；2假设每度电的本钱价为0.3元，电价调至每度0.6元，请你预算一下本年度电力部门的收入是多少收入售价本钱类型二根据题目中的隐性等量关系，建立反比例函数模型此类题需要先根据题意判断出要解决的问题属于哪类实际问题，然后根据不同类型的实际问题比方工程问题、行程问题、销售问题等中蕴含的根本相等关系及题目中提供的条件，找到可以表示应用题全部含义的一个相等关系，根据这个相等关系列出两个变量之间的关系式4某项工程需要沙石料2×106 m3

4、，阳光公司承担了该工程运送沙石料的任务1在这项任务中平均每天的工作量vm3/天与完成任务所需要的时间t天之间具有怎样的函数关系？写出这个函数解析式；2阳光公司方案投入A型卡车200辆，每天一共可以运送沙石料2×104 m3，那么完成全部运送任务需要多少天？假如工作了25天后，由于工程进度的需要，公司准备再投入A型卡车120辆，在保持每辆车每天工作量不变的前提下，是否能提早28天完成任务？5某机床加工一批机器零件，假如每小时加工30个，那么12小时可以完成1设每小时加工x个零件，所需时间为y小时，写出y与x之间的函数解析式，并画出其图象；2假设要在一个工作日8小时内完成，那么每小时要比

5、原来多加工几个零件？6小王骑自行车以15 km/h的平均速度从甲地到乙地用了4 h.1他坐出租车沿原路返回，求出租车的平均速度vkm/h与时间th之间的函数解析式；2假如小王必须在40 min之内赶回甲地，那么返程时的平均速度至少为多少？类型三根据表格或图象中变量之间的规律特点，建立反比例函数模型此类题通过表格或图象的形式给出两个变量之间的关系，应注意运用“由数想形，以形助数的策略，要可以从图表中读出有用的信息，从而建立相应的函数模型7如图7Y2是某一蓄水池的排水速度vm3/h与排完水池中的水所用的时间th之间的函数关系图象1直接写出此函数的解析式和自变量t的取值范围；2假如要6 h排完水池中

6、的水，那么每小时的排水量应该是多少？3假如每小时的排水量是5 m3，那么水池中的水要用多少小时才能排完？图7Y28.某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物试验，首次用于临床人体试验，测得成人服药后血液中药物浓度y微克/毫升与服药时间x时之间的函数关系如图7Y3所示当4x10时，y与x成反比例1根据图象分别求出血液中药物浓度上升和下降阶段y与x之间的函数解析式；2血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间为多少小时？图7Y39某中学组织学生参加社会理论活动，他们参与了某种品牌运动鞋的销售工作，该运动鞋每双的进价为120元，为寻求适宜的销售价格进展了4天的试销，试销情况如下表所示：第1天第2天第

7、3天第4天售价x元/双150200250300销售量y双403024201观察表中数据，x，y满足什么函数关系？恳求出这个函数解析式；2假设商场方案每天的销售利润为3000元，那么其售价应定为多少？10某同学在做电学实验时，当电压一定时，记录下电流yA与电阻x有如下对应关系：y/A12345x/2010541请在平面直角坐标系中通过描点、连线画出图象，观察并求出y与x之间的函数解析式；2当电流是0.5 A时，电阻是多少欧姆？11某化工厂2019年1月的利润为200万元设2019年1月为第1个月，第x个月的利润为y万元由于排污超标，该厂决定从2019年1月底起适当限产，并投入资金进展治污改造，导

8、致月利润明显下降，从1月到5月，y与x成反比例到5月底，治污改造工程顺利完工，从这时起，该厂每月的利润比前一个月增加20万元图象如图7Y4所示1分别求该化工厂治污期间及治污改造工程完工后y与x之间的函数解析式；2治污改造工程完工后经过几个月，该厂月利润才能到达2019年1月的程度？3当月利润少于100万元时为该厂资金紧张期，那么该厂资金紧张期共有几个月？图7Y412.某商场出售一批进价为2元/张的贺卡，在商场营销中发现此商品的部分日销售价x元/张与销售量y张之间有如下关系：x元/张3456y张201512101根据表中的数据在平面直角坐标系中描出实数对x，y的对应点；2猜测并确定y与x之间的函

9、数解析式，并画出图象；3当日销售价为每张10元时，贺卡的日销售量是多少张？4设此贺卡的销售利润为W元，试求出W与x之间的函数解析式，假设物价部门规定此贺卡的日销售价最高不能超过10元/张，试求出当日销售价定为多少时，能使每天获得最大利润13近年来，我国煤矿平安事故频频发生，其中危害最大的是瓦斯，其中含有CO.在一次矿难事件的调查中发现：从零时起，井内空气中CO的浓度到达4 mg/L，此后浓度呈直线增加，在第7小时到达最高值46 mg/L，发生爆炸；爆炸后，空气中的CO浓度成反比例下降如图7Y5，根据题中相关信息答复以下问题：1求爆炸前后空气中CO浓度y与时间x间的函数解析式，并写出相应自变量的

10、取值范围；2当空气中的CO浓度到达34 mg/L时，井下3 km的矿工接到自动报警信号，这时他们至少要以多大的速度撤离才能在爆炸前逃生？3矿工只有在空气中的CO浓度降到4 mg/L及以下时，才能回到矿井开展自救，求矿工至少在爆炸后多少小时才能下井图7Y5详解详析1解：1设y关于x的函数解析式为yk0，把x120，y100代入y，可得100，解得k12019，y关于x的函数解析式为y.2当x150时，y80.2019÷8025天即库存的2019千克的海产品预计再用25天可以全部售出2解：1将40，1代入t，得1，解得k40，所以t与v之间的函数解析式为t.当t0.5时，0.5，解得m8

11、0.所以k40，m80.2令v60，那么t.结合函数图象可知，汽车通过该路段最少需要 h.3解：1y与x0.4成反比例，设yk0把x0.65，y0.8代入y，得0.8，解得k0.2，y，y与x之间的函数解析式为y.2当x0.6时，y1.根据题意，本年度电力部门的收入为0.60.3×1y0.3×20.6亿元答：本年度电力部门的收入是0.6亿元4解：1反比例函数关系，vt>02当v2×104 时，2×104，解得t100，完成全部运送任务需要100天当公司再投入A型卡车120辆时，平均每天的工作量v×2001203.2×104，完成

12、任务所需的总时间t2571.875，10071.87528.125天>28天，能提早28天完成任务5解：1需加工的零件数为30×12360个，故y与x之间的函数解析式为yx0，图象如图2当y8时，x360÷845，453015个假设要在一个工作日8小时内完成，那么每小时要比原来多加工15个零件6解：1设甲、乙两地的路程为s km.由题意，得s15×460，所以v与t之间的函数解析式为vt0240 min h，把t代入v，得v90.即假如小王必须在40 min之内赶回甲地，那么返程时的平均速度至少为90 km/h.7解：1设此函数的解析式为v，点12，4在此函

13、数图象上，4，解得k48，此函数的解析式为v.t表示排水所用的时间，t0.2当t6时，v8，故假如要6 h排完水池中的水，那么每小时的排水量应该是8 m3.3当v5时，5，t9.6.故假如每小时的排水量是5 m3，那么水池中的水要用9.6 h才能排完8解：1当0x4时，设直线的函数解析式为ykx，将4，8代入ykx，得84k，解得k2，故血液中药物浓度上升阶段y与x之间的函数解析式为y2x0x4当4x10时，设反比例函数的解析式为y，将4，8代入y，得8，解得a32，故血液中药物浓度下降阶段y与x之间的函数解析式为y4x102在y2x中，当y4时，42x，解得x2；在y中，当y4时，4，解得x

14、8.826时，血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间为6小时9解：1由表中数据，得xy6000，所以y是x的反比例函数，其函数解析式为y.2由题意，得x120y3000，将y 代入，得x120·3000，解得x240.经检验，x240是原方程的解且符合题意答：假设商场方案每天的销售利润为3000元，那么其售价应定为每双240元10解：1描点画图如下图： 通过观察图象，知y是x的反比例函数设yk0，由表知，当x20时，y1，代入y，得1，解得k20，所以y与x之间的函数解析式是yx>02当y0.5时，有0.5，解得x40.即当电流是0.5 A时，电阻是40 .11解：1当1x

15、5时，设y，把1，200代入y，得k200，即y；因为当x5时，y40，所以当x5时，y4020x520x60.2当y200时，20x60200，解得x13，所以治污改造工程完工后经过1358个月，该厂月利润才能到达2019年1月的程度3对于y，当y100时，x2；对于y20x60，当y100时，x8，所以该厂资金紧张期共有826个月12解：1在平面直角坐标系内描点，如下图2图象如下图根据图象猜测y与x是反比例函数关系，设yk0，把3，20代入y，得k60，所以yx2把4，15，5，12，6，10分别代入y中均成立，所以y与x之间的函数解析式是yx23当x10时，y6，即当日销售价为每张10元时，贺卡的日销售量是6张4Wx2yx2×60x2因为物价部门规定此贺卡的日销售价最高不能超过10元/张，所以当x取10时，W有最大值即当日销售价定为10元/张时，能使每天获得最大利润13解：1爆炸前CO浓度呈直线增加，可设y与x间的函数解析式为yk1xb. 由图象知yk1xb的图象