曲面与空间曲面的总结

1、曲面与空间曲线的总结曲面与空间曲线一.曲面及其方程： 1.曲面方程的一般概念： 定义：若曲面上的点的坐标(x,y,z) 都满足方程F(x,y,z)=0，而满足此方程的点都在曲面上，则称此方程为该曲面的方程，而曲面称为此方程的图形。例1：求与A(2,3,1)和B(4,5,6)等距离的点的运动规迹。解： 设M(x,y,z)为动点的坐标，动点应满足的条件是 |AM|=|BM|由距离公式得整理得此即所求点的规迹方程，为一平面方程。 2.坐标面及与坐标面平行的平面方程： 坐标平面xOy的方程：z=0 过点（a,b,c)且与xOy面平行的平面方程：z=c 坐标面yOz、坐标面zOx以及过（a,b,c)点且

2、分别与之平行的平面方程：x=0; y=0; x=a; y=b 3. 球面方程： 球面的标准方程：以M0(x0,y0,z0)为球心，R为半径 的球面方程为 (x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=R2球面的一般方程： x2+y2+z2+Ax+By+Cz+D=0球面方程的特点：平方项系数相同；没有交叉项。例2：求x2+y2+z2+2x-2y-2=0表示的曲面解：整理得： (x+1)2+(y-1)2+z2=22 故此为一个球心在（-1,1,0)，半径为2的球。4.母线平行于坐标轴的柱面方程： 一般我们将动直线l沿定曲线c平行移动所形成的轨迹称为柱面。其中直线l称为柱面的母线，定曲线c称为柱面

3、的准线。本章中我们只研究母线平行于坐标轴的柱面方程。此时有以下结论： 若柱面的母线平行于z轴，准线c是xOy面上的一条曲线，其方程为F(x,y)=0，则该柱面的方程为F(x,y)=0; 同理，G(x,z)=0,H(y,z)=0在空间中分别表示母线平行于y轴和x轴的柱面。 分析：母线平行于坐标轴的柱面的特点为：平行于某轴，则在其方程中无此坐标项。其几何意义为：无论z取何值，只要满足F(x,y)=0，则总在柱面上。圆柱面几种常见柱面：x+y=a 平面；椭圆柱面；双曲柱面；抛物柱面。以上所举例均为母线平行于z轴的情况，其他情况类似。 4.旋转曲面： 一般情况下我们将一平面曲线c绕同一平面内的定直线l

4、旋转一周所成的曲面称为旋转曲面。其中c称为母线，l称为其轴。本章中我们只研究绕坐标轴放置的曲面。此时有以下结论： 设yOz平面上有一已知曲线c 其方程为f(y,z)=0，将c绕 z轴旋转一周，所得到的以z轴 为轴的放置曲面的方程为： 同理，曲线c绕y轴旋转所得曲面方程为：同理,以xOy面上曲线f(x,y)=0为母线绕x轴得曲面绕y轴为 以xOz面上曲线f(x,z)=0为母线绕x轴得曲面 例3 求顶点在原点，旋转轴为z轴，半顶角为a的圆锥面方程。解：将yOz面上的直线z=yctg a绕z轴旋转一周即得圆锥曲面整理后得：其中a=ctga二.空间曲线及其方程： 1.空间曲线的一般方程： 空间曲线一般

5、可看作两个曲面的交线，若两个曲面的方程分别为F(x,y,z)=0和G(x,y,z)=0，则易知其交线c的方程为称此方程组为曲线c的一般方程。表示怎样的曲线？例4：方程组解：平面z=2上以(0,0,2)为圆心的单位圆。例 方程 表示怎样曲线 解： 表示中心在原点，半径为1的上半球面 表示母线平行于Z 轴，准线在xoy面上它们的交线是xoy面上的一个圆，半径为1的圆柱面 其圆心在 ，半径为 2.空间曲线的参数方程：设空间曲线方程如果选定一个适当的函数 x=x（x）代入上述方程组如果选定一个适当的函数 x=x（x）代入上述方程组称为空间中曲线的参数方程。例 如果空间一点M在圆柱面 x2 +y2 =a

6、2 上以等角速度绕z周旋转，同时，以等速度v沿平行于Z轴的正方向移动，则点M运动的轨迹叫螺旋线，求其参数方程 螺旋线有一个重要性质，当 从 变到 时，Z由 变到 这说明当 转过角 时， 点沿螺旋线升了高度 ，即上升的高度与 转过角度成正比。三.空间曲线在坐标面上的投影：在该方程组中消去z得H(x,y)=0，此为一个通过曲线L母线平行于z轴的柱面，称为曲线c关于xOy面的投影柱面。此投影柱面与xOy平面的交线即为c在xOy平面上的投影曲线，简称投影，其方程为同理可得L在yOz面及xOz面上投影方程为 和例 求曲线L： 在三个坐标面上的投影曲线投影曲线方程解 消去Z得1-y2=3x2+y2 投影柱

7、面方程为3x2+2y2=1消去y得3x2+1-2Z=0 投影曲线方程 投影柱面方程为3x2-2Z-1=0消去x得Z=1-y2投影柱面方程为Z=1-y2投影曲线方程例 两个柱面 和 的交线是一条空间曲线在xOy面上的投影方程。例5：求曲线 解：上式减下式得z=1-y，代回上式得投影柱面方程为从而曲线在xOy面上的投影方程为 二、旋转曲面 以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面, 这条定直线叫做旋转曲面的轴. 设在yO z 坐标面上有一已知曲线C, 它的方程为f (y, z) =0, 把这曲线绕z轴旋转一周, 就得到一个以z轴为轴的旋转曲面. 它的方程可以求得如下: 设M

8、(x, y, z)为曲面上任一点, 它是曲线C上点M1(0, y1, z1)绕z轴旋转而得到的. 因此有如下关系等式, , , 从而得 , 这就是所求旋转曲面的方程. 在曲线C的方程f(y, z)=0中将y改成, 便得曲线C绕z 轴旋转所成的旋转曲面的方程. 同理, 曲线C绕y 轴旋转所成的旋转曲面的方程为. 例4 直线L绕另一条与L相交的直线旋转一周, 所得旋转曲面叫做圆锥面. 两直线的交点叫做圆锥面的顶点, 两直线的夹角a ()叫做圆锥面的半顶角. 试建立顶点在坐标原点O, 旋转轴为z轴, 半顶角为a的圆锥面的方程. 解 在yO z 坐标面内, 直线L的方程为 z=ycot a , 将方程

9、z=ycota 中的y改成, 就得到所要求的圆锥面的方程 , 或 z2=a2 (x2+y2), 其中a=cot a . 例5. 将zOx坐标面上的双曲线分别绕x轴和z轴旋转一周, 求所生成的旋转曲面的方程. 解 绕x轴旋转所在的旋转曲面的方程为; 绕z轴旋转所在的旋转曲面的方程为. 这两种曲面分别叫做双叶旋转双曲面和单叶旋转双曲面. 三、柱面 例6 方程x2+y2=R2表示怎样的曲面？ 解 方程x2+y2=R2在xOy 面上表示圆心在原点O、半径为R的圆. 在空间直角坐标系中, 这方程不含竖坐标z, 即不论空间点的竖坐标z怎样, 只要它的横坐标x和纵坐标y能满足这方程, 那么这些点就在这曲面上

10、. 也就是说, 过xOy 面上的圆x2+y2=R2, 且平行于z轴的直线一定在x2+y2=R2表示的曲面上. 所以这个曲面可以看成是由平行于z轴的直线l 沿xOy 面上的圆x2+y2=R2移动而形成的. 这曲面叫做圆柱面, xOy 面上的圆x2+y2=R2叫做它的准线, 这平行于z轴的直线l 叫做它的母线. 例6 方程x2+y2=R2表示怎样的曲面？ 解 在空间直角坐标系中, 过xOy 面上的圆x2+y2=R2作平行于z轴的直线l , 则直线l上的点都满足方程x2+y2=R2, 因此直线l一定在x2+y2=R2表示的曲面上. 所以这个曲面可以看成是由平行于z轴的直线l 沿xOy 面上的圆x2+

11、y2=R2移动而形成的. 这曲面叫做圆柱面, xOy 面上的圆x2+y2=R2叫做它的准线, 这平行于z轴的直线l 叫做它的母线. 柱面: 平行于定直线并沿定曲线C移动的直线L形成的轨迹叫做柱面, 定曲线C叫做柱面的准线, 动直线L叫做柱面的母线. 上面我们看到, 不含z的方程x2+y2=R2在空间直角坐标系中表示圆柱面, 它的母线平行于z轴, 它的准线是xOy 面上的圆x2+y2=R2. 一般地, 只含x、y而缺z的方程F(x, y)=0, 在空间直角坐标系中表示母线平行于z 轴的柱面, 其准线是xOy 面上的曲线C: F(x, y)=0. 例如, 方程y2=2x表示母线平行于z轴的柱面,

12、它的准线是xOy 面上的抛物线y2 =2x, 该柱面叫做抛物柱面. 又如, 方程 x-y=0表示母线平行于z轴的柱面, 其准线是xOy 面的直线 x-y=0, 所以它是过z 轴的平面. 类似地, 只含x、z而缺y的方程G(x, z)=0和只含y、z而缺x的方程H(y, z)=0分别表示母线平行于y轴和x轴的柱面. 例如, 方程 x-z=0表示母线平行于y轴的柱面, 其准线是zOx 面上的直线 x-z=0. 所以它是过y轴的平面. 四 二次曲面通过截痕法，了解二次曲面的全貌1.椭球面与三个坐标面的交线均为椭圆若a=b,则 旋转椭球面2 单叶双曲面 数Z=h 截,截痕为一椭圆。x=h ，或y=h截

13、,截痕为一双曲线。 时，曲线为双曲线，实轴平行与x轴，虚轴平行与z轴，当由零增大到b时，曲线的两半轴缩小至零。2）当 时，截痕为一对直线3）当 时，曲线仍为双曲线，但实轴平行于z轴，虚轴平行与x轴，当 由 b增大时，曲线的两半轴也增大。 同样用平行于yoz的平面相截时截痕也是双曲线，可用同样的方法讨论。当a=b时，方程变为3 双叶双曲面双叶双曲面对称于坐标原点及三个坐标面Z=h截，截痕为当 时无截痕，当 时是两点（0，0， ）当 时为椭圆当x=h，或y=h截，截痕为双曲线4 椭圆抛物面5 双叶抛物面6 二次锥面其次还有双曲抛物面. 由方程所表示的曲面称为双曲抛物面. 双曲抛物面又称马鞍面. 用

14、平面x=t截此曲面, 所得截痕l为平面x=t上的抛物线 , 此抛物线开口朝下, 其项点坐标为. 当t变化时, l的形状不变, 位置只作平移, 而l的项点的轨迹L为平面y=0上的抛物线 . 因此, 以l为母线, L为准线, 母线l的项点在准线L上滑动, 且母线作平行移动, 这样得到的曲面便是双曲抛物面. 还有三种二次曲面是以三种二次曲线为准线的柱面: , , , 依次称为椭圆柱面、双曲柱面、抛物柱面. 一、空间直线的一般方程 空间直线L可以看作是两个平面P1和P2的交线. 如果两个相交平面P1和P2的方程分别为A1x+B1y+C1z+D1=0和A2x+B2y+C2z+D2=0, 那么直线L上的任

15、一点的坐标应同时满足这两个平面的方程, 即应满足方程组. (1) 反过来, 如果点M不在直线L上, 那么它不可能同时在平面P1和P2上, 所以它的坐标不满足方程组(1). 因此, 直线L可以用方程组(1)来表示. 方程组(1)叫做空间直线的一般方程. 设直线L是平面P1与平面P2的交线, 平面的方程分别为A1x+B1y+C1z+D1=0和A2x+B2y+C2z+D2=0, 那么点M在直线L上当且仅当它同时在这两个平面上, 当且仅当它的坐标同时满足这两个平面方程, 即满足方程组 . 因此, 直线L可以用上述方程组来表示. 上述方程组叫做空间直线的一般方程. 通过空间一直线L的平面有无限多个, 只

16、要在这无限多个平面中任意选取两个, 把它们的方程联立起来, 所得的方程组就表示空间直线L. 二、空间直线的对称式方程与参数方程 方向向量: 如果一个非零向量平行于一条已知直线, 这个向量就叫做这条直线的方向向量. 容易知道, 直线上任一向量都平行于该直线的方向向量. 确定直线的条件: 当直线L上一点M 0(x0, y0, x0)和它的一方向向量s = (m, n, p)为已知时, 直线L的位置就完全确定了. 直线方程的确定: 已知直线L通过点M0(x0, y0, x0), 且直线的方向向量为s = (m, n, p), 求直线L的方程. 设M (x, y, z)在直线L上的任一点, 那么 (x

17、-x0, y-y0, z-z0)/s , 从而有 . 这就是直线L的方程, 叫做直线的对称式方程或点向式方程. 注: 当m, n, p中有一个为零, 例如m=0, 而n, p¹0时, 这方程组应理解为 ; 当m, n, p中有两个为零, 例如m=n=0, 而p¹0时, 这方程组应理解为 . 直线的任一方向向量s的坐标m、n、p叫做这直线的一组方向数, 而向量s的方向余弦叫做该直线的方向余弦. 由直线的对称式方程容易导出直线的参数方程. 设, 得方程组 . 此方程组就是直线的参数方程. 例1 用对称式方程及参数方程表示直线. 解 先求直线上的一点. 取x=1, 有 . 解此方

18、程组, 得y=-2, z=0, 即(1, -2, 0)就是直线上的一点. 再求这直线的方向向量s. 以平面x+y+z=-1和2x-y+3z=4的法线向量的向量积作为直线的方向向量s : s=(i+j+k)´(2i-j+3k)4i-j-3k. 因此, 所给直线的对称式方程为 . 令, 得所给直线的参数方程为 . 提示: 当x=1时, 有, 此方程组的解为y=-2, z=0. . 令, 有x=1+4t, y=-2-t, z=-3t . 三、两直线的夹角 两直线的方向向量的夹角( 通常指锐角)叫做两直线的夹角. 设直线L1和L2的方向向量分别为s1=(m1, n1, p1)和s2=(m2,

19、 n2, p2), 那么L1和L2的夹角j就是和两者中的锐角, 因此. 根据两向量的夹角的余弦公式, 直线L1和L2的夹角j可由来确定. 从两向量垂直、平行的充分必要条件立即推得下列结论: 设有两直线L1:, L2:, 则 L 1L 2Ûm1m2+n1n2+p1p2=0; L1 / L2Û. 例2 求直线L1:和L2:的夹角. 解 两直线的方向向量分别为s1 = (1, -4, 1)和s2 = (2, -2, -1). 设两直线的夹角为j , 则 , 所以. 四、直线与平面的夹角 当直线与平面不垂直时, 直线和它在平面上的投影直线的夹角j称为直线与平面的夹角, 当直线与平面

20、垂直时, 规定直线与平面的夹角为. 设直线的方向向量s=(m, n, p), 平面的法线向量为n=(A, B, C), 直线与平面的夹角为j , 那么, 因此. 按两向量夹角余弦的坐标表示式, 有. 因为直线与平面垂直相当于直线的方向向量与平面的法线向量平行, 所以, 直线与平面垂直相当于 . 因为直线与平面平行或直线在平面上相当于直线的方向向量与平面的法线向量垂直, 所以, 直线与平面平行或直线在平面上相当于 Am+Bn+Cp=0. 设直线L的方向向量为(m, n, p), 平面P的法线向量为(A, B, C) , 则 LP Û L/ / P Û Am+Bn+Cp=0.

21、例3 求过点(1, -2, 4)且与平面2x-3y+z-4=0垂直的直线的方程. 解 平面的法线向量(2, -3, 1)可以作为所求直线的方向向量. 由此可得所求直线的方程为 . 五、杂例 例4 求与两平面 x-4z=3和2x-y-5z=1的交线平行且过点(-3, 2, 5)的直线的方程. 解 平面x-4z=3和2x-y-5z=1的交线的方向向量就是所求直线的方向向量s , 因为 , 所以所求直线的方程为 . 例5 求直线与平面2x+y+z-6=0的交点. 解 所给直线的参数方程为 x=2+t, y=3+t, z=4+2t, 代入平面方程中, 得 2(2+t)+(3+t)+(4+2t)-6=0

22、. 解上列方程, 得t=-1. 将t=-1代入直线的参数方程, 得所求交点的坐标为 x=1, y=2, z=2. 例6 求过点(2, 1, 3)且与直线垂直相交的直线的方程. 解 过点(2, 1, 3)与直线垂直的平面为 3(x-2)+2(y-1)-(z-3)=0, 即3x+2y-z=5. 直线与平面3x+2y-z=5的交点坐标为. 以点(2, 1, 3)为起点, 以点为终点的向量为 . 所求直线的方程为 . 例6¢ 求过点(2, 1, 2)且与直线垂直相交的直线的方程. 解 过已知点与已知直线相垂直的平面的方程为 (x-2)+(y-1)+2(z-2)=0, 即x+y+2z=7. 此平面与已知直线的交点为(1, 2, 2). 所求直线的方向向量为 s=(1, 2, 2)-(2, 1, 2)=(-1, 1, 0), 所求直线的方程