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文档简介
1、专转本专题知识点-无穷级数数项级数定义1 设给定一个数列则和式 (11.1)称为数项级数,简称为级数,简记为,即=其中,第项称为级数的一般项或者通项。式(11.1)的前项和称为式(11.1)的前项部分和。当依次取1,2,3,.时,部分和构成一个新的数列,数列也称为部分和数列定义2 若级数的部分和数列有极限S ,则称级数收敛,称S是级数的和,即 如果部分和数列没有极限,则称为级数发散数项级数的性质(1) 若级数和级数都收敛,它们的和分别为和,则级数也收敛,且其和为(2) 若级数收敛,且其和为S,则它的每一项都乘以一个不为零的常数k,所得到的级数也收敛,且其和为kS(3) 在一个级数前面加上(或去
2、掉)有限项,级数的敛散性不变(4) 若级数收敛,则将这个级数的项任意加括号后,所成的级数也收敛,且与原级数有相同的和(5) (级数收敛的必要条件)若级数收敛,则综上所述,几何级数的敛散性 调和级数的敛散性 发散数项级数的敛散性研究对象:正项级数、交错级数、任意项级数1 正项级数正项级数:若级数=满足条件,则称此级数为正项级数定理1 正项级数收敛的充要条件是其部分和数列有界定理2 (比较判别法)若级数和级数为两个正项级数,且,那么:(1) 若级数收敛时,级数也收敛(2) 若级数发散时,级数也发散那么的敛散性是定理3(达朗贝尔比值判别法)若正项级数()满足条件 则(1) 当时,级数收敛(2) 当时
3、,级数发撒(3) 当时,无法判断此级数的敛散性2 交错级数级数()称为交错级数定理4(莱布尼兹判别法)若交错级数()满足下列条件(1)(2)则交错级数收敛,其和其余项的绝对值3 绝对收敛和条件收敛若级数的各项为任意实数,则称级数为任意项级数定义 如果任意项级数的各项绝对值组成的级数收敛,则称级数绝对收敛;如果发散,而收敛,则称级数条件收敛定理5 如果级数绝对收敛,则级数必收敛定理6 如果任意项级数满足条件 (1)当时,级数绝对收敛(2)当时,级数发撒幂级数定义1 如果是定义在某个区间I上的函数,则称函数 (11.4)为区间I上的函数项级数定义2 形如(11.5)的级数称为的幂级数,其中均为常数
4、,称为幂级数的系数。当时,级数(11.6)称为x的幂级数定义 3 对于形如式(11.6)的幂级数若设,则 根据任意项级数判别法可知:(1) 当时,若,即,式(11.6)绝对收敛若,即,式(11.6)发散若,即,则比值判别法失效,式(11.6)可能收敛也可能发散(2) 当,由于,式(11.6)对任何x都收敛称为幂级数式(11.6)的收敛半径定理1 如果幂级数 的系数满足条件,则(1) 当时,(2) 当时,(3) 当时,幂级数的性质设幂级数与的收敛半径分别是与(与均不为0),它们的和函数分别为与1. (加法与减法运算) 所得的幂级数仍收敛,且收敛半径是与中较小的一个2. (乘法运算)两幂级数相乘所得的幂级数仍收敛,且收敛半径是与中较小的一个3. (微分运算)若幂级数的收敛半径R,则在(-R,R)内和函数S(x)可导,且有 且求导后所得的幂级数的收敛半径仍为R4. (积分运算)若幂级数的收敛半径R,则和函数S(x)在该区间内可积,且有且求导后所得的幂级数仍收敛,且收敛半径仍为R函数展成
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