曲面论基本方程的性质及其应用投聊大学报

1、曲面基本方程的性质及其应用邢家省，张光照（1.北京航空航天大学数学与系统科学学院，数学、信息与行为教育部重点实验室,北京100191;2.河南经贸职业学院 技术科学系，郑州 450000)摘 要: 考虑曲面的结构方程的推导方法问题.引入了一种从矩阵方程出发整体推导曲面结构方程的方法. 此方法以矩阵乘法运算代替繁杂的张量符号变换, 不仅使推导过程简化, 而且也使推导的整体思路更为清晰.关键词: 曲面的基本方程; 曲面结构方程; 矩阵乘法;高斯曲率中图分类号: O186. 1 文献标识码: A 曲面的基本方程和曲面的结构方程是经典微分几何学的重要内容，已构成完善的理论体系，产生了丰富深刻的结果。文

2、献1-4中都是采用黎曼张量的记号及求和给出推导转换过程的，这种推导可为后继的黎曼几何学做准备，但这种推导演算繁杂，不利于人们理解掌握。文献5中给出了采用矩阵表示及利用矩阵乘法来推导曲面的结构方程的方法，方法直接，简单明了。我们在综合已有结果的基础上，利用矩阵乘法给出推导曲面的结构方程的详细过程，实现文献5，6中的思想，并对文献1-4中的相关结果给出简化的证明方法，由此也能更清楚的看出1-4中推导方向过程的本质所在。1 曲面的基本方程及其中系数的确定 曲面论的基本问题是研究由曲面的第一基本形式和第二基本形式如何确定曲面存在的问题，解决的方法是从曲面的基本方程出发，寻找到了存在可解曲面的充要条件。

3、给出类的正则曲面。按照文献1-8中的符号体系，我们给出如下一系列记号，收稿日期：基金项目：国家自然科学基金资助项目（11171013），北京航空航天大学教改项目基金资助作者简介：邢家省（1964-）男，河南泌阳人,博士，副教授,从事数学教学和科研工作.Email:xjsh .，； ；，命是的逆矩阵；， 。 在曲面上取活动标架。在曲面上的每一点处，可表示为的线性组合，可表示为的线性组合（由于与正交，所以与共面。） 现在我们可以直接令，； （1）， (2)其中，都是待定系数. 将（1），（2）式写成矩阵形式，则有， （3）， （4） 在（4）式两端乘以，则得，于是有，从而， （5）由此，。为确定

4、， 在（1）式的两边与作内积, 即得¸，；在（3）式两端乘以，则得，于是，记，则有， （6） 故有， 在（6）式两端取转置，则有，于是，从而， 。由，可得 ， （7） 称为Christoffel记号, 简称克氏记号, 显然由曲面的第一类基本量完全确定. （1）式称为Gauss公式，（2）式称为Weingarten 公式。 至此我们得到了曲面论的Gauss公式和Weingarten 公式(也称为曲面的运动方程，或称为曲面的基本方程)。由于 ，所以，将代入上式，则得等式 。 2 曲面的基本方程的矩阵表示法将曲面的基本公式写成矩阵形式为， （8）， （9）其中 ， ， ， 。 3 曲面的基

5、本方程中系数之间的关系的矩阵推导方法现在我们利用曲面的基本方程来研究曲面的第一、第二基本形式系数之间的关系.对向量运用二阶连续偏导数可交换次序的法则, 方程组（8），（9）可解的充要条件是。由此，须有，利用（8）式，存在可解曲面的充要条件是， （10）（10）式的左端 ，（10）式的右端，比较左右两端的系数，可得， （11）， （12）再注意到须有，利用（3），（4）式，可得，从而， （13）， （14）容易证明（14）式是自然成立的。事实上，由，知，从而， 于是（14）式成立。现证明（12）式与（13）式是等价的,事实上由，得，利用，得到，由此可知（12）式与（13）式是等价的。4 曲面基本

6、方程的Gauss定理的矩阵推导方法现考察（11）式成立的充要条件。（11）式的右端为， （15）（11）式的左端为， （16）利用，于是， （17） 由（11），（15），（16），（17）式，得， （18）利用，可知（18）式两端都是反对称矩阵，两个反对称矩阵相等，只需矩阵中左上角的元素对应相等。以上给出的推导过程都是可逆的。由此得到曲面方程可解的充要条件的Gauss方程。5 曲面的高斯曲率的计算公式将（15）式代入（11）式，由两矩阵中左上角的元素对应元素相等，得，于是高斯曲率 。进而。事实上， 利用等式，并注意，类似地，故有，结果得证。特别地，当曲面的坐标网是正交曲线网时，利用上面的结果

7、，通过代入计算，可得 。类似地，将（15）式代入（11）式，由两矩阵中右下角的元素对应元素相等，得，于是高斯曲率 。进而 。参考文献1梅向明,黄敬之.微分几何M.第4版.北京:高等教育出版社出版,2008:87-105.2陈维桓.微分几何M.北京:北京大学出版社,2006,193-228.3 彭家贵，陈卿.微分几何M.北京：高等教育出版社，2002,74-85.4苏步青，华宣积，忻元龙.实用微分几何引论M.北京：科学出版社，1986，86-915谢 琳, 安 扬.一个利用矩阵整体推导曲面结构方程的方法J. 辽宁师范大学学报( 自然科学版).2007,30(3)：262-264.6 华罗庚著，王

8、 元校.高等数学引论(第二册)M. 北京: 科学出版社,2009.315-322.7陈维桓.微分几何例题详解和习题汇编M. 北京: 高等教育出版社出版,2010：171-219.8徐冠文.“曲面论的基本定理”教学注记J.徐州师范学院学报(自然科学版). 1989，7（2）：80-86.9曾宪祖. 高斯曲率的一个计算公式的证明J.云南师范大学学报.1991,11(4):52-53.10邢家省.法曲率最值的直接求法J.吉首大学学报（自然科学版）.2012，33（4）：11-15.11邢家省，王拥军.曲面上曲线的测地挠率的计算公式及其应用J.聊城大学学报（自然科学版）.2012,25(3):1-4.

9、The Property of Fundamental Equation of Surface and Its Application Xing Jiasheng ,Zhang Guangzhao(1.Department of Mathematics, LMIB of the Ministry of Education, Beihang University ,Beijing 100191，China;2.The department of  technology science ，Henan Economy & Trade Vocational College ， Zhengzhou 45000，China)Abstract: In this paper, the author introduces a method to deduce the surface structure equation from matrix equations. This method replaces complicated tensormark relation by the matrix fundamental operation, so that th