无穷级数习题解答

1、无穷级数一、 判断下列级数的敛散性，若收敛，求出其和1、解：因为 所以故2、解：因为，所以发散。3、解：因为，所以发散。4、解：注：常用极限及公式： ，二、 用比较判别法判断下列正项级数的敛散性1、解： 因为 而级数 收敛，故收敛。2、解：因为 而级数收敛，故收敛。3、解：因为 而级数收敛，故收敛。4、解：因为 而级数收敛，故收敛。5、，其中、为关于的最高阶系数为正的多项式，且阶分别为和。解：令则 ，且，（1）， ，此时级数发散；（2），此时级数发散；（3）由 知对当 时， 成立 故 当 时 成立当时，由右端不等式可知级数收敛，当时，由左端不等式可知级数发散。综上：时，级数收敛，时，级数发散。

2、简化解法：令则 ，且由 知对当 时，成立 故当时，成立据此不等式，由正项级数的比较定理得与同敛散。故 时，级数收敛，时，级数发散。注：利用下面习题三的结论：直接由可知，与 同敛散。 6、解：由不等式 可知左端不等式说明该级数是正项级数，因收敛，所以右端不等式说明该级数收敛。 注：1. 放缩不等式常用技巧：放大分子缩小分母；：缩小分子放大分母 （放到最大，缩到最小）例：； 。2. 常用不等式 ：3. 常用比较级数：几何级数和级数。三、 若有，则与的敛散性有何关系？ 解：由可知，对 当时，成立 ，即 ，故由该不等式和正项级数的比较判别法可知，与同敛散。注：该结论称为正项级数比较判别法的极限形式。四

3、、 证明：若正项级数发散，则发散，但收敛。证明：反证：假定收敛，令，则 从而，故由上题结论可知收敛，矛盾。又，而级数收敛，故收敛。补充：Cauchy准则 级数收敛的充要条件是： 否定形式 级数发散的充要条件是：及某自然数，使得 五、 设正项级数发散，而，试证明：（1）发散；（2）收敛证明：（1）因，所以 因为，故当充分大时，有，从而所以发散。注: 对的发散性可利用不等式： 级数发散因其部分和序列：发散。（2）由题意知单调递增，且又，而级数 收敛。故 收敛。六、 用比值判别法分析下列正项级数的敛散性1. 解：，故级数收敛。2. 解：，故级数收敛。3. 解：，故级数收敛。4. 解：由于 ，而级数满

4、足，因此它收敛，故原级数收敛。七、 正项级数根式判别法（Cauchy判别法）及其应用定理： 对于正项级数，若，则时，级数收敛；时级数发散；时，此法失效。 例：1. 解：，故级数收敛。2. 解：，故级数收敛。八、 判断下列交错级数的敛散性1. 解：，而为单增函数, 故，又。所以级数收敛。2. 解：，而当时为单减函数, 故，又。所以级数收敛。当时为单减函数证明如下：， ，为单增函数，故因此， 当时，。九、 判定下列级数哪些是绝对收敛，哪些是条件收敛1. 解：，而发散, 故发散。又，以及。所以级数条件收敛。2. 解：，而收敛, 故级数绝对收敛。3. 解：， 故级数绝对收敛。4. 解：，. 故由发散，知发散。而当时，为单减函数, 故，又。所以级数条件收敛。只需证明： 当时，单增 ，故。十、 设收敛，证明：绝对收敛。证明：由不等式及和 的收敛性可知结论成立。类似的题目：设收敛，且，则当时收敛。十一、证明：。 证