常见递推数列通项公式的求法典型例题及习题

1、【典型例题】常见递推数列通项公式的求法典型例题及习题1 an 1 kan ' b 型。(1) k =1 时，an 1 -an =(2) k 1 时，设 an 1 m比较系数：km - m二bER是等比数列,b= an是等差数列，ab n ® -b)二 k(anm)an 4 = kan km-mm =k -1公比为ai丄k -12 a. 1 二 kanf (n)型。(1)k =1 时,an 1 一 an例：已知an满足ai =1解:n -1二 f(n)，an 1_ anan 1 一 ann(n 1) n n 1an 4 an _2%仏 n-3 n-2an 二(a1aa厂厂 3对

2、这（n-1）个式子求和得： an a1f（n）可求和，则可用累加消项的方法。n（n 1）求an的通项公式。n -2 n T十丄n(3) f(n)=qn(q =o, 1)等式两边同时除以an 1 kn 1n 1q 得qann q1+qCn -CnqCn可归为an 1 = kan b型(2) k 式1 时，当 f(n)=an+b则可设 a*屮+A(n+1) + B = k(an + An+B)an .1 = kan (k -1)An (k -1)B - A(k 1) A = aab a丿B=+2L(k1)BA=b解得：k -1 , k 一1 (k1)an An B是以ai A B为首项，k为公比的

3、等比数列n 1an An (a1 A B) k将A、B代入即可.an -(a1 A B) knd - An - B例 3 % 1 = f (n) On 型。(1 )若f (n)是常数时，可归为等比数列。12n -1a1 -anan 4例:已知：3,2n - 1(nanan 1an -2 .a3a22n -1解:an -1an -2an -3a?a一 2n 131an一 a12n 12n 1(2)若f (n)可求积，可用累积约项的方法化简求通项。-2 )求数列an的通项。2n -3 2n -55 3 _32n -1 2n -37 5 2n 1例4an = k m %m +an斗型。考虑函数倒数关

4、系有 an1 =k(an Aanan JCn 二令 an则Cn可归为an 1= kan b 型。= 2an 1求通项公式。练习: 1.已知an满足 al =3 , an 1解：设 an 1 m = 2(an m)a. 1 = 2a. m an 1 1是以4为首项，2为公比为等比数列n 1n 1a*1 = 4 2. a* = 2-12.已知an的首项a =1 , an* = an +2n ( n N * )求通项公式。解：an - an 4 = 2(n - 1)a*a* 2 = 2(n - 2)a3 _ a - 2 2a? - a1 = 2 12an -a1 =212 (n -1)H n -n2

5、.an = n _ n _1na 十=a3.已知an中，n n+2 n且a =2求数列通项公式。 解：2n(n 1)anan 4an_2.a3a2n1n 2 n 3n 42 1an4anman书 a2ain 1 n n-1 n-24 3ana1n(n 1)n(n 1)4.数列an中,an 1解:2n 1 anan 12n1anbnbn- bn<bn/"bn J32* 12n 1bn 1an-an=bn,ai = 2，求an的通项。2n 1bn bn db3_b2 二 £'b2 b122_1一（2鬥bn一 b123bnn .2 -15.已知:解:an2n2n -

6、1An Bn - 2 时,4aan2n -1,求an的通项公式。A(n -1) Ban Jan厂n 2 n 2 21A=221 1AB =1 2 2'A = 4解得:B =6.an -4n ®是以3为首项,12为公比的等比数列an -4n 6= 3(*)心an4n 6【模拟试题】1.已知an中,ai=3，求a2.已知an中,ai=1an3.已知©中,ai=1an-2an2( n 亠 2)求 an。4.已知an中,ai=4an=4亠an(n _ 2) 求 a5.已知an中,ai=1_ 2S2a* =其前n项和Sn与an满足步-1 ( n_2)an(i)求证:sn为等差

7、数列(2)求an的通项公式6.已知在正整数数列an中，前1 2n项和Sn满足S-8(an2)(1 )求证：寺是等差数列1an -30(2)若bn 2，求bn的前n项和的最小【试题答案】1.解：由an 1= an+2，得 an =an二 *2an-an厂2心an J-忙=2n，an 2(1 一 2n)=2-21-2an =2n -2 - a2n 12. 解:由 an = 3an 1 2 得：an 1 = 3(an 1 1)an1 .3an1即an 1是等比数列an 1 二 1)3nJann二(a11) 3n -1=2 3nJ -13. 解:an由 an =2an：2n得 2n 2n J-14.

8、解:an-42 成等差数列，2n 2m (n-1)an=n 2n -2n420 - 2)an 11= r ananan 1- 22(an - 2)2 an - 2( n 丄 1 )1a* 1 - 22 ( n -1)设即Ln12(n-1)1 bn是等差数列an(n-1)1-2 a1 -225.解:Sn_ Sn J.(1)2S：2Sn-1Sn Sn2SanSn=2n -1(2) &2n -16. 解:(1) a14(a1n - 2 时,an整理得:是首项为1，公差为2的等差数列an2)22()22n -12n -1-2-2-124n -8n 35一2)28n 3(n -2)2)22)2(anan4)(an -