抛物线与三角形的面积

1、抛物线与三角形的面积抛物线与三角形面积相结合的问题涉及代数、几何的许多定理、公式，有一定的难度，近年来的中考试题中，经常出现抛物线与三角形面积结合的综合题，以考查学生的综合运用所学知识解决问题的能力。这节课我们共同来探索一下顶点都在抛物线上的三角形面积的求法。1、已知抛物线: (1)求抛物线与坐标轴交点坐标及顶点坐标;(2)画出抛物线的草图; (3)设抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于C点，顶点为D。求：DAB和CAB的面积； 四边形ABCD的面积； ACD的面积(4)求直线AC的解析式；（5）抛物线上有一动点P在直线AC上方，问：是否存在一点P，使PAC的面积最大，若

2、存在，求出PAC的最大面积及P点坐标；若不存在，请说明理由。2、如图，抛物线与x轴交与A(1,0),B(- 3，0)两点， （1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线交y轴与C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由.（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使PBC的面积最大？，若存在，求出点P的坐标及PBC的面积最大值.若没有，请说明理由.练习：1、在ABC中，A90°，AB4，AC3，M是AB上的动点（不与A，B重合），过M点作MNBC交AC于点N以MN为直径作O，并在O内作内接矩形AMPN令A

3、Mx （1）用含x的代数式表示NP的面积S； （2）当x为何值时，O与直线BC相切？ ABCMNP图 1O（3）在动点M的运动过程中，记NP与梯形BCNM重合的面积为y，试求y关于x的函数表达式，并求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？ABCMND图 2OABCMNP图 3O2、如图1，抛物线经过点A(4，0)、B（1，0)、C（0，2）三点（1）求此抛物线的解析式；（2）P是抛物线上的一个动点，过P作PMx轴，垂足为M，是否存在点P，使得以A、P、M为顶点的三角形与OAC相似？若存在，请求出符合条件的 点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在直线AC上方的抛物线是有一点D，使得DCA的面

4、积最大，求出点D的坐标 图13、(2011漳州中考题)如图1，抛物线y=mx2-1lmx+24m(m<0)与x轴交于B、C两点(点B在点C的左侧)，抛物线上另有一点A在第一象限内，且BAC=900 (1)填空：OB=_，）OC=_； (2)连结OA，将OAC沿x轴翻折后得到ODC，当四边形OACD是菱形时，求此时抛物线的解析式； (3)如图2，设垂直于x轴的直线：x=n与(2)中所求的抛物线交于点M，与CD交于点N，若直线沿x轴方向左右平移，且交点M始终位于抛物线上A、C两点之间时，试探究：当n为何值时，四边形AMCN的面积取得最大值，并求出这个最大值。 参考答案（1）解：当x=0时，y

5、=2抛物线与y轴交点坐标为（0，2）当y=0时，解得：抛物线与x轴交点坐标为抛物线的顶点坐标为（3）解：（4）解：设直线AC的解析式为， 直线AC经过，可求得解析式为（5）过P作PE/y轴，交直线AC于点E；设P、E的坐标分别当面积最大时点D坐标为2、解：(1)将A(1，0)，B(3，0)代中得（2分）（3分） 抛物线解析式为： (2)存在 理由如下：由题知A、B两点关于抛物线的对称轴对称 直线BC与的交点即为Q点， 此时AQC周长最小 C的坐标为：(0，3) 直线BC解析式为： Q点坐标即为的解 Q(1，2)（3）答：存在。理由如下：设P点若有最大值，则就最大，当时，最大值最大 当时，点P坐

6、标为练习：1、解：（1）MNBC，AMN=B，ANMC ABCMNP图 1O AMN ABC ，即 ANx 2分 =（04） 3分ABCMND图 2OQ（2）如图2，设直线BC与O相切于点D，连结AO，OD，则AO =OD =MN在RtABC中，BC =5 由（1）知 AMN ABC ，即 ， 5分过M点作MQBC 于Q，则 在RtBMQ与RtBCA中，B是公共角， BMQBCA ， x 当x时，O与直线BC相切7分ABCMNP图 3O（3）随点M的运动，当P点落在直线BC上时，连结AP，则O点为AP的中点 MNBC， AMN=B，AOMAPC AMO ABP AMMB2 故以下分两种情况讨论

7、： 当02时， 当2时， 8分 当24时，设PM，PN分别交BC于E，FABCMNP图 4OEF 四边形AMPN是矩形， PNAM，PNAMx 又 MNBC， 四边形MBFN是平行四边形 FNBM4x 又PEF ACB 9分10分当24时， 当时，满足24， 11分综上所述，当时，值最大，最大值是2 12分2、（1）因为抛物线与x轴交于A(4，0)、B（1，0)两点，设抛物线的解析式为，代入点C的 坐标（0，2），解得所以抛物线的解析式为：（2）设点P的坐标为如图2，当点P在x轴上方时，1x4，如果，那么解得不合题意如果，那么解得点P的坐标为（2，1）如图3，当点P在点A的右侧时，x4，解方程

8、，得此时点P的坐标为解方程，得不合题意如图4，当点P在点B的左侧时，x1，解方程，得此时点P的坐标为解方程，得此时点P与点O重合，不合题意综上所述，符合条件的 点P的坐标为（2，1）或或 图2 图3 图4（3）如图5，过点D作x轴的垂线交AC于E直线AC的解析式为设点D的横坐标为m，那么点D的坐标为，点E的坐标为所以因此当时，DCA的面积最大，此时点D的坐标为（2，1） 图5 图63、解：(1)OB=3，OC=84分 (2)连结AD，交OC于点E 四边形OACD是菱形 ADOC，OE=EC=×8=4 BE=43=1 又BAC=900 ACEBAE AE2=BE·CE=1×4AE=2 6分 点A的坐标为(4，2)7分 把点A的坐标(4，2)代人抛物线y=mx2-llmx+24m，得m=- 抛物线的解析式为y=-x2+x-129分(3) 直线x=n与抛物线交于点M点M的坐标为(n，-n2+n-12)由(2)知，点D的坐标为(4，-2)，由C、D两点坐标求得直线CD的解析式为y=x-4