探索平行四边形存在性问题教师用答案

1、探索平行四边形存在性问题 姓名： 一，构建动场1.在平面直角坐标系中，已知A（0，-1）B（0，2）C（2，0），若以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，则D的坐标为_2.在平面直角坐标系中，已知A（1，1）B（3，3）C（2，5），若以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，则D的坐标为_二自主学习、合作探究活动一:已知三点找第四个点构成平行四边形（知3求1）如图，一次函数y=x+2分别交y轴、x轴于A、B两点，抛物线y=x2+bx+c过A、B两点（1）求这个抛物线的解析式；（2）作垂直x轴的直线x=t，在第一象限交直线AB于M，交这个抛物线于N求当t取何值时，MN有最大值？最大值是

2、多少？（3）在（2）的情况下，以A、M、N、D为顶点作平行四边形，求第四个顶点D的坐标【解答】解：（1）y=+2分别交y轴、x轴于A、B两点，A、B点的坐标为：A（0，2），B（4，0），将x=0，y=2代入y=x2+bx+c得c=2，将x=4，y=0代入y=x2+bx+c得0=16+4b+2，解得b=，抛物线解析式为：y=x2+x+2；（2）如图1，设MN交x轴于点E，则E（t，0），BE=4ttanABO=，ME=BEtanABO=（4t）×=2t又N点在抛物线上，且xN=t，yN=t2+t+2，MN=yNME=t2+t+2（2t）=t2+4t当t=2时，MN有最大值4；（3）由

3、（2）可知，A（0，2），M（2，1），N（2，5）以A、M、N、D为顶点作平行四边形，D点的可能位置有三种情形，如图2所示（i）当D在y轴上时，设D的坐标为（0，a）由AD=MN，得|a2|=4，解得a1=6，a2=2从而D为（0，6）或D（0，2），（ii）当D不在y轴上时，由图可知D3为D1N与D2M的交点，易得D1N的方程为y=x+6，D2M的方程为y=x2，由两方程联立解得D为（4，4）故所求的D点坐标为（0，6），（0，2）或（4，4）小结：三定点，步骤：1，画：（1）连三角形，（2）过每个顶点做对边的平行线，三条平行线的交点即为第四点。2，求：点的平移，（对边平行且相等）针对练习

4、：已知抛物线y=ax2+bx+c（a0）过点A（3，0），B（1，0），C（0，3）三点（1）求抛物线的解析式；（2）若抛物线的顶点为P，求PAC正切值；（3）若以A、P、C、M为顶点的四边形是平行四边形，求点M的坐标【解答】解：（1）由题意得：，解得：，y=x22x+3；（2）y=x22x+3=（x+1）2+4，P（1，4），PA2=PC2+AC2PCA=90°，；（3）直线AC的解析式是：y=x+3，直线AP的解析式是：y=2x+6，直线PC的解析式是：y=x+3，当AC是平行四边形的一条对角线时：PCAM，APCM，利用两直线平行k的值相等，即可得出：直线MC的解析式是：y=2

5、x+3，直线AM的解析式是：y=x3，M（2，1），当PC是平行四边形的一条对角线时：同理可得M（2，7），当AP是平行四边形的一条对角线时：M（4，1），M（2，1）或M（2，7）或M（4，1）活动二:已知两点找两个点构成平行四边形（知2求2）例2：如图，抛物线与x轴交于A（2，0），B（6，0）两点，与y轴交于点C（0，4）（1）求抛物线的解析式；（2）点M是线段AB上的一个动点，过点M作MNBC，交AC于点N，连接CM，当CMN的面积最大时，求点M的坐标；（3）点D（4，k）在（1）中抛物线上，点F为抛物线上一动点，在y轴上是否存在点E，使以A、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形？如果

6、存在，求出所有满足条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x+2）（x6），将点C的坐标代入，求得a=抛物线的解析式为y=x2x4（2）设点M的坐标为（m，0），过点N作NHx轴于点H（如图（1）点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（6，0），AB=8，AM=m+2MNBC，AMNABC=，=，NH=SCMN=SACMSAMN=×AM×COAM×NH=（m+2）（4）=m2+m+3=（m2）2+4当m=2时，SCMN有最大值4此时，点M的坐标为（2，0）（3）点D（4，k）在抛物线y=x2x4上，当x=4时，k=4，D点的

7、坐标是（4，4）如图（2），当AF为平行四边形的边时，AFDE，D（4，4），E（0，4），DE=4E1（6，0），E2（2，0）如图（3）当AF为平行四边形的对角线时，设E（n，0），则平行四边形的对称中心为（，0）E的坐标为（n6，4）把E（ n6，4）代入y=x2x4，得n216n+36=0解得n=8±2E3（82，0），E4（8+2，0）小结：定两点(分两类)（一） 为边：1.画：做平移；（找全）利用求的过程把落下的找到。数形结合与求相结合 2.求：（1）点的平移，对边相等。定长(例2，两定点在x轴上或平行于x轴） (2) 斜向平移： 对定点到对角线的距离相等。（自主探究1：

8、两定点连线为斜线段，） (3) 定长。（自主探究2：两定点在y轴上或平行与y轴，）（二） 为对角线：1画：找中点，另一条对角线旋转寻找所有可能（具体问题具体分析）2求：中心对称，具体问题具体分析（全等问题）针对练习2：如图，抛物线y=ax2+bx+c交x轴于点A（3，0），点B（1，0），交y轴于点E（0，3）点C是点A关于点B的对称点，点F是线段BC的中点，直线l过点F且与y轴平行直线y=x+m过点C，交y轴于D点（1）求抛物线的函数表达式；（2）点K为线段AB上一动点，过点K作x轴的垂线与直线CD交于点H，与抛物线交于点G，求线段HG长度的最大值；（3）在直线l上取点M，在抛物线上取点N，

9、使以点A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形，求点N的坐标【解答】解：（1）设抛物线的函数表达式为y=a（x1）（x+3）抛物线交y轴于点E（0，3），将该点坐标代入上式，得a=1所求函数表达式为y=（x1）（x+3），即y=x2+2x3；（2）点C是点A关于点B的对称点，点A坐标（3，0），点B坐标（1，0），点C坐标（5，0），将点C坐标代入y=x+m，得m=5，直线CD的函数表达式为y=x+5，设K点的坐标为（t，0），则H点的坐标为（t，t+5），G点的坐标为（t，t2+2t3），点K为线段AB上一动点，3t1，HG=（t+5）（t2+2t3）=t23t+8=（t+）2+，31，当t

10、=时，线段HG的长度有最大值；（3）点F是线段BC的中点，点B（1，0），点C（5，0），点F的坐标为（3，0），直线l过点F且与y轴平行，直线l的函数表达式为x=3，点M在直线l上，点N在抛物线上，设点M的坐标为（3，m），点N的坐标为（n，n2+2n3），点A（3，0），点C（5，0），AC=8，分情况讨论：若线段AC是以点A、C，M、N为顶点的平行四边形的边，则需MNAC，且MN=AC=8当点N在点M的左侧时，MN=3n，3n=8，解得n=5，N点的坐标为（5，12），当点N在点M的右侧时，MN=n3，n3=8，解得n=11，N点的坐标为（11，140），若线段AC是以点A、C，M、N为

11、顶点的平行四边形的对角线，由“点C与点A关于点B中心对称”知：点M与点N关于点B中心对称，取点F关于点B的对称点P，则P点坐标为（1，0）过P点作NPx轴，交抛物线于点N，将x=1代入y=x2+2x3，得y=4，过点N作直线NM交直线l于点M，在BPN和BFM中，NBP=MBF，BF=BP，BPN=BFM=90°，BPNBFM，NB=MB，四边形ANCM为平行四边形，坐标（1，4）的点N符合条件，当N的坐标为（5，12），（11，140），（1，4）时，以点A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形针对练习3：如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+2x+3与x轴交于A、B两点，与y

12、轴交于点C，点D是该抛物线的顶点（1）求直线AC的解析式及B、D两点的坐标；（2）点P是x轴上一个动点，过P作直线lAC交抛物线于点Q，试探究：随着P点的运动，在抛物线上是否存在点Q，使以点A、P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由（3）请在直线AC上找一点M，使BDM的周长最小，求出M点的坐标【解答】方法一：解：（1）当y=0时，x2+2x+3=0，解得x1=1，x2=3点A在点B的左侧，A、B的坐标分别为（1，0），（3，0）当x=0时，y=3C点的坐标为（0，3）设直线AC的解析式为y=k1x+b1（k10），则，解得，直线AC

13、的解析式为y=3x+3y=x2+2x+3=（x1）2+4，顶点D的坐标为（1，4） （2）抛物线上有三个这样的点Q，当点Q在Q1位置时，Q1的纵坐标为3，代入抛物线可得点Q1的坐标为（2，3）；当点Q在点Q2位置时，点Q2的纵坐标为3，代入抛物线可得点Q2坐标为（1+，3）；当点Q在Q3位置时，点Q3的纵坐标为3，代入抛物线解析式可得，点Q3的坐标为（1，3）；综上可得满足题意的点Q有三个，分别为：Q1（2，3），Q2（1+，3），Q3（1，3） （3）过点B作BBAC于点F，使BF=BF，则B为点B关于直线AC 的对称点连接BD交直线AC于点M，则点M为所求，过点B作BEx轴于点E1和2都是

14、3的余角，1=2RtAOCRtAFB，由A（1，0），B（3，0），C（0，3）得OA=1，OB=3，OC=3，AC=，AB=4，BF=，BB=2BF=，由1=2可得RtAOCRtBEB，即BE=，BE=，OE=BEOB=3=B点的坐标为（，）设直线BD的解析式为y=k2x+b2（k20），解得，直线BD的解析式为：y=x+，联立BD与AC的直线解析式可得：，解得，M点的坐标为（，）方法二：（1）略（2）略（3）设B点关于直线AC的对称点为B，显然BB被直线AC垂直平分，交点为F由BBAC，KBB×KAC=1，KAC=3，KBB=，设BB直线方程为y=x+b，B（3，0），F（，），

15、点F为BB的中点，FX=，FY=，B（，），D（1，4），M（，），BDM的周长最小时，点M的坐标为（，）综合练习（1）如图，抛物线y=x22x+c的顶点A在直线l：y=x5上（1）求抛物线顶点A的坐标；（2）设抛物线与y轴交于点B，与x轴交于点C、D（C点在D点的左侧），试判断ABD的形状；（3）在直线l上是否存在一点P，使以点P、A、B、D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由【解答】方法一：解：（1）顶点A的横坐标为x=1，且顶点A在y=x5上，当x=1时，y=15=4，A（1，4）（2）ABD是直角三角形将A（1，4）代入y=x22x+c，可得，12+c

16、=4，c=3，y=x22x3，B（0，3）当y=0时，x22x3=0，x1=1，x2=3C（1，0），D（3，0），BD2=OB2+OD2=18，AB2=（43）2+12=2，AD2=（31）2+42=20，BD2+AB2=AD2，ABD=90°，即ABD是直角三角形（3）存在由题意知：直线y=x5交y轴于点E（0，5），交x轴于点F（5，0）OE=OF=5，又OB=OD=3OEF与OBD都是等腰直角三角形BDl，即PABD则构成平行四边形只能是PADB或PABD，如图，过点P作y轴的垂线，过点A作x轴的垂线交过P且平行于x轴的直线于点G设P（x1，x15），则G（1，x15）则PG

17、=|1x1|，AG=|5x14|=|1x1|PA=BD=3由勾股定理得：（1x1）2+（1x1）2=18，x122x18=0，x1=2或4P（2，7）或P（4，1），存在点P（2，7）或P（4，1）使以点A、B、D、P为顶点的四边形是平行四边形方法二：（1）略（2）把A（1，4）代入y=x22x+c，得c=3，y=x22x+3=（x3）（x+1），D（3，0），B（0，3），A（1，4），KBD=1，KAB=1，KBDKAB=1，ABBD，即ABD为直角三角形（3）略2. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过A（1，0），B（3，0），C（0，1）三点（1）求该抛物线的表达式；（2）点Q在y轴

18、上，点P在抛物线上，要使以点Q、P、A、B为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件的点P的坐标【解答】解：（1）设该抛物线的表达式为y=ax2+bx+c根据题意，得：，解之得 ，所求抛物线的表达式为y=x2x1；（2）AB为边时，只要PQAB且PQ=AB=4即可又知点Q在y轴上，点P的横坐标为4或4，这时符合条件的点P有两个，分别记为P1，P2而当x=4时，y=；当x=4时，y=7，此时P1（4，）、P2（4，7）当AB为对角线时，只要线段PQ与线段AB互相平分即可，又知点Q在y轴上，Q点横坐标为0，且线段AB中点的横坐标为1，点P的横坐标为2，这时符合条件的P只有一个记为P3而且当x=2时

19、y=1，此时P3（2，1），综上，满足条件的P为P1（4，）、P2（4，7）、P3（2，1）3.在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（4，0），B（0，4），C（2，0）三点（1）求抛物线的解析式；（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，AMB的面积为S求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y=x上的动点，判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标【解答】解：（1）设此抛物线的函数解析式为：y=ax2+bx+c（a0），将A（4，0），B（0，4），C（2，0）三点代入函数解析式得：解得

20、，所以此函数解析式为：y=；（2）M点的横坐标为m，且点M在这条抛物线上，M点的坐标为：（m，），S=SAOM+SOBMSAOB=×4×（m2m+4）+×4×（m）×4×4=m22m+82m8=m24m，=（m+2）2+4，4m0，当m=2时，S有最大值为：S=4+8=4答：m=2时S有最大值S=4（3）设P（x，x2+x4）当OB为边时，根据平行四边形的性质知PQOB，且PQ=OB，Q的横坐标等于P的横坐标，又直线的解析式为y=x，则Q（x，x）由PQ=OB，得|x（x2+x4）|=4，解得x=0，4，2±2x=0不合题意

21、，舍去如图，当BO为对角线时，知A与P应该重合，OP=4四边形PBQO为平行四边形则BQ=OP=4，Q横坐标为4，代入y=x得出Q为（4，4）由此可得Q（4，4）或（2+2，22）或（22，2+2）或（4，4）4.在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx2的图象与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（1）求这个二次函数的表达式；（2）点P是直线BC下方的抛物线上一动点，是否存在点P，使BCP的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；（3）点M为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点Q，使以B、C、M、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不

22、存在，说明理由【解答】解：（1）二次函数y=ax2+bx2的图象与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点，解得：，这个二次函数的表达式为：y=x2x2；（2）存在如图1，过点P作PEy轴，交BC于点D，交x轴于点E，设直线BC的解析式为：y=kx+b，C（0，2），B（3，0），解得：，直线BC的解析式为：y=x2，设P（x，x2x2），则点D（x，x2），SBCP=SPCD+SPBD=PDOE+PDBE=PD（OE+BE）=PDOB=×x2（x2x2）×3=x2+3x=（x）2+，当x=时，使BCP的面积最大，点P（，）；（3）存在若BC是边，如图2，则BCMQ，BC=MQ，过点M作MHx轴，MQHBOC，MH=OC=2，QM=OB=3，当y=2时，x2x2=2，解得：x=1±，Q1的横坐标为：1+3=2，Q2的横坐标为：13=2，Q1（2，0），Q2（2，0）；若BC为对角线，如图3，则BQCM，BQ=CM，M（2，2），CM=2，BQ=2，OQ=1，Q3（1，0），BC为平行四边形的边时，则BQCM，BQ=CM，M（2，2），CM=2，BQ=2，O