202X_202X学年高中数学第一讲相似三角形的判定及有关性质1.4直角三角形的射影定理课件新人教A版选修4_1

1、-1-四直角三角形的射影定理XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页121.射影(1)点在直线上的正射影:从一点向一直线所引垂线的垂足,叫做这个点在这条直线上的正射影.(2)线段在直线上的正射影:一条线段的两个端点在一条直线上的正射影之间的线段,叫做这条线段在这条直线上的正射影.(3)射影:点和线段的正射影简称为射影.XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页12做一做1如图所示

2、,ADBC,EFBC,垂足分别为点D,E.指出点A,B,C,D,E,F,G和线段AB,AC,AF,FG在直线BC上的射影.解由ADBC,EFBC可知,点A在直线BC上的射影是点D;点B在直线BC上的射影是点B,点C在直线BC上的射影是点C,点D在直线BC上的射影是点D,点E,F,G在直线BC上的射影都是点E;线段AB在直线BC上的射影是DB,线段AC在直线BC上的射影是DC,线段AF在直线BC上的射影是DE,线段FG在直线BC上的射影是点E.XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页122.直角三角形的射影定理(1)直角三角形的射影定理

3、:直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项;两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项.(2)符号表示:如图,CD是RtABC的斜边AB上的高,则AC2=ADAB;BC2=BDAB;CD2=ADDB.XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页12XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页12做一做2如图,在RtABC中,C是直角,CDAB于点D,若AD=4,BD=2,则CD=,AC=,BC=.XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DA

4、YIJIEHUO答疑解惑首页12思考辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“”,错误的画“”.(1)一条线段的射影不可能是点. ()(2)在RtABC中,C是直角,CDAB于点D,则AD2=ACAB. ()(3)如果一个三角形一边上的高是另两边在这条边上的射影的比例中项,那么这个三角形是直角三角形. ()答案(1)(2)(3)XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页探究一探究二探究三思维辨析探究探究一利用射影定理解决计算问题利用射影定理解决计算问题【例1】 如图,D为ABC中BC边上的一点,CAD=B,若AD=6,AB=10

5、,BD=8,求CD的长.分析由条件知ADB=90,即ADBC,进一步可得BAC=90,由射影定理求CD的长.解在ABD中,AD=6,AB=10,BD=8,满足AB2=AD2+BD2,故ADB=90,即ADBC.CAD=B,且C+CAD=90,C+B=90,BAC=90.在RtBAC中,ADBC,由射影定理可知,AD2=BDCD,即XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页探究一探究二探究三思维辨析XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页探究一探究二探究三思维辨析XINZHIDA

6、OXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页探究一探究二探究三思维辨析探究探究二利用射影定理解决证明问题利用射影定理解决证明问题【例2】如图所示,在RtABC中,BAC=90,ADBC于点D,DFAC于点F,DEAB于点E.证明:(1)ABAC=ADBC;(2)AD3=BCBECF.XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页探究一探究二探究三思维辨析XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页探究一探究二探究三思维辨析XINZHIDAOXUE

7、新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页探究一探究二探究三思维辨析变式训练2如图所示,CD垂直平分AB,点E在CD上,DFAC于点F,DGBE于点G,求证:AFAC=BGBE.证明CD垂直平分AB,ACD和BED均为直角三角形,且AD=DB.又DFAC,DGBE,AD2=AFAC,DB2=BGBE,AFAC=BGBE.XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页探究一探究二探究三思维辨析探究探究三利用射影定理解决综合问题利用射影定理解决综合问题【例3】 如图,在ABC中,D,F分别在AC,BC上,且AB

8、AC,AFBC,BD=DC=FC=1,求AC的长.分析由题意可得,ABC是直角三角形,AF为斜边上的高线,CF是直角边AC在斜边上的射影,AC为所求,已知BD=DC=1,即BDC是等腰三角形.因此,可以过点D作DEBC.由于DE,AF均垂直于BC,可以利用比例线段的性质,逐步等价转化求得AC的长.XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页探究一探究二探究三思维辨析XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页探究一探究二探究三思维辨析XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJ

9、IANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页探究一探究二探究三思维辨析XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页探究一探究二探究三思维辨析变式训练3如图所示,AD,BE是ABC的两条高,DFAB,垂足为点F,直线FD交BE于点G,交AC的延长线于点H,求证:DF2=GFHF.XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页探究一探究二探究三思维辨析错用射影定理致误典例若CD是RtABC的斜边AB上的高,AB=25,AC=20,试确定DB和CD的长.错解ACCB,CDAB,由射影定

10、理得AD2=ACAB=2025=500,XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页探究一探究二探究三思维辨析XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页探究一探究二探究三思维辨析XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页探究一探究二探究三思维辨析变式训练在RtACB中,C=90,CDAB于点D.若ACCB=15,则ADDB=.解析由射影定理可得AC2=ADAB,CB2=BDAB,所以AC2CB2=(ADAB)(BDAB)=ADBD=125.答案125XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页123451.一条线段在某条直线上的射影不可能是()A.点B.线段C.直线D.与该线段重合的一条线段解析线段在任何直线上的射影都不可能是直线.答案CXINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页12345XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑