第十章无穷级数

1、第十章 无穷级数 张俊飞 主编第一节 无穷级数的概念（1、2）教学目的：理解无穷级数及其收敛与发散的概念，会用Mathematica判断级数的敛散性。教学重点、难点：无穷级数的概念，利用Mathematica来判断级数的敛散性。教学形式：多媒体教室里的课堂讲授教学时间：90分钟教学过程一、引入新课无穷级数是研究函数的性质、表达函数以及进行数值计算的有力工具。无穷级数的理论丰富，应用也很广泛。通过例1-4的讲解，让学生对级数的概念有所认识。二、新授课第一节 无穷级数的概念1.通过上述例题引出级数的概念：定义设给定数列，把它们各项依次相加得到的表达式 称为常数项无穷级数，简称级数，记为，其中u1叫

2、做级数的首项，第n项un叫做通项，也叫做一般项我们可以从例题1的级数中看出首项为，通项为。那么从例题2-4的级数中的首项为？通项为？定义设给定数列unx，把它们各项依次相加得到的表达式称为函数项无穷级数，简称级数，记为其中u1x叫做级数的首项，第n项叫做通项，也叫做一般项例、例和例是常数项无穷级数，例是函数项无穷级数例是下列函数项无穷级数的一般形式如果股票的每年红利为Dn，市场的贴现利率为 rr>，求股票的价值因为第 n 年的红利的现值为，故股票的内在价值就是无限期红利现值的总和可见，股票的内在价值是通项为Dn1+rn的无穷级数对于无穷级数要研究如下问题：（1）常数项无穷级数是否趋向于某

3、一常数？这个常数是多少？（2）函数项无穷级数是否趋向某一函数？这个函数是多少？（3）如何将某一函数表达成函数项无穷级数？（4）如何将某一常数表达成常数项无穷级数？2、无穷级数的敛散性我们可以通过对无穷级数有限项的和进行研究，观测它的变化趋势，由此来理解无穷级数多项相加的含义如果Sn为级数的前n项部分的和，即Sn=u1+u2+un，简称为部分和，显然当n依次取，时，部分和构成一个新的数列Sn:S1=u1S2=u1+u2Sn=u1+u2+un把数列Sn称为级数的部分和数列。定义3当 n时,如果级数 的部分和数列Sn极限存在，其极限值为，即limnSn=则称级数 收敛，且称为它的和，记作。如果Sn的

4、极限不存在，则称级数 发散，发散的级数没有和当级数收敛时，其部分和Sn与级数的和S近似相等，它们的差SSn称为级数的余项，记为Rn=SSn=un+1+un+2+un+3+例5讨论几何级数（又称为等比级数）n=0aqn=a+aq+aq2+aqn+的敛散性。解如果q，则部分和为Sn=a+aq+aq2+aqn-1=a-qn-q当q<时，limnSn=a1-q，几何级数收敛；当q>时，limnqn=，所以limnn=，几何级数发散；当q=时，Sn=na，所以limnSn=，几何级数发散；当q=-时，这时级数成为a-a+a-a+a-，其部分和为Sn=，当n为偶数时；a，当n为奇数时，所以此时

5、Sn的极限不存在，级数发散。根据以上的讨论，可以得到几何级数的敛散性：当q<时，几何级数= 收敛，且；当q时，几何级数= 发散几何级数是一个重要的级数，记住其敛散性结论对今后的学习会有很大的帮助。例6判定级数 的敛散性解由于 lnn+1n=lnn+-lnn，n=，得到级数的前n项的部分和Sn=ln21+ln32+ln43+lnn+n =ln-ln+ln-ln+ln-ln+lnn+1-lnn=lnn+, 因为limnn=limnlnn+=+，所以，级数发散例7判断级数 的敛散性解该级数的前n项的部分和 =12-13+13-15+15-17+12n-1-12n+1=12-12n+1 因为li

6、mnSn=limn12-12n+1=12，所以级数收敛。（第二节课）3、利用Mathematica来判断级数的敛散性通过以上的例子，我们了解到判断级数的敛散性问题，可以转化为求级数的部分和，以及求部分和的级限问题因此，利用Mathematica软件中的求和语句Sum与求极限语句Limit，就可以方便地判断级数的敛散性Mathematica软件中的求部分和语句Sumxn，n，s，m可以给出和式 xs+xs+1+xm 的计算结果例8利用Mathematica软件判断级数 的敛散性解（1）求级数的部分和In1:=Sum1/(2n-1)(2n+1),n,1,n)Out1=n/1+2n （2）求部分和极

7、限In2=Limitn1+2n，nInfinity Out2=1/2 由于部分和极限存在，所以级数收敛Mathematica软件中的求无限和语句Sumxn，n，s，Infinity可以给出级数xs+xs+1+xm+的计算结果判断级数 的敛散性，只要输入In2:= Sum1/(2n-1)(2n+1),n,1,Infinity)则 Out2=1/2例利用Mathematica软件判断级数的敛散性解 In1:=SumLog(n+1)/n,n,1,Infinity则输出级数发散的提示Sum:"div": "Sum does not converge. MoreMathem

8、atica软件中的求和语句 Sumxn，n，s，Infinity能够用于判断级数的敛散性，并且给出级数的和，有很强的实用性但是，为了进一步学习的需要，我们仍然应该了解级数的一些相关理论三、小结1.级数的概念。 2.级数的敛散性定义。 3.用Mathematica判断级数的敛散性。 有限项求和语句：Sumxn,n,s,m 无限项求和语句：Sumxn,n,s,Infinity四、课堂练习书   习题101 1判断下列级数的收敛性：2判断下列级数的收敛性：五、课外作业：P218 习题10-1 1.（1）（3） 2.（2）（4）第十章 无穷级数第二节 无穷级数的性质与敛散

9、性（3）教学目的：理解无穷级数的性质，会用无穷级数的性质判断级数的敛散性。教学重点、难点：无穷级数的性质，敛散性的判定。教学形式：多媒体教室里的课堂讲授教学时间：45分钟教学过程一、引入新课由无穷级数的敛散性定义可知，级数的收敛问题，实际上就是其部分和数列的收敛问题，因此，我们能够应用数列极限的有关性质来得到级数的一系列重要性质二、新授课1、无穷级数的性质性质如果级数 与级数 分别收敛于、，则级数 也收敛，且有性质如果级数 收敛（发散），k为任一常数且k0，则级数 也收敛（发散），且收敛时有n=1kun=kn=1un.即级数的每一项同乘以一个非零常数，其敛散性不变例判别级数 的敛散性解 显然

10、而几何级数 收敛，由性质得级数也收敛性质在级数的前面加上、去掉或改变有限项，不影响级数的敛散性性质如果级数 收敛于，则对其各项间任意添加括号后所得的级数仍收敛，且其和不变注意当原级数收敛时，任意括号后所得到新级数也收敛，反之则不然如果加括号后的级数收敛，则原来级数未必收敛例如，将发散级数a-a+a-a+-1n-1a+的相邻两项加括号，则a-a+a-a+a-a+=0得到的新级数收敛然而，重新加括号得到的新级数不收敛。性质 （级数收敛的必要条件）若级数 收敛，则极限limnun=0它的逆否命题是：若级数一般项不趋向于零，该级数发散常常利用性质来判断一个级数的发散例判别级数 的敛散性，其中a、b、c

11、、k为常数且k、a.解因为a.，所以limnun并不等于零，所以级数发散需要注意的是，一般项趋向于零的级数不一定收敛例如对于级数 ，满足条件limnun=limnlnn+1n=limnln+1n=，但是在上一节中，我们已经证明它是发散的三、小结性质1-性质5四、课堂练习书   习题102 习题10 - 21选择题： （1）下列命题正确的是（ ）； A若，则级数收敛； B若，则级数收敛； C若级数发散，则； D若级数发散，则必有。 （2）下列命题正确的是（ ）；A若级数 发散，则级数必发散；B若级数收敛，则级数 都收敛；C若级数收敛，发散，则级数必发散；D若级数发散

12、，则级数 都发散。 （3）下列命题正确的是（ ）.A若级数收敛，则级数收敛； B若级数收敛，则；C若级数发散，则级数发散； D若 ，则级数收敛。第十章 无穷级数第三节 正项级数（4、5）教学目的：掌握正项级数的比较判别法，会用比较判别法和柯西判别法判断级数的敛散性。教学重点、难点：比较判别法，根值判别法的应用。教学形式：多媒体教室里的课堂讲授教学时间：90分钟教学过程一、复习无穷级数的性质。二、新授课1、正项级数的定义在研究了级数的基本性质之后，我们将进一步了解不同类型级数的各自特征，本节要讨论一般项大于等于零的特殊级数定义设级数，若unn=1，2，则称级数 为正项级数对于正项级数，由于un，

13、因而Sn+1=Sn+un+1Sn，所以正项级数 的部分和数列Sn必为单调增加数列，即S1S2Sn-1Sn如果部分和数列Sn有界，则由数列极限存在准则知道，单调有界数列必有极限，所以limnSn存在，此时正项级数收敛；反之，若正项级数收敛，即limnSn=S，则数列Sn必有界，由此得到如下定理：定理一 正项级数收敛的充要条件是它的部分和数列Sn有界根据这个充要条件，我们可以建立几个验证正项级数敛散性的判别法定理二 比较判别法，对于正项级数和 ，且unvnn=1，2，成立，（1） 如果级数 收敛，则级数也收敛；（2） 如果级数发散，则级数也发散证明略通俗地说，若一个级数收敛，那么每项都比它小的那个

14、级数肯定也收敛；若一个级数发散，那么每项都比它大的那个级数肯定也发散有时用比较判别法的极限形式更方便，对于正项级数 和 ，若满足limnunvn=l0<l<+则级数 和 有着相同的敛散性。比较差别法需要与一个已知敛散性的级数比较，在实际应用中也可以对级数自身相邻项分析来判断级数的敛散性例 判定调和级数 的敛散性解 =1+12+13+1n+ =1+12+13+14+15+16+17+18+19+116+ +>12+14+14+18+18+18+18+116+116+ +=12+12+12+12+ 即调和级数大于一般项为 的正项级数显然由于一般项为的正项级数是发散的由定理二可得，

15、调和级数也是发散的此外，对于广义调和级数 ，也可以证明当p>1时收敛，p1时发散p>1事实上当有 = =即有上界，又对任意n有，所以，故有界，级数（p>1）是收敛的。例证明：级数 收敛证明因为级数的一般项满足<1n!=××××n<n-而等比级数 是收敛的，根据定理二可得，级数 收敛定理三比值判别法（达朗贝尔判别法），设正项级数 ，如果 ，则（1）当l<1时，级数收敛；（2）当 时，级数发散；（3）当 时，级数可能收敛也可能发散（此时要用其他方法判定）证明略定理四根值判别法（柯西判别法），设正项级数的一般项un的n次根的

16、极限满足limnnun=l则（1）当l<1时，级数收敛；（2）当l>1时，级数发散；（3）当l=1时，级数可能收敛也可能发散（此时要用另的方法判定）证明略（第二节课）2、 利用Mathematica来判断级数的敛散性例判定级数 的敛散性解利用Mathematica软件求极限limnun+1un In1:= Limit(3(n+1)/(n+1)2(n+1)/(3n/(n2n),nInfinityOut1=32 由于极限大于，根据定理三可得，级数发散例判定级数的敛散性解由于 ncosn2nn2n因为cos2n3对于级数，利用Mathematica软件求极限limnun+1unIn1=L

17、imit(n+1)/2(n+1)/(n/2n )，nLnfinity Out1=12 由于极限小于，根据定理三可知，级数 收敛，再根据定理二可得，级数 收敛三、小结1.正项级数的定义2.正项级数敛散性的判别法：（1）比较判别法；（2）比值判别法（达朗贝尔判别法）；（3）根值判别法（柯西判别法）。四、课堂练习书   习题103习题10 31选择题： （1）下列命题正确的是（ ）； A若正项级数，则； B若正项级数，则必收敛； C若正项级数，则必有； D若，则级数必收敛。 （2）下列正项级数收敛的是（ ）.2用比较判别法判定下列级数的收敛性：3用比值判别法判定下列级数

18、的收敛性：4判定下列级数的收敛性：五、课外作业：P224 习题10-32. （1）（3）3. （1）（2）4. （1）（2）第十章 无穷级数第四节 交错级数与任意项级数（6）教学目的：理解交错级数的概念，能判断级数的绝对收敛与条件收敛。教学重点、难点：无穷级数的概念，敛散性的判定。教学形式：多媒体教室里的课堂讲授教学时间：45分钟教学过程一、引入新课本节讨论各项有任意正负号的级数首先讨论一种特殊形式，即正负项相间的级数。二、新授课1、交错级数的定义定义1如果un>n=1，2，则称级数 或 为交错级数交错级数的各项是正负相间的，关于交错级数有以下定理：定理五莱布尼兹判别法，如果交错级数 满

19、足条件（1）unun+1n=1，2，； （2）limnun=， 则交错级数 收敛，且其和u1，用它前n项的部分和Sn作为级数的和的近似值时，误差Sn-Sun+1证明略例判别交错级数 的敛散性解因为un=1n>1n+1=un+1，limnun=limn1n=根据莱布尼兹判别法，交错级数n=1-1n-n收敛2、绝对收敛与条件收敛设有级数= u1+u2+un+，其中un为任意实数，那么该级数叫做任意项级数可见，交错级数是任意项级数的一种特殊形式对任意项级数，我们给每项加上绝对值符号构造一个正项级数，n=1un=u1+u2+u3+un+，任意项级数的敛散性判定涉及绝对收敛与条件收敛定义设有任意项

20、级数 ，如果级数 收敛，则称级数 绝对收敛，级数 发散，而级数 收敛，则称级数 条件收敛由任意项级数各项的绝对值组成的级数是正项级数，因此，一切判别正项级数敛散性的方法，都可以用来判别任意项级数是否绝对收敛定理六如果任意项级数 = u1+u2+un+，满足条件limnun+1un=，则当l<1时级数绝对收敛，当l>1式级数发散例证明级数 绝对收敛证利用Mathematica软件求解limnun+1un In1:=Limit(n+1)!/(n+1)(n+1)/(n!/(nn),nInfinityOut1= 其极限值小于，根据定理，原级数绝对收敛容易理解，绝对收敛的级数必定是收敛的反之

21、不然，当级数 发散时，只能判断 非绝对收敛，而不能判断它必定发散如级数 绝对收敛，为条件收敛例证明级数 绝对收敛，并求其和解利用Mathematica软件求解limnun+1un In1:=Limit(2(n+1)-1)/2n)/(2n-1)/(2(n-1),nInfinityOut1=12 limnun+1un小于，所以级数 绝对收敛利用Mathematica软件求和 In1:=Sum(-1)(n-1)(2n-1)/(2(n-1),n,1,InfinityOut1=29 所以，级数 n=1-n-12n-12n-=29三、小结1.交错级数的定义2.绝对收敛与条件收敛的概念3.交错级数敛散性的判

22、断方法4.用mathematica软件求交错级数的敛散性四、课堂练习书   习题104 习题10 41选择题：（1）对于级数，以下结论正确的是（ ）； A当时级数条件收敛； B当时级数绝对收敛； C当时级数绝对收敛； D当时级数发散。 （2）下列级数条件收敛的是（ ）； （3）下列级数绝对收敛的是（ ）； 五、课外作业：P227： 第2题第十章 无穷级数第五节 幂级数（7、8）教学目的：理解幂级数的有关概念，会求幂级数的收敛半径和收敛区间，理解幂级数的性质并会用性质求和函数。教学重点、难点：幂级数的概念，收敛区间及求法，幂级数性质的应用，能用Mathematica

23、求和函数。教学形式：多媒体教室里的课堂讲授教学时间：90分钟教学过程一、引入新课在前面两书中我们讨论了常数项级数的一些初步理论，现在我们将讨论应用更为广泛的函数项级数。二、新授课1、幂级数的收敛区间定义1形式为a0+a1x-x0+a2x-x02+anx-x0n+的级数，称为x-x0的幂级数，简记作，其中a0，a1，an，均为常数称为幂级数的系数当x0=时，将 级数称为x的幂级数幂级数的敛散性问题可以借用常数项级数敛散性的判别方法，当x具体实数值x0时，幂级数 就成为一个常数级数对于幂级数，取an=1，x=12，得到的常数项级数 收敛；取an=1，x=2，得到的常数项级数 发散可见，不能笼统地判

24、断一个幂级数的敛散性，而应该考虑 x 在哪个范围内幂级数收敛，这就引出了收敛半径和收敛区间两个概念当x=x0时，幂级数 收敛，称点x0为幂级数的收敛点，所有收敛点的集合，称为幂级数 的收敛域；反之，所有发散点的集合，称为发散域定义2如果存一个正数，使得当 x<时，幂级数 绝对收敛；当 x>时，该级数发散；当 x或 x-时，幂级数可能收敛也可能发散正数称为幂级数 的收敛半径有关幂级数的收敛半径存在如下定理：定理设幂级数的系数满足limnun+1un=l（1）如果 ，则收敛半径 ；（2）如果 ，则收敛半径 ；（3）如果 ，则收敛半径 例求级数 的收敛区间，并求和函数解利用Mathema

25、tica软件求limnun+1unIn1:= Limit(1/(n+1)/(1/n),n®InfinityOut1=1所以收敛半径=1当x=1时，级数 为，该级数收敛；当x=-1时，级数为 ，该级数发散所以，级数 收敛区间为(-1，1In2=Sum(-x)n/n，n，1，LnfinityOut2=-Log10，1+x 因此， 例求级数 的收敛区间，并求和函数解利用Mathematica软件求limnun+1unIn=Limit(1/(n!*(n+1) ) )/(1/ (n!)，nLnfinity Out= 所以收敛半径=+，收敛区间为-，+In2=Sumxn/n！，n，1，Lnfin

26、ity Out2=-1+ex 因此， 例 求幂级数 的收敛区间，并求和函数解 我们可以利用比值法（达朗贝判别法）来确定幂级数的收敛问题，首先利用Mathematica软件求limnun+1unIn1=Limit(x(2n+2-1) )/2(n+1) ) )/(x(2n-1)/(2n)，nLnfinity Out1=x2/2 当12x2<1时，即 x<2 时，级数收敛；当x=2时，级数为 ，级数发散；当x=-2时，级数为 ，级数发散；所以幂级数 的收敛区间为2，-2In2=Sumx(2n-1)/2n，n，1，Lnfinity Out2=-x-2+x2 因此，利用通项比求幂级数的收敛区

27、域区域是一个重要的方法，适用于所有幂级数求收敛域的问题（第二节课）2、幂级数的性质在幂级数计算过程中，还具有以下重要性质：性质设两个幂级数=，其收敛半径分别为R，R2，则n=0anxn+n=0bnxn=n=0an±bnxn=fx±g x，其收敛半径R=minR，R2性质设幂级数 =的收敛半径为R，则（1）和函数在内连续；（2）和函数在 内可导，且即幂级数在收敛的开区间上可以逐项求导；（3）和函数在内可积，且0xfxdx=0xn=0anxndx=n=00xanxndx=n=0ann+1xn+1即幂级数在收敛的开区间上可以逐项积分例4求幂级数 的收敛区间及和函数解（1）由lim

28、nan+1an=limnn+2n+1=1，得到收敛半径R=1当x=1时，级数为 ，一般项不趋于，因此它发散；当x=-1时，级数为 ，一般项不趋于，它也发散；所以幂级数 的收敛区间为-1，1（2）用传统方法求和函数设和函数为：Sx=1+2x+3x2+nxn-1+两边由到x积分，得0xSxdx=x+x2+x3+xn+=x1+x+xn-1+ =x1+0xSxdx. 因此， 0xSxdx=x1-x=11-x-1.对两边求导，得Sx=ddx0xStdt=ddx11-x-1=11-x2.所以幂级数的和函数为（3）用Mathematica软件求和函数In1=Sumn(x(n-1)，n，1，Lnfinity

29、Out1=1/(-1+x)2 幂级数 的和函数为比较可见（2）与（3）两种求和方式，传统的求和需要一定的数学技巧，而利用Mathematica软件的强大功能，可以更方便地求解三、小结1幂级数的定义 2幂级数的收敛区间 3幂级数的收敛半径的判断 4用Mathematica求幂级数的收敛半径 四、课堂练习书   习题105习题10 51选择题： （1）若幂级数的收敛半径为，则幂级数的收敛开区间为（ ）； （2）若幂级数在处收敛，则该级数在点处（ ）； A条件收敛 B绝对收敛 C发散 D敛散性不能确定 （3）若幂级数的收敛半径为，则幂级数的收敛开区间为（ ）.2求下列幂

30、级数的收敛域：3求下列幂级数的收敛域与和函数：五、课外作业：P2312. (2)(4)3. (3)(4)第十章 无穷级数第六节 幂级数在函数逼近中的应用（9、10、11）教学目的：理解泰勒公式，泰勒级数以及幂级数在近似计算中的应用。教学重点、难点：泰勒公式，泰勒级数。教学形式：多媒体教室里的课堂讲授教学时间：90分钟教学过程一、引入新课无穷级数是研究函数的性质、表达函数以及进行数值计算的有力工具。无穷级数的理论丰富，应用也很广泛。通过例1-4的讲解，让学生对级数的概念有所认识。二、新授课对于一些较为复杂的计算，为了便于研究，我们往往希望用一些简单的函数来近似表达某函数我们常用多项式来近似表达函

31、数，称为用多项式来逼近函数在微分应用中，我们已经知道，当变量x的绝对值很小时，有如下的近似计算：sinxx，ex1+x，ln1+xx显然，在x=0处，这些多项式及其一阶导数的值，分别等于被近似表达的函数及其导数的相应值但是这种表达式还存在不足之处就是精度不高，对于精度要求较高且需要估计误差的情形，往往须用高次多项式来近似表达函数，同时给出误差公式1、泰勒公式定义1设函数fx在x0的某领域内有直至n+1阶导数，则对此领域内任何一个 x，有+fnx0n!x-x0n+ Rnx，称为泰勒公式，其中Rnx=fn+n+!x-x0n+叫做余项， 在x0与x之间容易验证当n=0时，泰勒公式fx=fx0+fx-

32、x0就是微分的拉格朗日中值定理特别地，取x0=0时泰勒公式称为麦克劳林公式例1写出函数fx=ex的麦克劳林展开式解因为 , , , fn+1x=ex ，fn+1x=ex0<<1当x=0时，得麦克劳林展开式为ex=1+x+x22!+xnn!+Rnx其中，Rnx为余项我们也可以利用Mathematica软件来展开函数，其语句为Seriesfx，x，x0，n其含义是将fx展开到的n次幂对于本例，如果n=6，则In1=SeriesEx，x，0，6 Out1=1+x+ x2/2+x3/6+x4/24+x5/120+x6/720+0x7 其中0x7为余项当n=6，x=1时，可以算出e2.718

33、06，其误差不超过万分之一（第二节课）2、 泰勒级数定义2设函数fx在x0的某领域内具有任意阶导数, , ，则称级数 = +fnx0n!x-x0n+为函数fx在x0的泰勒级数特别地，当取x0=0时，称为 fx的麦克劳林级数泰勒级数是泰勒多项式从有限项到无限项的推广，带来了两个问题：一个是该级数在什么条件下收敛，二是该级数是否收敛于函数fx定理设fx在x0的某领域内有任意阶导数，那么在此领域内，泰勒级数 收敛于fx的充要条件是泰勒公式的余项满足limnRnx=0同样地，麦克劳林级数 收敛于fx的的充要条件是泰勒公式的余项满足limnRnx=0例2将fx=sinx展开成x的幂级数解 （1）先求出f

34、nxn=1，2，分别算出在x=0处的值fn0，fx=sinx，f0=0； fx=sinx+2，f0=1； fx=sinx+2×2，f0=0； fnx=sinx+n×2， fn0=sinn2=0， 当n=2m时； -1m-1当n=2m-1时 （2）写出麦克劳林级数 =x-13!x3+15!x5-+-1m-1x2m-12m-1!+ （3）求级数的收敛半径R或收敛区间余项Rnx=xn+1n+1!sinx+n+12，-1<<1.因为对于-<x<+，有limnRnx=0，所以级数的收敛区间为-<x<+利用麦克劳林公式，不难得出几个常用的初等函数的幂

35、级数展开式：（1） （2） （3）sinx= x-13!x3+15!x5-17!x7+-1n12n-1!x2n-1+= （4）cosx=x-12!x2+14!x4-16!x6+-1n12n!x2n+= （5）ln1+x=x-12x2+13x3-+-1n-11nxn+ = （6）1+xa=1+ax+aa-12!x2+aa-1a-2a-n+12!xn+= （第三节课）3、 幂级数在近似计算中的应用在经济和工程技术领域中，常常涉及近似计算问题，例如在债券理论中，为了研究收益率对价格的影响，往往利用泰勒级数的前两项或前三项来近似计算，并根据近似计算公式研究债券的性质，为复杂的债券投资组合提供依据由函数

36、产生的泰勒级数是函数的精确表达式：只要x适当小，可用级数前几项部分和来作近似计算，这种近似计算还是具有相当精确度的，而且所产生的误差可以由余项 Rnx来估计我们来研究幂级数近似计算在固定收益证券中的应用对于总期限为的付息债券而言，其价格的变化主要取决于收益率y,如果第t年所得的现金流为CFt，它的现值为Pt=CFt1+y，那么债券的理论价格就是各期现金流的现值和Py=CF11+y+CF21+y2+CF31+y3+CFt1+yt+=t=1TCFt1+yt.下面我们来求Py的泰勒级数前三项展开式Py的一阶导数为dPdy=CF11+y2-CF21+y3-CF31+y4-t×CFt1+yt+

37、1- Py的二阶导数为d2Pdy2=2×CF11+y3+2×3×CF21+y4+t×t+1×CFt1+yt+2+ 根据泰勒级数公式，债券价格Py的近似计算公式为PyPy0+dPdyy-y0+12d2Pdy2y-y02将一阶导数和二阶导数代入上式PyPy0-11+yt=1Tt×CFt1+yt×y-y0 +121+y2t=1Ttt+1×CFt1+yt×y-y02或者Py-Py0Py-y-y0Py1+y2t=1Tt×CFt1+yty-y022Pyy-y02tt+1×CFt1+yt令P=Py-

38、Py0，y=y-y0令是债券现金流的加权平均期限，被称为修正的久期，表示不同的现金流支付的时间加权平均，其中的权数是该时间t所支付的现金流CFt的现值占整个现金流P的百分比，修正值为1+y-1经济含义是债券产生的现金流的平均回收期，反映了债券价格对收益率y的弹性，是研究债券特性和进行债券组合的重要指标令C被称为债券的凸性，债券凸性是时间乘积t×t+1的加权修正值，权数是现金流CFt的现值占整个现金流P的百分比，不同于久期的是，其修正值为1+y-2因此，债券价格的近似公式简化为PP-×y+C×y2例3面值为100元的上海世博一期债券期限为7年，每年利息为4元，市场价

39、格为105元求债券的修正久期的凸性，当收益率上升0.01时，世博债券的价格变化解每份债券前六年的现金流为4元，第七年还本付息所得现金流为(4+100)元设债券的收益率为y，则债券的价格P等于现金流的总现值Py=t=1741+yt+1001+y7利用Mathematica软件，首先定义价格方程In1：=py_ =Sum4/(1+y)t ，t，1，7 +100/(1+y)7 Out1=104/(1+y)7 +4/(1+y)6 +4/(1+y)5 +4/(1+y)4 +4/(1+y)3 +4/(1+y)2 +4/(1+y) 当P0=105元时的y0值In2：=Solvepy=105，y/N Out2

40、=y0.031916613114415196 由于收益率y介于0和1之间，所以y0=0.0319求一阶导数和修正久期In3：=Dpy，y/105/y0.0319 Out3=-6.07 求二阶导数和凸性In4：= Dpy，y，y/105/y0.0319 Out4=45.2659因此，债券的近似计算公式为PP-y+C×y2 =-6.0698y+45.25952y2 =-6.0698y+22.6297y2当收益率上升0.01的时候，世博债券的价格变动幅度为PP=-6.0698×0.01+22.6297×0.012=-0.0584.即债券的收益率上升100个基点（0.01），债券的价格大约下降5.84%有关幂级数的近似计算，也可以直接利用Mathematica软件中函数Series的功能，它将按照要求将目标函数展开为泰勒级数的前n次幂项，并用0n+1表示余项例4利用Mathematica软件