相似三角形的应用

1、相似三角形的应用一、知识要点（一）相似三角形的应用主要有如下两个方面1测高（不能直接使用皮尺或刻度尺度量的）；2测距（不能直接测量的两点间的距离）。（二）测高的方法测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例”的原理解决。（三）测距的方法测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下A形与X形两种相似三角形求解。1如图甲所示，通常可先测量图中的“线段”BD、DC、DE的距离（长度），根据相似三角形的性质，求出AB的长.2如图乙所示，可先测AC、DC及DE的长，再根据相似三角形的性质计算AB的长。二、例题解析例1如图，AB、CD相交于点O，且ACBD，则OA·ODOC

2、·OB吗？为什么？解：ACBD，BA，DC.OBDOAC.OA·ODOB·OC.因此OA·ODOC·OB成立例2如图，物AB与其所成像AB平行，孔心O到蜡烛头A的距离是36cm，到蜡烛头的像A的距离是12cm，你知道像长是物长的几分之几吗？你是怎样知道的？解：ABAB，ABO=ABO.又AOB=AOB，AOBAOB，.AO=36cm，AO=12cm，则答：像长与物长之比为例3如图：小明欲测量一座古塔的高度，他站在该塔的影子上前后移动，直到他本身影子的顶端正好与塔的影子的顶端重叠，此时他距离该塔18m，已知小明的身高是1.6m，他的影长是2m(1

3、)图中ABC与ADE是否相似?为什么?(2)求古塔的高度.解：(1) BCAE，DEAE，ACB=AED=90°.A=A，ABCADE.(2)由(1)得ABCADE，.AC=2m，AE=2+18=20m，BC=1.6m，.DE=16m.答：古塔的高度为16m.例4如图，我们想要测量河两岸相对应两点A、B之间的距离(即河宽)，你有什么方法？ 方案1：如上左图，构造全等三角形法。测量CD，得到AB=CD，即得河宽。方案2：如上右图，构造相似三角形。先从B点出发与AB成90°角方向走50m到O处立一标杆，然后方向不变，继续向前走10m到C处，在C处转90°，沿CD方向再

4、走17m到达D处，使得A、O、D在同一条直线上。那么河宽A、B之间的距离便可的。解：ABBC CDBC，ABO=DCO=90°.又AOB=DOC，AOBDOC.BO=50m，CO=10m，CD=17m，AB=85m答：河宽为85m例5已知：如图，阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下1.5m宽的亮区DE。亮区一边到窗下的墙脚距离CE=1.2m，窗口高AB=1.8m，求窗口底边离地面的高BC？分析：作EFDC交AD于F。则，利用边的比例关系求出BC。解：作EFDC交AD于F。因为ADBE，所以.又因为，所以，故 。因为ABEF，ADBE，所以四边形ABEF是平行四边形，所以EF=AB=1

5、.8m。所以m.例6用一个正方形完全盖住边长分别为3厘米、4厘米、5厘米的一个三角形，这个正方形的边长最小是多少？分析：设三边EF、FG、GE分别长3cm，4cm，5cm，则是直角三角形，其中，EG为斜边。显然，边长为4cm的正方形能完全盖住，但不是最小的，可以设想一个完全盖住的正方形ABCD，如图所示，此时正方形的边长解：设，则， 而，于是.即，整理后可解得：.所以要完全盖住的最小正方形边长.三、课后练习1一位同学想利用树影测量树高，他在某一时刻测得长为1m的竹竿影长0.9m，但当他马上测量树影时，因树靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上，如图，他先测得留在墙上的影高1.2m，又测得地面部分的影长2.7m，他求得树高是多少？2.测量河宽AB，先从A处出发，沿河岸走100步到C处，在C处立一根杆标，然后沿AC继续朝前走20步到D处，在D处，转过90°角沿DE方向再走32步，到达E处，并使河对岸的B处（目标物）和C、E同在一直线上，问测得河宽为多少米？（1步约等于0.75m）3一油桶高0.8m，桶内有油，一根木棒长1m，从桶盖小口斜插入桶内，一端到桶底，另一端到小口，抽出木棒，量得棒上浸油部分长0.8m，求桶内油面的高度。练习答