数学心理学学生讲课内容整合

1、数学学习心理学学习提纲第一节 掌握数学知识的基本智力动作 -陈炳如（）一、数学知识掌握的含义1.什么是知识所谓知识，就它反映的内容而言，是客观事物的属性与联系的反映，是客观世界在人脑中的主观映象。就它的反映活动形式而言，有时表现为主体对事物的感性知觉或表象，属于感性知识，有时表现为关于事物的概念或规律，属于理性知识。”2.知识的分类1、陈述性知识是一种个体具有明确的提取线索，因而能够直接陈述的知识，通常包括有关某一具体事件、事实、经验性的概括的断言以及反应真理本质的较深刻的原理等，主要用以说明事物是什么、为什么、怎么样，从而区别和辨别事物。2、程序性知识是一种个体没有明确的提取线索，因而其存在

2、只能借助某种活动形式间接推测出来的知识，通常包括启发式、各种方法、策划、实践、程序、常规、方略、策略、技术和窍门等，用以说明做什么和怎么做。3、过程性知识是伴随着数学活动过程的体验性知识。 过程性知识是一种内隐的、动态的知识。3.什么是数学知识数学知识是指数学的概念、性质、法则、公式、公理、定理以及由其内容反映出来的数学思想和方法。数学知识就是客观事物在数与形方面的特征与联系在人脑中的能动反映。具体地说：1数学知识是个体通过与客观事物在数与形方面的特征和联系的相互作用后获得的信息及组织。 2数学知识不仅表现为数学概念、定理、法则、公式等“陈述性知识”，而且还表现为数学思想方法等“程序性知识”。

3、 3作为人脑对客观事物在数和形方面特征的能动反映，需要个体对反映过程进行主动的调控，而调控的前提是个体具有相应的技能，因此，主体有关对自己的数学学习过程的知识，也就应该成为数学知识的一个有机的组成部分。 二、掌握数学知识的心理机制掌握数学知识的心理机制就是一个掌握数学知识、建构新的认知结构的心理过程。 认知心理学家普遍认为，新知识的获得取决于已有认知结构中的适当观念，新旧知识的相互作用才能产生意义学习，实现新旧知识的同化或顺应，并进而形成分化程度更高的认知结构。从加涅的信息加工理论看掌握数学知识的基本过程：（一）注意的过程 （接受外来信息） （二）短时记忆 短时记忆是指能够进行静止的、心理上的

4、信息重复，以保持信息。 （三）编码 （在头脑中进行复杂的分解、组合等加工转化活动） （四）长时记忆 （概括、并入原有的认知结构中）（五）信息的提取 （分离认知结构，建立新的认知结构） 在这个过程中实际上学生的心理过程经历了：模仿、归纳、检验、概括、并入。数学思想方法学习经历的是先过程、后对象、再过程的认知顺序。数学思想方法学习的这一心理过程,反映了学习者数学思想方法学习心理水平的发展,但在不同阶段,由于学习者的一般数学知识水平不同、元认知水平不同,所以决定了这一心理过程不是直线式地提高或发展的,而是一个分水平的、动态的、非线性的、反反复复的过程性发展。奥苏伯尔曾经指出,从教育心理学最基本的原理

5、看,影响学习最重要的因素是学生已经知道了什么。学习新知识以前,头脑里一定要具备与之有关的准备知识,并且这些知识形成的认知结构被调动起来,使其与新知识建立联系,否则就不会产生理解。就数学知识的掌握而言，它是已有数学认知结构为基础，通过新旧知识的相互作用，实现旧意义的同化或顺应，并内化到学生的数学认知结构中去，形成新的、分化程度更高的数学认知结构的过程。数学知识的掌握过程要经历一系列的数学思维活动，通过逐渐深入的思维加工、知识转化而建立新的、更高层次的、更复杂的数学认知结构。三、掌握数学知识的基本智力动作1.概念形成第二节 影响数学知识掌握的一般条件一、 数学学习的积极性、主动性-陈冰妮、学生已有

6、的认知结构与数学学习的积极性、主动性 数学认知结构数学认知结构就是学生头脑里获得的数学知识结构，只不过是一种经过学生主观改造后的数学知识结构，它是数学知识结构与学生心理结构相互作用的产物，其内容包括数学知识和这些数学知识在头脑里的组织方式与特征。 （一）、变量1原有认知结构中对新的学习起固定作用的观念的可利用性。2新知识同原有认知结构中起固定作用的观念之间的可辨别性。3原有认知结构中起固定作用的观念的稳定性和清晰性。 （二）特点1数学认知结构是数学知识结构与学生心理结构相互作用的产物。2数学认知结构是学生已有数学知识在头脑里的组织形式。3数学认知结构是一个不断发展变化的动态结构。4数学认知结构

7、是一个多层次的组织系统。一、小学生数学认知结构的特点（一）、小学生数学认知结构中，数学概念、数学原理的抽象概括水平往往较 低，因而运用一般概念、基本原理于特殊事例的派生类属学习能力较弱。（二）、小学生数学认知结构中包括较多的日常概念与生活经验，它们对于数学学习有积极的影响也有消极的干扰。（三）、小学生数学认知结构中知识，往往缺乏纵横联系。（四）、小学生数学认知结构具有较大的可塑性，随着年级的升高和有效学习的积累，他们的数学认知结构会有较大的发展和逐步的完善。二、建构良好数学认知结构的教学策略 （一）、 熟悉学生原有的数学认知结构 （二）、创设良好的问题情境 （三）、突出数学思想方法的教学 （四

8、）、 注意整体性教学 三、小学数学学习过程小学数学学习过程从本质上讲是一个数学认知过程，即学生在老师的指导下把教材知识结构转化成自己的数学认知结构的过程 。数学学习是一个复杂的心理过程，它包括了认知过程和个性心理特征在内的心理活动学生在数学学习中是通过感知觉将外部事物，包括事物的特征、形状、数量、颜色等转化为个体内在的心理事实的过程。 数学学习动机对于数学认知结构的作用与数学学习动机的培养 数学学习情感对于数学认知结构的作用与数学学习情感的培养 数学学习意志对于数学认知结构的作用与数学学习意志的培养积极性和主动性一、含义：（一）、小学生学习积极性心理因素是小学生个体对待学习的心理倾向性，是小学

9、生个体进取向上、努力学习的思想和表现。（二）、小学生学习的主动性是指在教学过程中，小学生在学习时表现出的自觉性、积极性、独立性特征的总和，是从事创造性学习活动的一种心理能动状态。 二、组成因素(一、认知心理因素 (二、情感心理因素(三、意志心理因素认知结构与学生的积极性、主动性一、激发学生的潜能 二、培养学生内部学习动机 例子：针对班级爱好打乒乓的同学很多这一特点，开展一次乒乓比赛。假如有23名同学参加，比赛采用单循环淘汰制，即一对一的打，输的被淘汰，赢了的再和赢了的打，最后只产生一名冠军，问一共要打多少盘。让学生做一次编排。许多学生是这样做的： 23名学生可分成11对， 还有1人轮空，要打1

10、1盘； 接下去11+1=12（人），可分成6对，要打6盘； 再接下去可分成3对，要打3盘；再接下去要打2盘； 一共要打：11+6+3+2=22（盘） 此时，有一学生说出了他的解法：既然23名同学中，最后只产生一名冠军，也就是有22人都要输，那么输一人就要打一盘，输22人就要打22盘。 三、学会发现的技巧与方法例子： 任意调换五位数12345个数位上的数字的位置，所得的五位数中的质数的个数是： A、4 B、8 C、12 D、0。 对此题，可以这样考虑：先排除个位是2、4、5的情况，再考虑剩下的48种情况，那是多么的烦琐，如果从整体上把1、2、3、4、5五个数字考察一番，那么也就得出：1+2+3+

11、4+5=15，不论怎样改变数字的位置，排出来的五位数一定是3的倍数，而不是质数，应选择D。 四、达到知识保持的持久性 例子： 教学圆周长这一知识。第一步：让学生说说生活中的圆，利用实物讨论圆周长的概念，如何测量周长，创设一种求圆周长的问题情境。第二步：从大小不同的圆中，让学生去发现，提出假设，圆的周长大约是直径的几倍。第三步：学生自己动手实验，得出多组数据，检验自己的假设。第四步：引导得出结论（圆的周长=直径×2）。第五步：结论的应用。如：告诉半径、直径，如何求周长。反过来，又如何求。并结合实际，做一些趣味性的题目。如；一棵松树，如何求它横截面的直径。 五、提高小学生的数学解题能力例

12、子： 李老师拿来13支铅笔，分1/2给小明，分1/3给小亮，分1/4给小星，一定要整支分，怎样分？ 按原有的数学认知结构，那么这样算，小明13 ×1/2=6又1/2（支），小亮13× 1/3=4又1/3（支），小星13 ×1/4=3又1/4（支）。 如果把1/2、1/3、1/4相加，得13/12，可以发现，三个分数相加的结果不是“1”，而是大了1/12，因此不能把13看作整体“1”，而应“扣下”一支，把12看作整体“1”来分。则小明12 ×1/2=6（支），小亮12 ×1/3=4（支），小星12× 1/4=3（支），一共是6+4+3=

13、13（支），再把“扣下”的那一支放回去，正好够分，问题获得解决。 二、 学生已有的数学认知结构 -张辰旭三、 数学学习材料四、 五、数学语言能力表达v 语言是人们进行交流与沟通的工具，现代心理学、教育学认为，语言的准确性体现着思维的周密性，语言的层次连贯性体现着思维的逻辑性，语言的多样性体现着思维的丰富性。v 语言给事务以命名，对事务的属性与功能进行表述。通过命名，可以使人头脑中关于事务的表象简约化。而这个命名也可以使数学知识各要素间关系更加明确，使该知识与其他知识之间的联系与区别更清晰。v 数学语言则是数学教学中用特定含义的词语、符号、式子、图形进行表达的一种特殊的语言，许多数学知识的语言表

14、述都代表了知识产生的条件，叙述了事务发生发展的过程，以及使用这个数学知识时所要遵循的操作程序。而数学语言也是学生学好数学，师生间进行数学知识的交流的工具。在数学教学中，准确使用数学语言，可以让教师更好地辅助学生实现课堂教学目标。数学语言表达的要求v 1、准确2、严谨： 3、简洁： 4、流畅5、生动培养数学语言表达能力的方法v 1、面向全体学生，充分发挥教师的示范作用v 2、加强学生数学语言表达能力的训练，重视学生语言表达上的错误剖析 （1）从阅读数学中熟悉数学语言 （2）从各种活动中发展数学语言 v 3、老师要为学生创设语言环境，改进自己的教学方式 v （1）学生不敢说，不好意思说，不会说，缺

15、乏自主学习能力v （2）老师提问不当，鼓励性不够，指导不够，没有创造机会数学语言表达能力培养过程v 1、生活语言、书面语言和数学语言相互转化“扩展”与“压缩” “三阳去 年植树15万棵，今年植树比去年多20，今年植树多少万棵?”v 2、让学生用语言清楚地表达解题程序表面要求学生将24个正方体木块(各表示1立方厘米摆成形状不同的长方体，边操作边说出所 摆长方体的长、宽、高各是多少。v 3、让学生用语言有条理的表达思考过程 内在“学校举行歌咏比赛，三年级参加24人，比四年级少16人，五年级参加的比三、四年级的总数多5人，五年级参加多少人?”总结v 数学课程标准要求学生学会与人合作，并能 与他人交流

16、思维的过程和结果，初步形成评价与反思的意识。在教学实践中，这种合作交流与评价反思一般都表现为学生组织自己的口头语言，作出正确而系统的表述。v 小学阶段，书面语言成为小学生专门的学习科目语文课，促进了小学生语言表达能力向着高水平发展，也为小学生数学语言表达能力的训练带来了可能。v 数学是小学教育的重要组成部分，数学语言的培养是数学教学工作中一项长期的任务。数学语言能使学生获得数学交流的机会，发展学生的数学思维，培养学生学习 的主动性，树立学习的自尊心和自信心，提高听说能力，进而提高学生的综合素质。第四章 数学技能及其形成规律第一节 数学技能及其特点一、 心智技能概述数学技能及形成规律心智技能-一

17、、 技能及特点：技能是通过练习而形成的合乎法则的活动方式。特点：(1是通过学习或练习而形成的，不同于本能行为。(2是一种活动方式，是由一系列动作及其执行方式构成的，属于动作经验，不同于认知经验的知识。(3技能中的各动作要素及其执行顺序要体现活动本身的客观法则的要求，不是一般的习惯动作。二、技能种类：操作技能与心智技能(一操作技能(通过学习而形成的合乎法则的操作活动方式，特点：客观性、外显性、展开性。不同角度分类：细微型操作技能(打字、弹钢琴与粗放型操作技能(举重、标枪、连续型操作技能(开汽车、骑自行车、跑步和断续型操作技能(弹琴、打字、闭合型操作技能(自由体操、游泳、跳水和开放型操作技能(驾驶

18、汽车及球类运动中的控制球的技能等、还有徒手型和器械型·····（二）心智技能的概述1.心智技能(intellectual skill又称为智慧技能或智力技能。它是一种调节、控制心智活动的经验，是通过学习而形成的合乎法则的心智活动方式。阅读技能、运算技能、记忆技能等都是常见的心智技能。 2.心智技能形成阶段的理论探讨： （1）加里培林(苏联的心智动作按阶段形成理论：五阶段：活动的定向阶段。物质活动或物质化活动阶段(如低年级学生借助苹果进行加减运算物质活动;或借助苹果的图片物质化。出声的外部言语活动阶段。无声的外部言语阶段。内部言语阶段。这一阶段抽

19、象思维为心智活动的主要成分。(2安德森的三阶段论：认知阶段、联结阶段和自动化阶段。(3我国分类（冯忠良关于智力技能形成阶段理论）原型定向阶段原型操作阶段原型内化三阶段3、心智技能的特点（1）心智技能是一种活动方式，属于心理活动经验，它与知识（陈述性知识、程序性知识）既有联系又有区别。联系：相互促进区别：知识解决的是“是什么”和“为什么”（陈述性知识）、“做什么”和“怎么做”（操作性知识）的问题，知与不知的问题；心智技能学习所解决的是完成活动时会不会及熟不熟练的问题。(2心智技能是一种心智活动方式，区别于操 作活动方式。就心智活动来说，它有以下三方面的特点：1 动作对象的观念性2 动作执行的内隐

20、性(内潜性 3 动作结构的简缩性因此，可以把心智活动定义为：在人脑内部，借助内部语言，以简缩的形式对事物的主管表征进行加工、改造的过程。（3）心智技能是合乎法则的心智活动方式。这里，“合乎法则”是指活动的动作构成要素及顺序应体现活动本身的客观要求，“合乎法则”就是实事求是，按照客观规律办事。实际上，任何事物都有其自身发展规律，人们的活动只有符合这种规律，才能对事物进行有效的加工改造，才能实现对活动本身的调节控制。（4）心智技能是习得的。心智技能不是生来就有的，而是在学习过程中，在主客体互相作用的基础上，主题通过动作经验的内化而形成的。4、心智技能的科学培养：（1）识别教学内容（2）营造良好的课

21、堂氛围，使学生形成完好的定向能力（3）摆脱定势思维的约束（4）分步骤、有计划地进行练习（5）从部分到整体的指导练习，使学生智力技能熟练、灵活（6）练习要适度，注意循序渐进 三、操作技能与智力技能的关系区别：操作技能主要表现为外显的骨骼肌的操作活动，是看得见、摸得着的，如写字、跳舞、绘画等；而智力技能主要表现为内隐的思维操作活动，在头脑内部，如阅读、写作等，具有主观性和抽象性，从外部难以察觉头脑内部中的思维过程。感知、记忆、想象、思维等智力技能是运动技能的调节者和必要组成成分，而外部动作又是智力技能的最初依据，也是智力技能通常的体现者。在完成比较复杂的活动时，人总是手脑并用的，既需要智力技能也需

22、要操作技能。这时判断这种活动究竟属于操作技能还是智力技能的主要标准就是活动中的主导成分。例如，笔算主要是头脑中的“心算”，用手加以记录，因而称为一种智力技能。联系：操作技能和智力技能密切相关。操作技能往往包含着某些智力技能的成分，而智力技能的获得也离不开各种操作技能。二、 数学技能1. 对已有数学技能研究的综述-陈秋静对已有数学技能研究的综述主讲：陈秋静（）国内外对数学技能的描述国外：对数学技能界定非常的不清楚，常常与数学知识、数学能力混同在一起。国内：借用普通心理学进行描述。因此我们要从已有的研究出发，重新审视数学技能国内外数学教学大纲分析： 教学目标中提出技能的总的要求，结合具体知识内容提

23、出相应的要求，但没有对技能与知识及能力之间的关系和形成途径进行表述.教学内容上看反应社会发展、科学技术发展的新的要求总的来说，知识、技能、能力之间没有进行区分。我国数学教育界比较认同的数学技能观：数学技能是指通过练习而形成的、顺利完成数学活动的一种方式，往往表现为数学任务所需要的动作协调和自动化。在认识特定的事物，解决具体课题中，心理活动按一定的合理的、完善的方式进行就是心智技能；掌握正确的思维方式、方法是心智技能的本质特征。1992年我国九年义务教育全日制初级中学数学教学大纲对数学技能明确为：能够按照一定的程序与步骤进行运算、作图和画图、进行简单的推理。新的全日制普通高级中学数学教学大纲高中

24、的数学技能具体化为：按照一定的程序与步骤进行运算、处理数据（包括使用计算机）、简单推理、画图及其绘制图表等技能教学目标教学实验的结果认为：运算技能、能力发展阶段：步步有据、运算准确准确迅速运算善于观察分析、筛选方法、灵活运算；逻辑推理技能、逻辑思维能力发展阶段：言必有据、书写规范步步有据、逻辑推理运算分析、综合的思维方法逻辑推理培养思维的灵活性、深刻性、敏捷性。识图、画图技能、空间想象力发展阶段：看懂基本图形能画基本图形用文字、符号或实物画出基本图形从基本图形中识别基本元素及其关系从综合图形中分解基本图形，进行逻辑推理。以上材料看出什么？我国对数学技能的理解大致是“能算、会作图、会推理”等三方

25、面；强调技能是一种活动方式，注重“操作性而把技能的“智力性”放在次要的位置。对技能的训练多停留在模仿层次，贬低了训练中的理解的作用。所以，我们要从数学技能的组成成分、数学技能的特点、数学技能的作用、数学技能的形成到数学技能的训练，到必须进行重新的认识。2. 数学技能的组成因素分析-技能 是通过练习而形成的顺利完成某种任务所必须的活动方式或心智活动方式。数学技能是指通过练习而形成的、顺利完成数学活动的一种动作方式，往往表现为完成数学任务所需要的动作协调和自动化。数学技能分为动作技能和心智技能，但主要是心智技能。 数学技能组成因素：“能算、会作图和会推理”三种基本的数学技能。运算技能是指能正确地运

26、用各种概念、公式、法则进行数学运算，作代数变换，包括对算法的选择以及对所采用算法合理性的判断，还包括达到一定的运算速度。作图技能是指根据数学语言和题意，能准确、直观地作出几何图形。需要注意，作图技能不仅是动作技能，对于数学中的作图来说，更重要的是在头脑中按一定的方式来合理、完善地组织作图步骤，考虑图形中个元素的位置、大小及关系。推理技能是指根据具体内容所规定的程序与步骤进行逻辑推理，另外，推理技能还包括了正确、简洁地表述思想。 数学技能还应该包括含数学交流成分 。听、说、读、写等是人的日常生活中的基本心智活动方式 。 数学技能的第三方面是与信息技术相关的技能。信息技术不仅是强大的计算工具、作图

27、工具，收集信息、处理数据的工具，而且能使抽象的数学变成具有可操作性。 数学技能的第四方面是自我评价和自我监控的技能。三、数学技能的特征1. 由数学活动对象的高度抽象性决定的特征2. 由数学语言所决定的特征3. 由数学活动结构的性质决定的特征 -韩伟（）四 、数学知识、技能和能力之间的关系1. 数学技能与数学知识经验的获得2. 数学技能与数学知识的应用3. 数学技能与数学能力 -李娜数学知识、技能与能力之间的关系1、数学技能与数学知识经验的获得建构主义认为，任何知识经验都是在个体生活以及活动的基础上获得的。若某一知识经验对个体来说有意义，这意味着个体与这一知识经验之间发生了相互作用，并且相应的知

28、识己经内化到个体的认知结构中.数学知识不是像一本书一样从一个人的手里传递到另一个人的手里，而必须经过学生自己对经验的操作、交流和反省来主动建构。在建构过程中，既需要有作为活动对象的客观知识经验的作用,又需要有活动主体对客观知识的反作用，而且这种反作用是与个体已有的认知结构的性质密切相关的。在数学知识习得和数学活动经验产生的过程中，已有数学认知结构决定着主体对知识经验的反映形式、反映水平，其中最直接的是反映动作，这是一种智力动作。反映动作的根本职能是实现客观的数学知识影响向主观的经验结构的转化。这个转化过程就是能动的反映过程，就是数学活动经验的建构过程。这里，智力动作是数学活动经验获得的手段，而

29、数学活动经验则是智力动作的产物。由于智力动作是获得数学活动经验的基础，因此，按照一定法则要求构成的数学技能在数学知识的习得、数学活动经验的获得过程中也具有十分重要的意义。数学技能是获得数学知识经验的重要的条件。2、数学技能与数学知识应用在学生应用数学知识去解决面临的问题时，他首先要通过阅读题目或相应的材料来理解题意，即明确条件和需要解决的问题，从而明确了目标。在此基础上，从长时记忆中搜索相关的知识经验，并进行选择，再提取那些被认为是解决当前问题的最有效的知识，使它们进入短时记忆中。然后，在短时记忆中进行信息加工，使其中的信息产生相互作用，直至问题获得解决.其中，既有问题的解决过程，又有对解题过

30、程的调节和控制。并且在问题获得解决以后，还有对解题过程的反思。总之，应用数学知识解决问题的过程中包含了一系列以认知成分为主的操作。因此，智力动作，象如何判断问题的性质、如何选择问题的表征形式、如何搜索和提取相关知识、如何确定问题的转化方式、如何执行转化以及如何对解题过程进行评价等，构成了一种合乎法则的智力活动方式，即智力技能，它对数学知识的应用起着直接的指导和调节作用，是正确应用数学知识、顺利解决问题的保证。所以数学技能是正确应用数学知识的重要条件。3、数学技能与数学能力 教学实践表明，要在数学活动中具体区分技能和能力是很困难的。事实上，随着知识的掌握和技能的形成，相应的能力也就得到发展。反之

31、，能力水平又制约着知识与技能形成的速度、深度和效率。也就是说，技能与能力是互相关联、互相依赖的辩证关系。前苏联克鲁捷茨基在对数学能力时研究中提出如下的概念性区分:“在分析能力时，所考虑的总是正在进行活动的人的特征与品质，而在分析技能或习惯时，所考虑的则是人们正在进行的活动的质或特点。”因此，数学能力指的是一个人的那些有利于迅速而容易地掌握数学活动中知识与技能的独特的心理品质，而技能指的是一个人在数学活动中的特殊的动作(即活动方式。应该说，这种区分在理论上是较为准确的，但在实践中并不是十分方便和明确的。下面结合具体的数学教学实践，来区分数学技能与数学能力(一在数学问题解决中，解标准问题，例如“解

32、方程x2-4x=5 "，学生容易顺利地自动化操作，因而主要依靠技能;解综合题或非标准问题，则需要对题目进行分析、概括与化归，其能力成分主要表现为敏捷性与灵活性。例6.已知方程(b-c x2十(c-a x十(a-b =。有两相等实根，求证a, b,c成等差数列。用=0直接运算得出结果，表明学生具备基本的分析概括数学材料的能力和运算技能。如果能注意观察方程的整体特征，且系数成轮换对称关系，发现(b-c +(c-a+(a-b=0，从而迅速地判断x=1是方程的根，再由韦达定理简捷得证，表现出思维起点和过程的灵活性，则说明学生具有较强的观察能力和简缩思维的能力。(二直接运用知识、法则、公式进行

33、推理或运算活动主要依赖技能，把对象归入概念，确定理解方向，制定解题策略，对活动有效地调控等，具有较多的能力成分。例7.设a, b,c为绝对值小于1的实数，求证ab+bc+ca>0按正常思路，此题应进行代数变形或对a,b,c的值分类讨论，单凭基本技能是很难完成解题活动的。思路敏捷者(能力成分的表现之一会很快否定正常思路;思路灵活者(能力成分的表现之一必然展开联想，另辟蹊径。联系到每个字母都是一次的，从而构造函数f (a=(b十c a十bc+1.当一1 时，其图象是一开直线段，只要能证明 f( 一 1 >0, .f (+1>0 ，则根据单调性即可作出判断。应该说，这个题目解题策略

34、的选择与制定，主要依赖于下列能力 : 对数学材料的观察与概括能力，空间想象能力，由一种思维运算转化为另一种思维运算的能力等 (三数学技能的形成具有可遵循的阶段性，根据前苏联心理学家加里培林的“智力动作按阶段形成”的理论，数学技能从定向、活动到形成内部语言可分为几个阶段，而能力的培养主要通过潜移默化，很难直接“宣称”(很少有教师向学生宣称:“现在培养你们的XX能力”。这种事实可以作为从教学实践中的区分之一。(四从形成的标志上分析，数学技能的基本标志是“概括化、语言化与简缩化”。例如，一看见cos450°,立即根据掌握的知识，按照操作程序“任意角0°360°的角”和“

35、奇变偶不变，符号看象限”等概括化语言，迅速地得出值为0，而数学能力的标志，通常表现为数学活动中的敏捷性、灵活性等。(五数学技能和数学能力都是在数学活动中形成和发展的，它们都是相应数学活动概括化的结果，除了概念上的区别外，在概括水平上是有差异的。一般说来，数学能力与数学技能相比，是在更一般更高水平上的进一步概括。因此“列方程解应用题的能力”、“添置辅助线的能力”等与具体内容联系在一起的“能力”提法是不妥的，它们充其量只是技能或知识。这是三个既有区别又有联系的概念。按照心理学的说法，知识是活动的定向工具，技能是活动方式，能力则是保证活动顺利完成的稳定的心理结构。数学技能的形成与发展对数学知识的掌握

36、程度和对数学能力形成与发展都起着重要的作用。在数学技能形成的过程中，能促进学生对原有数学知识的掌握与理解，在技能形成之后又有利于后继知识的学习，成为以后学习不可缺少的条件。由于能力是在获得知识与技能的基础上通过广泛的迁移，不断概括化、系统化及类化而形成的，因此数学技能又是数学能力的形成和发展的前提条件和基础。数学知识、技能和能力这三者是紧密联系在一起的整体,它们是相辅相成的,并且由于它们之间的相互作用而把学生的数学学习不断地由一个层次推进到更高的层次。第二节 数学技能的形成与指导一、 数学技能的行为目标1 准确性2 速度3 自动化-熊凯琳（）二、 数学技能的形成过程1. 数学活动的实质2. 数

37、学技能的形成过程 -陈楚数学技能的形成过程一、数学活动的实质数学活动：一般是以一定问题为出发点，通过构造、寻找、选择一定的方法，使问题获得解决，最后再以一定的语言将整个问题的解决过程（包括问题本身及最终的结果）表述出来。“模式建构”是数学活动的核心。“模式建构”：通过理想化、模式化、精确化、“自由化”、“形式化”而获得模式的数学活动。(郑毓信数学方法论建构过程： 模式定向,模式操作,模式内化 二、数学技能的形成过程(概述数学技能是在数学学习过程中，通过训练而形成的一种动作的或心智的活动方式。分为动作技能和心智技能两种。动作技能(也叫操作技能是由一系列外部可见的动作构成的，是主要借助于肌肉、骨骼

38、等运动实现的一种合理化的随意行动方式，如用直尺、三角板画线段和图形，用圆规画圆，操作计算器和计算机，写数字和算式等。心智活动技能，是借助于言语在头脑中进行的认识活动方式，如数的计算技能、解方程、组成比和比例、解比例、制作统计图表、解题技能等。一般认为，动作技能（操作技能）的形成可以分为操作定向、操作模仿、操作整合与操作熟练四个阶段。心智技能：模式定向、模式操作、模式内化。（数学学习论与学习指导 章建跃）心智技能的形成过程：原型定向、原型操作、原型内化。（教育心理学冯忠良等著，人民教育出版社） 二、数学技能的形成过程（模式建构）(21、模式定向：了解模式的构成要素和操作方式，这是一个与数学知识的

39、掌握同步的过程。模式定向阶段也就是使主体掌握操作性知识（即程序性知识对外怎么办事）的阶段。主要任务：建立起数学活动的初步的自我调节机制，为进行实际操作提供内部控制条件。模式定向的作用:模式定向是心智技能形成所不可缺少的一个阶段。首先，心智技能是一种合法则的活动方式，要求主体能独立作出。主体要能独立作出这种活动方式，首先要在头脑中建立起有关这种活动方式的定向映象，从而才能调节自己的活动、作出相应的动作。其次，心智动作是一种内化了的动作，是实践活动的反映。因此，心智活动的定向，必须借助于一定的物质形式使这种活动“外化”为原型（即实践模式）才能进行。由于心智活动的定向需要借助其模式进行，所以称这一阶

40、段为“模式定向阶段”。2、模式操作：在了解了模式的基本成分和操作方式以后，学生通过再现的方式将数学技能的实践模式即操作活动程序计划付诸执行。教师应该注意：第一、要使学生明确，在进行实际操作之前，首先应该确定活动的目标，这是顺利完成操作动作的前提。第二、开始时，要使学生养成依据模式所规定的动作顺序进行系列操作、依次完成每一个步骤的习惯，还要养成在每个动作完成后进行及时检查的习惯，以保证动作的方式能够符合模式的要求，使操作对象产生应有的变化。第三、要使学生明确每一个操作步骤的依据，这是知识掌握与技能形成同步的要求。数学技能的形成过程第四、要注意变试的作用。(练习越多越好吗？练习应该重在理解，重在变

41、试训练，而不能只追求练习的数量。只要连续练习多次能够正确而顺利地完成有关动作程序，就应该转向下一阶段。数学理论的内化：第一阶段，首先意识到数学知识内容（what），然后开始考虑其逻辑依据（why）再寻求这一内容的思维过程（How）。对数学知识的反复接触和重复反应，是一种练习。第二阶段，数学知识的应用和保持。理解性练习，形成相应数学技能，积累一定经验。第五、应要求学生用自己的语言叙述模式操作的目标、步骤及其依据。第六、应注意掌握活动的节奏，并适时向下一阶段转化。（练习度的问题）3、模式内化：数学活动的实践模式（操作程序）向头脑内部转化，就是动作要离开具体背景（模式的事例）而转向头脑内部，借助于抽

42、象的语言来作用于自己头脑中的数学知识，从而对自己所理解的数学知识及相应的活动方式进行概括，并进一步类化，使其具有更加普遍的意义。模式的内化水平从两方面反映：一是头脑中形成的模式的抽象程度；二是活动方式的定型化、简缩化、自动化程度。以上两方面均与学生对相应的模式的本质的把握程度是直接相关的。第三节 数学技能的训练一、 运算技能的训练二、 推理技能的训练 -段金志小学生运算技能、推理技能的培训一，运算技能为提高小学生数学计算能力，可从下面几个方面对学生进行训练。一、让学生熟练掌握运算法规在小学阶段，学生要学到三类数整数（自然数）、小数和分数，这三类数都要进行四则运算加、减、乘、除，每一类数的每一种

43、运算都有自己特定的运算法则，熟练掌握各类运算法则是全面提高小学生数学计算能力的立足点和出发点。怎样让学生熟练掌握各种运算的运算法则呢？我想教师在教学活动中应做好以下三个环节：1、搞清算理，学生在教师指导下，通过合作讨论，互相交流的方式，按照运算意义一步一步地归纳出运算法则。2、多加练习，充分利用课内外的恰当机会，对学生进行大量的计算练习，并对学生的计算过程多加指导和评议，让他们熟练地掌握运算法则。3、注重纠错，教师要注意收集学生在各类计算中出现的各种错误，加以分类剖析，可精心制作出一定数量的、带有各种计算错误的试题卡，分发给每位学生，让他们把题卡上的错误逐一更正，同时向全班说明每道试题的错误所

44、在和产生错误的具体原因，有时学生犯的错误经老师指正后，再过一段时间他们又犯同样的错误，遇到这种情况时，教师千万不能急躁，要耐心疏导他们，帮助他们克服学习中的各种困扰。二、注意培养学生估算能力新课程把培养学生的估算能力列入其中，充分反映出估算在数学计算和实际生活中的重要性，估算能力也是一个人计算能力中相当重要的一个方面，所要应具备良好的估算能力。三、切实加强学生口算训练在课堂中，一般采取下列步骤进行口算训练；1、先让学生先口算出结果。2、再让学生说说自己的口算方法，对良好的口算方法及时给予肯定，有时对同一题目，还可问问学生有无别的口算方法。3、最后教师对口算方法给予解释和强调。除教材中的口算题目

45、外，教师应该再精心编制一定数量的涉及多种口算方法的练习题，在自习课上让学生反复练习，我们要把口算训练穿插于整个数学教学的全过程之中，使口算训练经常化、长期化，逐步提高学生数学计算的快捷性。四、善于采取简便算法有些数学计算试题具有明显的形式和数字构造特征，这些特征正是我们施展简便算法的大好机会，通过一定数量的简算练习，不但提高了学生的观察能力和分析能力，逐步强化了学生数学计算的技巧和快捷性，而且还给学生带来了快乐的精神享受，这对激发学生学习数学兴趣大有裨益。学生只有明白了计算技能所根据的科学道理，才能够准确无误地解题。如教学被除数和除数末尾有0的除法时，根据除法性质，被除数和除数可以先同时删除相

46、同个数的0，以使计算简便。但当有余数时，要在余数末尾添上删除的0。这一算理，只有在学生透彻地理解了被除数和除数删去相同个数的0，只是商不变，而被除数是缩小了10倍、100倍。所以，余数还得添上删去的0的算理，经反复练习，学生才能由懂到会，由会到熟，由熟到巧，形成熟练的计算技能。五、培养学生认真审题的习惯。对于较复杂的题目，要强调不能提笔就算。要让学生先观察题目有什么特点，是否可简算；再看运算顺序，想运算法则，看一步，做一步，每一步都要进行核对。六、重视复习巩固，使学生形成熟练的技能、技巧。（1）充分利用每节课的复习时间，利用口算练习以前所掌握的知识和计算法则。(2通过复习课，系统整理所学知识，

47、是计算上达到进一步的熟练。（3）对易错易混的计算题，经常进行练习。七、强化“双基”教学，提高学生的基本计算能力在计算教学中，学生在正确理解的基础上牢固掌握基础知识和全面熟练的掌握运算技能，是保证他们在计算正确快捷，防止心因性错误的基础。因此，教学中教师要帮助学生切实掌握“双基”。例如：为了普遍提高学生的基本计算能力，可以长期坚持用每节课的前五分钟进行口算训练。此外，教学中教师要加强学习目的性的教育，端正学生的学习态度，使学生认识到计算是一项十分细致的工作，不能有半点马虎；要善于调控学生的心理紧张焦虑度，使学生的心理紧张保持在中等程度，以促使他们与学习相关的感知、记忆、思维等心理过程达到并维持适

48、度的紧张水平，从而提高解题的效率，防止过强或过弱导致的急于求成或漫不经心。二，（合情）推理技能   一、合情推理的含义 论证推理又称演绎推理，它是思维过程中从一般到特殊的推理。这种推理以形式逻辑或论证逻辑为依据，每一步推理都是可靠的、无可置辩和终决的，因而可以用来肯定数学知识，建立严格的数学体系。合情推理是一种合乎情理、好像为真的推理，它是数学发现的方法之一。合情推理，不全都依据数学公理体系和数学定理进行推理，而是运用了一些特殊的推理方法，从所得命题的真假性来看，不像论证推理所得的命题那样严密和稳定。似真非真和似真确真这两种情况都有可能发生。因此，合情推

49、理又被称为似真推理。数学中的合情推理是多种多样的，其中归纳推理和类比推理是两种用途最广的特殊合情推理。法国数学家拉普拉斯说：“甚至在数学里，发现真理的工具也是归纳和类比。” 二、发展学生合情推理的意义波利亚指出：“论证推理是可靠的、无可置疑的和终决的。合情推理是冒风险的、有争议的和暂时的。”那么，为什么还要在小学数学教学中培养学生的合情推理能力呢？首先，是实施新课标的需要。数学课程标准中明确：归纳和类比是合情推理的主要形式，并指出：第一学段“初步学会选择有用的信息进行简单的归纳和类比”，第二学段“进行归纳、类比与猜测，发展初步的合情推理能力”，第三学段“体会证明的必要性，发展初步的演

50、绎推理能力”。其目的是有序地培养学生的推理能力，但小学阶段以发展学生初步的合情推理能力为主要目标。其次，是由小学生的认知特点决定的。鉴于小学生的年龄与认知特点，他们不可能通过具有严格标准的逻辑推理来发现和掌握数学原理和概念。因此，在小学数学教材中大量地采用了像数学猜想、枚举归纳、类比迁移等合情推理的方法。再次，是学生学习数学的过程要求。波利亚说过：“数学家的创造性工作成果是论证推理，即证明；但是这个证明是通过合情推理，通过猜想而发现的。只要数学的学习过程稍能反映出数学发明过程的话，那么应当让猜测、合情推理占有适当的位置。”费赖登塔尔认为，学生学习数学是一个有指导的再创造的过程。数学学习本质是学

51、生的再创造。数学知识的学习并不是简单的接受，而必须以再创造的方式进行。因此，在数学学习的过程中，应给学生提供具有充分再创造的通道，以激励学生进行再创造的活动。把数学知识学习的过程展开、还原，让学生经历观察、比较、归纳、类比即合情推理提出猜想，然后再通过演绎，推理证明猜想正确或错误。 三、发展学生合情推理的策略 1、从特殊到一般，发展学生的归纳推理能力把某类事物中个别事物所具有的规律作为该类事物的普遍规律，这种思维过程中由特殊到一般的推理称为归纳推理或称归纳法。这是一种从个别到一般、从实验事实到理论的一种寻找真理和发现真理的手段。波利亚盛赞欧拉“是数学研究中善于用归纳法的大师

52、，使用归纳法，也就是说，他凭观察、大胆猜测和巧妙证明得出了许多重要的发现。”高斯也曾说他的许多定理都是靠归纳法发现的，证明只是补行的手续。在教学法则、定律、公式、结语及解题时经常要进行归纳推理，而且一般用的是不完全归纳法，用不完全归纳法得出的结论不一定正确，还有待严格的证明。但是，不完全归纳法比较适合小学生的年龄特点，易于接受。因此，在小学数学教学中经常应用这种形式的推理。发现规律。如：直径1厘米的圆周长约3.14厘米，直径2厘米的圆周长约6.28厘米，直径3厘米的圆周长约9.43厘米，直径4厘米的圆周长约12.57厘米，从中发现规律：一个圆的周长总是它的直径的3倍多一些。概括意义。如：10&

53、#215;1/5就是求10的1/5是多少，24×5/6就是求24的5/6是多少，72×3/8就是求72的3/8是多少，由此得出：一个数乘以分数，就是求这个数的几分之几是多少。导出特性。如：1×8=8，4×1=4，1×6=6，得出：任何数与1相乘得任何数。归纳定律。如：3×5×2=3×（5×2），9×4×5=9×（4×5），10×20×4=10×（20×4），得出：三个数相乘，先把前两个数相乘，再乘第三个数；或者先把后两个数相乘

54、，再同第一个数相乘，积不变，这叫做乘法结合律。利用归纳推理还可以总结数量关系，推出公式等。教学中要有计划地培养学生的归纳能力，对于低年级的小学生，要以丰富的感性材料入手，由教师讲解归纳的过程，逐步过渡到在教师引导下由学生对简单问题进行归纳；中年级学生对归纳推理已经积累了一些经验，可以在教师引导下，逐步增加学生自己归纳推理的成份；高年级的学生一般来说已经有了初步的归纳能力，可以放手让他们自己进行归纳，进一步提高归纳能力。2、从特殊到特殊，发展学生的类比推理能力类比推理是根据两个不同的对象的某些方面（如特性、属性、关系等）相同或相似，推出它们在其他方面也可能相同或相似的思维形式，它是思维进程中由特

55、殊到特殊的推理。这也是一种寻找真理和发现真理的基本而重要的手段。德国天文学家、数学家开普勒曾指出：“我珍视类比胜过任何别的东西，它是我最可信赖的老师，它能揭示自然界的秘密，在几何学中它应该是最不容忽视的。”德国古典哲学家康德也说：“每当理智缺乏可靠论证的思想时，类比这个方法往往指引我们前进。”波利亚曾高度评价类比的作用和意义，说：“类比似乎在一切发现中有作用，而且在某些发现中有它最大的作用。”“类比是提出新命题和获得发现取之不竭的源泉。”在数学思维活动中，类比的表现形式是多种多样的。通常可分为简单的类比与复杂的类比两类。简单的类比即形式的类比。如由“在除法算式中，除数不能为零”，类比推出“分数

56、的分母不能为零”和“比的后项不能为零”。复杂的类比即实质的类比，这种类比能拓宽学生的知识面，引导他们挖掘数量间隐藏着的内在联系，掌握数量间可能引起的变化规律。如：教学工程问题后，可以出示下面的变式题让学生尝试解答：从A地到B地，甲要行10小时，乙要行15小时，现两人同时从A、B两地相向而行，多少小时可以相遇？刘老师带一部分钱去新华书店买上、下两集的书，所带的钱如果只买上集，正好能买20本，如果只买下集，正好能买30本。刘老师的钱最多可买这种书多少套？一批布，做上衣可做20件，做裤子可做30条。这批布可以做多少套衣服？借助旧知识进行类比推理，可将学生的原有认知结构向横向拓展、向纵向延伸，不仅能加

57、深对知识的理解和掌握，而且能培养学生初步的推理能力。在小学数学中，常见的类比有：直线和平面的类比、平面和空间的类比、数和形的类比、有限和无限的类比等。类比之所以能进行并行之有效，就在于它抓住了事物普遍存在的相似性，把相差甚远的两类对象按其内在联系的相似性加以类比。如：把平面几何中的面积与立体几何中的体积比较：平面几何 立体几何 长方形面积=长×宽 长方形体积=长×宽×高 推导圆面积的方法：把圆若干等分拼成近似的长方形 推导圆柱体体积的方法：把圆柱体底面分成相等的扇形后纵剖，拼成近似的长方体。 圆面积S=r2 圆柱体体积V=r2h 类比的结果不一定正确，因为类比仅仅是推测，而不是证明