留给学生思考的空间

1、 教师应留给学生足够的思考空间 一道几何习题的启示 姚久龙让学生学会思考，学会把所学的知识灵活的应用，恐怕是每一个数学教师都希望的，也是每个教师都努力争取的。学生的独立思考是非常重要的，它是教学成败的关键，是学生学习兴趣的源泉。怎样才能让学生独立思考问题、主动探索知识呢？我认为教师应尽量留给学生足够的思考时间。这是我在给学生讲评一道几何习题时得到的启示。令人欣慰的第五种证法一道习题有多种证法并不希奇，一个班五十几个学生同时出现五种证法也是常有的事，令人欣慰的是，在我把同学的四种证法归纳以后，一个不起眼的同学给我了第五种证法。一天我在批改几何作业（八年级数学B册第二十六章习题第六题）时发现有较多

2、同学用了不同的证明方法但也有一部分学生没有做。（这是我允许的，对通过独立思考而做不出的题目可以不做）。我对学生的证明方法进行了归纳，准备重点讲评以便让没有做出的同学能够理解并顺利完成。原题：如图1，已知四边形ABCD是梯形，CDAB，四边形ACED是平行四边形，延长DC交BE于G。求证：EG=GB方法一：利用全等，毫无新意 许多学生是利用全等的思想来证明这两条线段相等的。其一：如图2作GFEC交AB于F，通过证ECGGFB。 其二：如图3作GFCA交AB于F通过证EDGGFB而得。其三：如图4作BFAD交DC的延长线于F，通过证明ECGBFG而得。这部分学生对本学期学习的平行四边形的知识掌握不

3、是很好，他们还是按自己的习惯来解决问题，在教学中我曾多次提醒学生不要把全等的思想作为唯一的方法，要利用新的知识，尽量避开全等来用其他知识来做。把全等的方法作为一个“杀手锏”在没有办法时再用。看来大多数学生只图一时之快，并没有认真思考，学生独立思考的能力还有待加强。方法二：利用平行四边形性质，叫人满意 有几个同学利用平行四边形的性质，避开全等从而达到简化证明的目的。方法是：如图5作BFAD交DC的延长线于F，连结EF。先证ADBF且AD=BF再证BFCE且BF=CE推出四边形BFEC是平行四边形，从而利用平行四边形的对角线互相平分得到EG=GB。这种方法利用本学期所学知识，证明的方法显然优于上一

4、种。达到了教学的目的。方法三：利用三角形中位线定理，出人意料。 出人意料的是我们的班长是利用了三角形中位线定理，和平行四边形的性质进行证明的。方法如下：如图6连结AE交DC于O，取AB的中点F连结OF。由于OF是AEB的中位线，因此OFEB且OF= EB，又因为四边形OFBG是平行四边形，OF=GB，所以GB=EB，故EG=GB。方法四：利用面积法，让人高兴。 更让人高兴的是数学课代表利用面积法，很有创新。他作GFEC交AB于F连结CF，先证ECGF且EC=GF，因此又所以，故EG=GB。虽然可以利用平行四边形的对边相等直接得到，既CF=GB，CF=EG（四边形CFGE、CFBG都是平行四边形

5、） EB=GB，但能想到用面积法就足以说明这个同学确实进行的研究，怎不让人高兴！在下一节的数学课上我带领学生对这道题进行了研究，让不同做法的同学分别讲解自己的想法，虽然用了将近一节的时间，但我发现同学们精神集中、兴趣昂然，我觉得这样做值！之后，我鼓励同学们利用课余时间继续探讨，看看是否还有第五种方法，并要求没有做的同学选择一种自己喜欢的方法完成证明。方法五：勇于创新，令人欣慰。第二天，我欣喜的发现有一名很不起眼的小女生用了第五种方法完成了本该昨天完成的作业。她的证明如下：证明：作GFAC交AB于F，连结DF（如图8） CDAB（已知） CGAF 四边形CAFG是平行四边形（两组对边分别平行的四

6、边形是平行四边形） ACFG且AC=FG（平行四边形的对边平行且相等） 又四边形ACED是平行四边形（已知） DEAC且DE=AC（平行四边形的对边平行且相等）DEFG且DE=FG 四边形DFGE是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形） DFEG且 DF=EG又DGFB 四边形DFBG是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）DF=BG （平行四边形的对边相等）EG=GB这一证明方法虽然是在前面证法的启发下得出的，但也是经过独立思考而得的，这名学生没有简单的选用前面研究过的方法，而是独树一帜，这怎不叫人高兴，虽然只有一名学生这样做，也是很令人欣慰的。从对这道几何题的探究

7、过程中，我得到了几点启示。 启示一：课堂教学中应精选例题，教师应给学生思考的时间。教学是一个系统的工作，每一节课的教学效果直接影响整个教学质量。评价一节课的成败与否的条件很多，但归根结底还是看是否有利于学生的思维的发展和能力的提高。我认为在几何教学中高密度、快节奏的教学方法不利于大多数学生，因为学生是有差距的，节奏一旦过快，学生的思考时间就会减少，甚至来不及思考，这样不利于学生的思维的发展。上面的习题就是一个很好的例子，我用了大约一节课的时间来带领学生探讨一道题，虽然只解决了一个问题，但我相信学生的收获并不少。在教学中教师应精心选取例题，在讲评例题前一定给学生思考的时间。所选的例题或一题多解，

8、或便于拓展，或一题多问，这样好的学生可以多一种解法、多一点想法、多做一问。差一点的学生也能通过思考有所收获，通过讲评有所提高。这样例题虽然少了，但学生的思考时间却增加了，能力必然会提高，教师的课堂教学反而轻松了，何乐而不为呢？ 启示二：课后作业要精心安排，教师应给学生认真批改。学生的作业是联系师生的纽带，从学生的作业中教师可以了解学生对知识的掌握情况，可以发现教学的成功或失误；学生通过做作业可以加深对知识的理解，不可否认大多数学生是在做作业中掌握知识和提高能力的，尤其是对初中生来说做作业是不可缺少的。在处理上一个习题的过程中，如果不是事先知道这道习题的多种证法，有一定的拓展性，就不会注意学生的

9、证明方法，如果不是认真批改作业也就发现不了学生的第五种证法。给学生布置作业是应该的，但一定要精心安排，不要过多。一个学生的精力是有限的，学生的学习任务是很繁重的，作业一旦过多，学生大多只能消极应对，甚至抄袭作业来欺骗老师，根本达不到做作业的目的。同样，教师的也是人，教师的精力也是有限的，一位教师要面对一百多名学生，批改作业本来就是一件十分吃力的事，尤其是对于刚刚学习几何证明的学生，学生的反应不一，做法不尽相同，批改起来更加费心。对教师来说认真批改学生的作业是理所应当的，对待个别学生的作业最好还要面批。学生的作业过多，势必影响教师的批改的质量，要么埋头苦干、要么只查不批、要么只能集体讲评。教学的

10、最大悲哀是学生大面积抄袭作业或教师不负责任应付学生。因此，教师对课后作业要精心安排，少留细批，经常面批。这样既给学生思考的时间，让学生感到做作业有用、做作业有趣，又让学生明确老师是不好应付的、不认真做作业是不行的。不给学生抄袭作业的借口和机会。良好的学习习惯的养成不仅有利于学生的成长，同时更有利于教师的教学。在准备作业的时候教师一定要考虑到学生的承受能力，精心准备，对布置的作业一定要认真、细心的批改，要对每一个孩子负责。这样做作业和批作业才能都达到目的。教学质量才能得到保证。 启示三：帮助学生树立自信，教师应给学生营造独立思考、主动探究、共同进步的良好氛围。如果那个不起眼的小女生只是简单的选择

11、一种讲评过的证法，我也就不能发现第五种证法，令我欣慰的是她的自信和班级中的良好氛围。一个班级的学习风气的好坏直接影响学生的学习成绩，初中的学生从众心理很严重，对于在学习上存在困难的学生尤为重要，他们一方面由于学习基础、理解能力、应用能力较差，学习成绩相对落后；另一方面他们自尊心强，什么事都不愿被同伴落下。往往会参看别人的答案，甚至抄袭作业。他们往往相信别人，缺少自信。对这一部分学生要格外重视，要多给他们思考的时间和展示的机会，课堂提问时先让他们回答，批改作业时，多给他们面批的机会。帮助他们树立自信，引导他们独立思考。要允许学生对经过认真思考仍不能解决的作业，可以暂时不做，但决不抄袭，要鼓励同学

12、之间的互相帮助，但决不能代劳。教师要引导学生处理好竞争与合作的关系，给学生营造一个独立思考、主动探究、互相帮助、共同进步的良好学习氛围。 启示四：增补探索性习题要及时，对探究性问题要给学生足够的思考空间。上面的习题具有一定的探索性，在讲评习题的过程中给了学生足够的和思考空间就给学生发现的第五种证法的机会，学生就会感到成功的喜悦，这比什么都重要。实际上在每本练习册的后面都有一定数量的增补习题，做这些具有探索性的习题，对学生的思维发展很有好处。但由于时间关系，教师往往是到期中或期末复习时集中讲评，这样很难达到做这些习题的目的。如果把各节的增补习题及时地布置给学生，把问题分散到每节课中，就会引导学生经常去探讨、去研究。从而激发学生的学习兴趣，培养学生的不解决问题决不罢休的好习惯。对这些有探究性的问题一定要给学生足够的思考空间和思考的时间。同时也给教师一个回旋的余地和提高自己的机会，这是因为在探究问题的过程中学生会提出意想不到的新问题，要回答这些问题不仅需要教学经验更