数学论文从平面向量的引入浅鉴高中数学新教材改革之一隅

1、数学论文:从平面向量的引入浅鉴高中数学新教材改革之一隅    文章摘要：从平面向量的引入浅鉴高中数学新教材改革之一隅 - - - - - - - - - 小议高中数学新教材改革之终极目标 随着人类新型知识体系的构建和形成，新的教育理念正在向传统的教育模式发起挑战，促使其必须进行重大革命，以适应高度发展起来的现任新型知识体系。直到19                   

2、0;     从平面向量的引入浅鉴高中数学新教材改革之一隅 - - - - - - - - - 小议高中数学新教材改革之终极目标 随着人类新型知识体系的构建和形成，新的教育理念正在向传统的教育模式发起挑战，促使其必须进行重大革命，以适应高度发展起来的现任新型知识体系。直到19世纪末20世纪初才发展起来的“向量数学”，以其在物理学、空间物质结构中的广泛应用，而备受人们所观注，进而很快形成了一套具有优良运算通法的数学体系，现已被纳入中学数学基础教程中，成为数学新教材改革的一大闪光点。 一、 人类新知识体系，使得21世纪的基础教育课程结构更加现代化。

3、 按照英国技术预测专家詹姆斯马丁的预测，人类的科学知识在10世纪是每50年增加1倍，在20世纪中期是每10年增加1倍，而当前是每35年增加1倍。他的预测的精确程度还有待考究，但据联合国教科文组织的统计，截止1980年，当代人类知识体系中，人类有史以来100多万年积累的知识占10%，而近30年积累的占90%，而90年代后，人类知识积累速度更加迅速。显然人类新知识体系显现出了前所未有的高度膨胀的短周期效应， 这就使人类基础教育课程结构改革必须跟上时代发展的步伐。 现代电子办公一体化的形成，复印机、传真机、可视电话、移动通信、国际互联网（Internet）以及全球卫星定位系统可谓是真正进入了人们的日

4、常生活。比如，网络时代的产物：E-mail的接发、信息查询（Archie）、登录环球各信息网站（www）等等，这些都标志着的高度信息化社会的到来，大量有用的和无用的信息越来越多，传播越来越便捷，人们获取和传播信息的方式和能力显然与过去有了天地之别，这对现代中学基础教课程教材提供了众多新的课题。 由于刚过去的20世纪，我国教育从中小学到大学基本了停留在18、19世纪的旧知识体系上，不少陈旧知识占去了学生相当多的学习时间，学习知识老化与迅速发展的科学技术极不相称。更加让学子们不能接受的事实是，现在所学的内容在今后56年毕业后，已经陈旧甚至被淘汰。怎样解决这一系列矛盾呢？现代化的电子媒介技术为基础教

5、育课程改革提供了的新的广阔前景，这也许就是人们通常所认为的“教学相长”吧，教育推动了科学技术的进步，同样进步了的科学技术反过来又会推动教育向更高层面上发展。 在现代教育技术支持下，教师一改过去“单一的传授教材知识”转变为“辅以现代媒体技术的现代教材体系”。 目前，新的课程数学教学要求中，明确增加通过“研究性课题”使学生学会提出问题，明确探究方向，体验数学活动的过程，培养创新精神和应用能力。 二、 平面向量的引入，充分体现了高新教材改革的深度和广度。 受新知识体系的影响，作为最近一个世纪才兴起的“向量数学”这套数学体系，以其优良的运算通性，将数学中的“数量”运算与物理中的“矢量”运算有机地结合起

6、来，充分数学作为一门基础性学科的重要地位。 向量作为一种新的量，它不同于数量，数量的代数运算在向量范围不一定能施行，因此在实际教学中，应明确数量和向量的区别，并重新规定了向量的加法、减法、实数和向量的积、向量的数性积和矢性积等运算法则。并在引入二维坐标系后，将向量与坐标紧紧联系起来，增加了向量的渗透性和实用性，更体现了向量运算的价值，下面简单附几例以亨读者。 例1 设ABC是锐角三角形，在ABC外分别作等腰RtBCD、ABE、CAF，在这三个三角形中，BDC、BAE、CFA是直角，又在四边形BCFE外作等腰RtEFG，EFG是直角，求证：（1）GA= AD （2）GAD=1350 （1994年

7、上海市试题） 【简析】：以点A为原点建立直角坐标系（复平面），记G相应的复数为ZG，D相应复数为ZD，如图， ZG=AG=AF+FG =AF+EF =AF+（EA+AF） =AF（1+ ）+BA （-1+ ）ZD=（-1+ ）AD =DA+AD =DB+BA+（AC+CD） =BA+DB+BD+AC =BA+（AF+FC） =BA+AF（1+ ） ZG=（-1+ ）ZD 即 GA= AD ，GAD=1350 。 【评析】：此题将向量与复数二维坐标系完美地结合起来，化繁为简，创造性使用向量完成了证明，值得同学们借鉴。本题也可用传统平几证明方法证明，这里不再赘述。 例2 如图，已知位于同一平面内的

8、正三角形ABC，CDE和EHK（顶点依逆时针方向排列），并且AD=DK。证明：BHD也是正三角形。 （1981年苏联试题） 【简析】：将CAD绕C点逆时针旋转600，易知其得到CBE， AD=BE 且AD、BE夹角为600 又AD=DK DK=AD=BE 且DK、BE的夹 角也是600 再将HBE绕H顺针旋转600，又因为 EHK是正三角形，所以点E转到K，线段EB 与KD重合，即B转到D 于是HB=HD，HB、HD夹角为600 BHD是正三角形。 【评析】：此题巧妙利用了向量与向量的夹角证明了正三角形的结论。实际题中条件“”等价于“在一直线上，”这个条件，读者可以利用初等平几知识进行证明，但

9、均不如向量证法简洁明了。 例3 在半径为15cm的均匀铁板上，挖去一个圆洞，已知圆洞的圆心和铁板的中心相距8cm，圆洞的半径是5cm，求挖去圆洞后所剩下的铁板的重心。 【简析】：如图，以铁板中心O1为原点建立直角坐标系，设挖去圆洞后所剩下的铁板的重心为 O（x,0）及圆洞中心O2 如果在O（x,0）处给一个支持点，根据重心原理，剩下的铁板应该处于力的平衡状态，即其余各力的力矩和应为0 ，则 F1O O1-F2O O2=0 -(*) 这里，F1=×152 F2=×52 O O1= x O O2= 8+x 代入(*)得，x = -1 挖去圆洞后所剩下的铁板的重心为O（-1,0） 【评析】：这实质上是一道物理题的“变题”，利用“物体在平衡时，力矩和为0”来解题，这里力矩就一个向量，正体现了数学作为一门“工具性学科”的基础用途。 高中新教材在引入向量以后，使得平面几何和空间几何中许多定理、公式及一些相关问题变得直观、浅显、易理解。教材还通过布置一定量的“实习作