河南省洛阳市高考数学三练试卷理(含解析)

1、河南省洛阳市2016年高考数学三练试卷(理科)(解析版)、选择题：本大题共 12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。1 .复数Z=(1+i) (1-ai )是实数，则实数 a的值为()A. - 1B. 0C. 1D. ± 12 .下列命题正确的个数为()(1)命题 “ ？ xoC R, x02+|xo| V0” 的否定是 “ ？ xC R, x2+|x| >0" ；(2)若p是q的必要条件，则p是q的充分条件；3 3) a>b是(*) a> (g) b的充分不必要条件.A. 3B. 2C. 1D. 03 .执行如

2、图所示的程序框图，输出的S是下列哪个式子的值()A.C.S=1 + | + ! + +-2 310S=1101 1 1+2+3 + -TD.B.国 1 +6+-+22314 .若an是由正数组成的等比数列，其前 n项和为S,已知a2a4=1,且S3=7,则&=(1?33 I3L-B -T 0 D.155.已知实数x, y满足约束条件若z=3x+y的最小值为4,则实数k=(A. 2B. 1C. - D).5l 5馆分配1人，另两个博物馆各分配2人，则不同的分配方法共有（）A. 15 种 B. 30 种 C. 90 种 D. 180 种8.已知A, B为抛物线y2=4x上异于原点的两个点，

3、O为坐标原点，直线 AB的斜率为2,则 ABO重心的纵坐标为（）42入 2B,9° 3。19.已知函数f （x）=Acos（ cox+（j）（3>0）的部分图象如图所示， 下面结论错误的是（）B.图象f （x）的图象可由g （x） =Acos （cox）的图象向右平移 卞T个单位得到兀C.函数f （x）的图象关于直线 x=对称D.函数f （x）在区间（J）,多）上单调递增10 . 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）48A. 2 B. 6C. 一 D. 一11 .已知点P在双曲线C:三-h一二1 (a>0, b>0)的右支上，Fl, F2分别为双曲线的

4、左、右焦点，若 所2-布2=12a：则该双曲线的离心率的取值范围是()A. 3, +8)B. (2, 4 C. (2, 3 D. (1,312 .已知 f' (x)为函数 f (x)的导函数，且 f (x) =-x2- f (0) x+f' (1) ex-1,若 g(x) =f (x)x2+x,则方程g(_ -x) - x=0有且仅有一个根时，a的取值范围是()A.(一巴 0) U 1 B .(一巴 1 C. (0, 1 D, 1, +8)二、填空题：本大题共 4小题。每小题5分.13. .采用随机模拟实验估计抛掷一枚硬币三次恰有两次正面朝上的概率；由计算机产生随机数0或1 ,

5、其中1表示正面朝上，0表示反面朝上，每三个随机数作为一组，代表投掷三次的结果，已知随机模拟实验产生了如下20组随机数：101111010101100001 101 111110 000011 001 010 100 000 101 101 010 011 001-n TT TT f 5 兀14.已知 a= (cos-, sin -) , b二(cos-T- 666由此估计抛掷一枚硬币三次恰有两次正面朝上的概率是 . . 5兀，一,sin ),贝U | 之一b|=-&y ()15. 若函数f (x)=,二 为奇函数，则f (g ( - 1)二.|(g(K)(2< 0)IL * 41

6、116. 已知数列an满足 a1=7T，an+1=7T7T7TT (nCN),右不等式+-+ta n>0 fez (,n+L) (n anH)n n成立，则实数t的取值范围是 .三、解答题：本大题共 5小题，共70分。解答写出文字说明、证明或验算步骤17. (12分)(2016洛阳模拟)设ABC勺内角A, B, C所对的边长分别为 a,b, 5且$也abc=3,0< 族?京w 6,函数 f ( 0 ) =2sin 2 (-+ 0 ) /3cos2 0 .(1)求角A的取值范围；(2)求f (A)的值域.18. ( 12分)(2016洛阳模拟)今年春节期间，在为期5天的某民俗庙会上，

7、某摊点销售一种儿童玩具的情况如表：日期 2月13日 2月14日天气小雨小雨上销4247午售下量 5556午2月15日阴58622月16日阴转多云60652月17日多云转阴6367由表可知：两个雨天的平均销售量为100件/天，三个非雨天的平均销售量为125件/天.(1)以十位位数字为茎， 个位数字为叶.画出表中10个销售数据的茎叶图， 并求出这组数据的中位数(2)假如明年庙会5天中每天下雨的概率为且每天下雨与否相互独立,其它条件不变.试估计庙会期间同一类型摊点能够售出的同种儿童玩具的件数;(3)已知摊位租金为1000元/个，该种玩具进货价为 9元/件，售价为13元/件，未售出玩具可按进货价退回厂

8、家，若所获利润大于1200元的概率超过0.6 ,则成为“值得投资”，那么在(2)的条件下，你认为“值得投资”吗？19. (12 分)(2016 洛阳模拟)如图，四棱锥 S ABCM, AB/ CQ BC! CD, AB=BC=2 CD=SD=1 侧面SAB为等边三角形.(1)证明：AB± SR(2)求二面角 A- SB- C的正弦值.20. ( 12 分)(2016 洛阳模拟)已知 A ( - 2, 0) , B (2, 0),动点 M满足/ AMB=2 ,| M| ?| M|=T7TCO S 0(1)求|嬴|+|而|的值，并写出M的轨迹曲线C的方程；(2)动直线l ： y=kx+m

9、与曲线C交于P、Q两点，且OPL OQ是否存在圆x2+y2=r2使得l恰好是该圆的切线，若存在，求出r；若不存在，说明理由.21. (12 分)(2016 洛阳模拟)已知函数 f (x) =ekx - 2x (kCR, kw0)(1)若对任意的xC R,都有f (x) > 1,求k的值；(2)对于函数f (x)的单调递增区间内的任意实数x1, x2, x3 (x1x2x3),证明:Vf ' ( x2)v请考生在22、23、24三题中任选一题作答， 如果多做，则按所做的第一题计分.选彳4-1 : 几何证明选讲22. ( 10分)(2016唐山一模)如图， AB与圆。相切于点B, C

10、D为圆。上两点，延长 AD 交圆。于点E, BF/ CD且交ED于点F(I )证明： BC FDB;(n)若 BE 为圆。的直径，/ EBF=Z CBD BF=2,求 ADED选彳4-4 :坐标系与参数方程23. ( 2016洛阳模拟)已知曲线半轴建立平面直角坐标系，直线C的极坐标方程是 p=2,以极点为原点，极轴为x轴的正L的参数方程为firl+ty=2+V3t(t为参数)(1)写出直线L的普通方程与 Q曲线C的直角坐标方程；7二堂I(2)设曲线C经过伸缩变换 , 1得到曲线C',设M (x, y)为C'上任意一点，求x2 -，xy+2y2的最小值，并求相应的点M的坐标.选彳

11、4-5 :不等式选讲 24. ( 2016 洛阳模拟)已知函数 f (x) =|2x - a|+|2x+3| , g (x) =|x - 1|+2 .(1)解不等式|g (x) | <5;(2)若对任意XiC R,都有xzC R,使得f (xi) =g(X2)成立，求实数a的取值范围.2016年河南省洛阳市高考数学三练试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只 有一个是符合题目要求的。1 .复数Z=(1+i) (1-ai )是实数，则实数 a的值为()A. - 1 B. 0C. 1D. ±1【分析】按多项式乘

12、法运算法则展开，化简为 a+bi (a, bC R)的形式，令虚部为 0,求出 a即可.【解答】 解：复数 Z= (1+i ) (1 - ai ) =1+a+ (1 - a) i ,复数 Z= (1+i ) (1 - ai )是实数, 所以a=1,故选C【点评】本题是基础题，考查复数的基本概念以及计算能力.2 .下列命题正确的个数为()(1)命题 “ ？ x°e R, X02+|x0|0” 的否定是 “ ？ xC R, x2+|x| >0" ；(2)若p是q的必要条件，则p是q的充分条件；(3) a>b是(孑)a> (g) b的充分不必要条件.A. 3B.

13、 2C. 1D. 0【分析】(1)根据特称命题的否定是全称命题进行判断(2)根据逆否命题的等价性以及充分条件和必要条件的定义进行判断(3)根据充分条件和必要条件的定义进行判断.【解答】 解：(1)命题“ ？ xoCR x02+|x°| V0”的否定是“ ？ xCR, x2+|x| >0" ；正确, 为真命题.(2)若p是q的必要条件，则q是p必要条件，即p是q的充分条件；正确，为真 命题，(3)当a>b时，(j) a> ()b,不成立，反之当（g a> （J.） b时，a> b也不成立， 44则a>b是（3）a> （） b的既不充分

14、也不必要条件.故（3）错误,44故正确的是（1） （2）,故选：B【点评】本题主要考查命题的真假判断,涉及含有量词的命题的否定，充分条件和必要条件3.执行如图所示的程序框图，输出的<10,退出循环，输出1 +18120,从而得解.的判断，综合性较强，但难度不大.S是下列哪个式子的值（【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的S, n, k的值，当k=11时不满足条件k【解答】解：模拟执行程序，可得:S=0, n=2, k=1 ;满足条件k<10,执行循环体,满足条件k<10,执行循环体,满足条件k<10,执行循环体,k=10;满足条件k<10,执行循环体,n=2

15、2,k=11 ；不满足条件k<10,退出循环，输出故选：B.【点评】本题考查了当型循环结构的程序框图的应用，根据框图的流程判断算法的功能是解 题的关键，属于基础题.4.若an是由正数组成的等比数列，其前 n项和为S,已知a2a4=1,且S3=7,则0=(A.1?B.334C.【分析】先根据等比中项的性质可知a23=a2a4求得a3,进而根据 S=ai+a2+a3求得q,根据等比数列通项公式求得 an,进而求得a,最后利用等比数列的求和公式求得答案.【解答】 解：正数组成的等比数列，则2q>0)且 a 3=a2a4=1 ).1 a3=1 > 0；1又 &=ai+a2+a

16、3=+ +q q1=7,即 6q2 - q - 1=0,解得 q耳，或 q=不符题意，舍去贝U an=a3X q n 3) = (1ai=4;4乂 (1- S- S5=故选：C.【点评】本题主要考查了等比数列的前 n项的和以及等比数列的性质. 考查了学生对等比数列基础知识的理解和运用.5.已知实数x, y满足约束条件若z=3x+y的最小值为4,则实数k=(【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数 z=3x+y的最小值为4,建立条件关 系即可求出k的值.【解答】 解：目标函数z=3x+y的最小值为, y= - 3x+z,要使目标函数 z=3x+y的最小值为4,则平面区域位于直线 y=-3

17、x+z的右上方，即3x+y=4,作出不等式组对应的平面区域如图:则目标函数经过点A),同时 A也在直线y+x-k=0时,故选：C12解得k= 一【点评】本题主要考查线性规划的应用，根据目标函数 z=3x+y的最小值为4,确定平面区域的位置，利用数形结合是解决本题的关键.6.函数 f (x) =3x2ln的图象可能是(【分析】分类讨论，结合导数知识，分析函数的单调性，即可得出结论.【解答】 解：由题意，x>0时，f （x） =3x-2ln2f' (x) =3-, 豆，函数在xv 0 时,0,）上单调递减，在（f (x) =3x- 2ln (-鄢,2?，+8）上单调递增;，函数在（-

18、8,0）上单调递增,故选：B.【点评】本题考查了学生作函数图象的能力，属于中档题.7 .牡丹花会期间，5名志愿者被分配到我市 3个博物馆为外地游客提供服务，其中甲博物馆分配1人，另两个博物馆各分配 2人，则不同的分配方法共有（）A. 15 种 B. 30 种 C. 90 种 D. 180 种【分析】先分配1人到甲博物馆，有5种方法；再将其余4人平均分组，分配到2个博物馆， 根据乘法原理，可得结论.【解答】 解：先分配1人到甲博物馆，有 5种方法；再将其余4人平均分组，有C： + A：=3种方法，最后分配到 2个博物馆，有=2种方法，共有6种方法.根据乘法原理，有 5X 6=30种方法.故选：B

19、.【点评】本题考查排列、组合的实际应用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题.8 .已知A, B为抛物线y2=4x上异于原点的两个点， O为坐标原点，直线 AB的斜率为2,则 ABO重心的纵坐标为（）A. 2B.C.D. 1【分析】由题意可设A (2,yi) , b(IL4,y2),运用直线的斜率公式可得kAB=2,求得yi+y2=2,由 ABO重心的纵坐标为解：由题意可设A (491+选,即可得到答案.22_ T式巧-y2)61 - %) 0 + /2)' yl4y2二2,可得 yi+y2=2,即有 ABO重心的纵坐标为故选：C.【点评】本题考查抛物线的方程和运用，考查直线的斜率公

20、式和三角形的重心坐标的求法, 考查运算能力，属于中档题.9 .已知函数f (x)=Acos( cox+(j) (co>0)的部分图象如图所示，下面结论错误的是(函数的最小周期为(x)fQ 11B.图象(x)的图象可由g (x)=Acos (cox)的图象向右平移亍个单位得到C.函数(x)X的图象关于直线x=对称D.函数(x)在区间(IT2)上单调递增A.【分析】由函数图象可求函数的周期，利用正确公式可求 3,又由题图可知f (一二)二Acos1=k7t , k C Z,可'兀)=0,利用五点作图法可 小，从而可得函数解析式，令3x?04解得函数的对称轴方程，令2kTt -兀w 3

21、x+-77Tw2k兀,kZ,可解得函数的单调递增区间,即可逐一判断各个选项，从而得解.【解答】解：.由题意可知，此函数的周期T=2(1212，解得：w =3,可彳导:f (x) =Acos (3x+(j).又.由题图可知f (77T17利用五点作图法可得：4 -1. f (x) =Acos (3x+7K.令 3x+=Acos (3X7t =7 JT 、+ 4 )12受，解得:=Acos ()兀)=0,£二=卜兀，kCZ,可解得函数的对称轴方程为:477U令2k兀兀w 3x+77U"T<2kTt , kC Z,可解得:k兀一2< x<-kx=k Z,7t7

22、JT 12故函数的单调递增区间为:2兀冬兀- 47%k 兀 -,k e Z.23，对于A,函数f (x)的最小周期为故A正确;对于B,因为g (x) =Acos3x的图象向右平移7T个单位得到y=Acos3 (x7112)=Acos (3x7T丁)=Acos (3x7T7K)=Acos (3x+ 工=f (x),故B正确;对于C,因为函数的对称轴方程为:k无 x=77TY2,kCZ,令k=2,可得函数f (x)的图象关于直线x1对称，故C正确;J-对于D,因为函数的单调递增区间为:2三"k兀HK7K得函数单调递增区间为：12,故函数f (x)在区间12 兀 T,kC Z,令 k=2,

23、可)上不单调递增,故D错误.故选：D.【点评】本题考查由y=Asin (cox+(H的部分图象确定其解析式，余弦函数的图象和性质,三角函数的周期性及其求法，考查视图能力，计算能力，属于中档题.10 . 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是(48A. 2B. 6C.三 D).33【分析】由三视图可知：该几何题是由一个三棱锥截取一个三棱锥剩下的几何体.【解答】 解：由三视图可知：该几何题是由一个三棱锥截取一个三棱锥剩下的几何体.，该几何体的体积 粉><2父2-*X2X1X£=2.故选：A.【点评】本题考查了三视图的有关计算、三棱锥与四棱锥的体积计算公式，考查了推理能

24、力 与计算能力，属于中档题.2211.已知点P在双曲线C:与-工7=1 (a>0, b>0)的右支上，Fi, F2分别为双曲线的左、 1 b?右焦点，若 而:-画2=12a2,则该双曲线的离心率的取值范围是()A. 3, +8)B. (2, 4 C. (2, 3 D. (1,3【分析】根据双曲线的定义结合平方差公式求出|所|=4a , |班|=22,然后根据三角形的边长关系进行求解即可.22【解答】解：:P在双曲线C:三-4=1(a>0,b>0)的右支上，F1,F2分别为双曲线的左、右焦点，若FFI2- PFy=12a2,(所+恒)(而丁有)=12a2,即 2a (FF

25、 + FF?) =12a2,"1 +'I =6a,-PF2=2a，得i r?|=4a, |FF|=2a则满足 | PFJ+| P%| 刁F 1F2I即 2a+4a4 2c,贝U 6aA 2c,贝U e<3:双曲线的离心率 e> 1,-1<e<3,故选：D.【点评】本题主要考查双曲线离心率的计算，根据双曲线的定义结合平方差公式进行转化是解决本题的关键.12.已知 f' (x)为函数 f (x)的导函数，且 f (x) =-x2- f (0) x+f ' (1) ex-1,若 g(x) =f (x)-卷x2+x,则方程g(_ -x) - x

26、=0有且仅有一个根时，a的取值范围是()A.(一巴 0) U 1 B .(一巴 1C. (0, 1 D, 1, +8)【分析】先根据导数的运算法则求出f (x),再求出g (x),根据方程g (L-x) -x=0,转化为 J-x=lnx .利用树形结合的思想即可求出答案. 【解答】解：f (x) =1-x2-f (0) x+f' (1) ex1 -f (0) =f' ( 1) e 1, f' ( x) =x-f (0) +(1) ex1 f' ( 1) =1-( 1) e1+(1) e1.f' (1)=e,.f (0) =f' (1) e 1=1

27、, -f (x) =77x2- x+ex,1- g (x) =f (x) - -x2+x=x2 - x+ex - -x2+x=ex, 2xg ( x) x=0 , a2g (三一-x) =x=g (lnx ), a2-'-p- x=lnx .a2 =x+lnx ,a2分别画出y=一和y=x+lnx的图象, a由图象可知，a=1或a<0,故选：A.考查了学生的分析问题，解决问题二、填空题：本大题共 4小题。每小题5分.13 .采用随机模拟实验估计抛掷一枚硬币三次恰有两次正面朝上的概率；由计算机产生随机数0或1 ,其中1表示正面朝上，0表示反面朝上，每三个随机数作为一组，代表投掷三次

28、的结果，已知随机模拟实验产生了如下20组随机数：101111010101100001 101 111110 000011 001 010 100 000 101 101 010 011 001由此估计抛掷一枚硬币三次恰有两次正面朝上的概率是0.4.【分析】总得事件共有20种，恰有两次正面朝上有101, 101, 101, 110, 011, 101, 101,011共8种，根据概率公式计算即可【解答】 解：总得事件共有 20种，恰有两次正面朝上有101, 101, 101, 110, 011, 101,101, 011 共 8 种，=0.4故据此估计，抛掷这枚硬币三次恰有两次正面朝上的概率故答

29、案为：0.4 .【点评】本题考查了古典概型概率的问题，属于基础题3f 冗/、 f /5 兀5 兀、 Er r-14.已知 a= (cos, sin ) , b= (cos-, sin-),贝U|gb尸 _V3 b bbb【分析】利用两个向量坐标形式的运算法则求得 鼻-大的坐标，再利用向量的模的定义，求得G-国|的值.【解答】 解：:已知 会 (cos邛一,sin3)=, b=(c°s*，sin邛-)=(一662266亭，a- b=(*,°)，| 7 - b|=玄后豆碑灰，故答案为：，之【点评】 本题主要考查两个向量坐标形式的运算，向量的模的定义，属于基础题.15.若函数f

30、(x) =为奇函数，则f (g ( - 1) ) = - 15 .【分析】根据题意，由f (x)是奇函数，可得g ( - 1) =-f (1),计算可得g ( - 1)=- 3,进而可得f (g (-1) ) =-f (3),由x>0时f (x)的解析式计算可得答案.【解答】解：根据题意，当x<0时，f (x) =g (x),f (x)为奇函数，g(- 1) =f (-1) =-f (1) =- 1 1 +2x 1) = - 3,贝U f (g (- 1) ) =f ( 3) =-f (3) =- (32+2X3) =-15;故答案为-15.【点评】 本题考查函奇偶性的运用，解题时

31、不必求出g (x)的解析式，直接由奇函数的性质转化为x>0时的解析式即可.16.已知数列an满足a/anF -;:二)(nC N*),若不等式L+ta n>0 恒成立，则实数t的取值范围是9, +00)【分析】由数列a n满足ai=1,an+i=Cn+L) (n a口+1)* - 、 _. - .一(nC N)，两边取倒数可得:(什1)司n+1=1.利用等差数列的通项公式即可得出an.不等式.再利用基本不等式的性质即可得出.解:由数列a n满足ai=,an+1FT又通而*.(nC N),两边取倒数可得：7 u 一 =1 .Cn+1) an+1 n%.数列&L是等差数列，公差

32、为 1,首项为2.1=2+ ( n 1) =n+1, nan1,'mi) 不等式-y+tan>0化为：t>- (n+支+5)- n+-+5>2Jn*=4,当且仅当n=2时取等号.n V n -(门+十5) w 9.n. .实数t的取值范围若不等式 W+；+tan>0恒成立, .t > - 9.则实数t的取值范围-9, +8).故答案为：-9, +°°).【点评】本题考查了等差数列的通项公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力, 属于中档题.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答写出文字说明、证明或验算步骤17. (12分)(

33、2016洛阳模拟)设 ABC勺内角A, B, C所对的边长分别为 a,b, 5且$也abc=3,0< 族?京w 6,函数 f ( 0 ) =2sin 2(-"+。) Vcos2 0 .(1)求角A的取值范围；(2)求f (A)的值域.【分析】（1）由三角形面积可得由 0W标传W6,得 0wbccosAW6,两式联立可得tanA>1,从而求得A的范围;(2)把 A代入 f (。) =2sin 2 (7 + 0 )-近cos2。，降哥后利用辅助角公式化简，由的范围求得f （A）的值域.【解答】解：（1） . Sa abC=3,界即 bcsinA=6 '则 bc&quo

34、t;，0<杷? aL6,.0<bccosA<6,把代入得：。<牛应1, ginA元 兀“当A=时，化为bc=6,此时成立.7T 兀，AC 丁 君；(2) f (A) =2sin 2 (7T一+A)=1+sin2A - /cos2A=1+2sin一二;cos2A= - -三Vsos2A兀(2A. AC .sin (2A27T2A-JCf (A) C 2 , 3.【点评】 本题考查平面向量的数量积运算，考查三角函数的化简求值，是中档题.18. （ 12分）（2016洛阳模拟）今年春节期间，在为期5天的某民俗庙会上，某摊点销售一种儿童玩具的情况如表:日期2月13日2月14日天

35、气小雨小雨销上4247售午2月15日 2月16日 2月17日阴阴转多云多云转阴5860635556626567午由表可知：两个雨天的平均销售量为100件/天，三个非雨天的平均销售量为125件/天.(1)以十位位数字为茎， 个位数字为叶.画出表中10个销售数据的茎叶图，并求出这组数据的中位数(2)假如明年庙会5天中每天下雨的概率为且每天下雨与否相互独立， 其它条件不变.试估计庙会期间同一类型摊点能够售出的同种儿童玩具的件数；(3)已知摊位租金为1000元/个，该种玩具进货价为 9元/件，售价为13元/件，未售出玩具可按进货价退回厂家，若所获利润大于1200元的概率超过0.6 ,则成为“值得投资”

36、，那么在(2)的条件下，你认为“值得投资”吗？【分析】(1)根据表中10个销售数据，可得茎叶图，从而求出这组数据的中位数；(2)设明年花市期间下雨天数为X,则XB (5,白)，估计明年花市可能有 2天为下雨天，3天为非雨天，即可得出结论；(3)利润大于1200元时x的取值为575或600,求出相应的概率，即可得出结论【解答】解：(1)茎叶图如图所示，所有的数据为 42, 47, 55, 56, 58, 60, 62, 93, 65,67,中位数卷(58+60) =59 -E (X) =5X;=2,，估计明年花市可能有 2天为下雨天，4天为非雨天，估计庙会期间同一类型摊点能够售出的同种儿童玩具的

37、件数2X 100+3X 125=575件；(3)设民俗庙会获得利润为y元销售的件数为x,则y=4x- 1000,由于 y> 1200,得 4x- 1000>1200,得 x>550,，利润大于1200元时x的取值为575或600,由(2) , P (x=575) +P (x=600) =C52 (-) 2 (p) 3+C51 (亍)1 (1-) 4=-+|->0.6 5555625 625在(2)条件下，认为“值得投资”.上午下午【点评】本题考查了茎叶图的应用问题，考查了中位数的计算问题，考查概率的计算，考查 学生分析解决问题的能力，属于中档题.19. (12 分)(2

38、016 洛阳模拟)如图，四棱锥 S ABCM, AB/ CD BC! CD, AB=BC=2 CD=SD=1侧面SAB为等边三角形.(1)证明：AB± SD(2)求二面角 A- SB- C的正弦值.【分析】(1)取AB的中点E,连结DE,推导出BE! DE,AB± SE,由此能证明AB± SD(2)分别以DE, D(k DF所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法 能求出二面角 A- SB- C的正弦值.【解答】证明：(1)取AB的中点E,连结DE,则四边形BCDEM巨形，BE! DE,.SAB为等边三角形，AB± SE,SEn DE=

39、E.ABU面 SER SD?平面 SED.-.AB± SD.解：(2)由(1)知DE! DG 过D作DF,平面 ABCD则DE, DQ DF两两垂直，分别以DE, DCX DF所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则 D (0, 0, 0) , A (2, -1,0), B (2, 1, 0) , C (0, 1, 0),. SD=1, DE=2 SE=/3,-.SD)± SE, . .SD，平面 SAB设平面SBC的法向量i二 (x, y, z),，bc= 2, 0, 0),1,/灰二- 2x-0z=0dV32设二面角 A- SB- C的平面角为 0 ,则 co

40、s 0 =Ids |-|n| .sin 0 =2/7，二面角A- SB- C的正弦值为宣工.7【点评】本题考查异面直线垂直的证明,考查二面角的正弦值的求法,是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用.20. ( 12 分)(2016 洛阳模拟)已知 A ( - 2, 0) , B (2, 0),动点 M满足/ AMB=2 ,4| 前？1 BM|= TT CO S H(1)求I菽|+|三I的值，并写出M的轨迹曲线C的方程；(2)动直线l ： y=kx+m与曲线C交于P、Q两点，且OPL OQ是否存在圆x2+y2=r2使得l恰好是该圆的切线，若存在，求出 r；若不存在，说明理由.【分析】(1

41、)利用向量知识、余弦定理、椭圆的定义即可得出M的轨迹曲线C的方程；(2)直线方程与椭圆方程联立可得(3+4k2) x2+8kmx+4m- 12=0, > 0,由 XiX2+yiy2=0,|即可，求出圆的半径2 口利用根与系数的关系可得：k2=3lD - 8 ,代入> 0成立，得如芍8即可得出结论.【解答】解：(1)设1rij=m, |前|=n , 4|.|AB|=4, I 前？|前=才二2mncos 0 =4,2 o9 ABM中，由余弦定理可得 m+n - 16=2mncos29 =4mncos 8 - 2m"22m+n +2mn=32,-m+n=4j2>-i aS

42、i+i 前i=4 2>i 圆,.M的轨迹是椭圆，且 a=2/2，c=2,.b=2,22的轨迹曲线 C的方程为岂一+2=1;84(2)设 P (xi, yi) , Q (x2, y2),直线代入椭圆方程得(1+2k2) x2+4kmx+2m- 8=0,口 224km |2m2 - S0, 得 8k - m+4>0, Xi+X2=-/，xiX2=丁，1+2/l+2k?m2 - 8k2yiy2=:，l+2k2OP± OQ xiX2+yiy2=0,i+2k2 1+21 产.2 3m - S . k =.82I由&£5_>o 和 8k之-nf+4>0

43、得id2 Al即可.831 I与圆x?+y2=r2相切,1+k3存在圆x2+y2=1,使得l恰好是该圆的切线.【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与圆相切的充要条件、点到直线的距离 公式，考查了分类讨论方法推理能力与计算能力，属于难题.21. (12 分)(2016 洛阳模拟)已知函数 f (x) =ekx - 2x (kCR, kw0)(1)若对任意的xC R,都有f (x) > 1,求k的值;(2)对于函数f (x)的单调递增区间内的任意实数 x1, x2, x3 (x1x2x3),证明:f - f ( K 1 ；<f(*2)<【解答】解：(1) . f (x)

44、的定义域为R, f， (x) =kekx- 2,若k<0时，f' ( x)恒小于零，则f(x)在R上单调递减;【分析】(1)对k分类讨论，研究函数 f (x)的单调性，利用单调性求出函数的最小值，2将f (x) >1恒成立等价转化为 f (x) min> 1,即丁>1,构造函数g (x) =x - xlnx (x> 0),k|2利用导数确定出g (x)的最值，从而判定子=1,即可求出k的值；kf- f ( Xi)i1(2)先证-vf' (x2),运用分析法分析出只要证.kl% 吗J - k (x工2一町x2)- 1>0即可，通过构造函数 h

45、(x) =ex -x - 1 >0在(-8, 0)上恒成立，即可证得-k (x-x2)- 1>0,从而证得(x2)V,即可证得结论当 x>0 时，f (x) V f (0) =1,，不符合f (x) > 1恒成立.若女>0时，令£' (x) =0,得x=ln rt当 x<-ln,f' ( x) v 0,可知 f (x)在(82,丁ln )单调递减,(x) >0,可知 f (x)在(+8)单调递增,f (x) min=f (=ln|_)令称k k k k k.f (x) >1 恒成立，即 f (x) min>1,2l

46、n1构造函数 g (x) =x- xlnx (x>0), . .g' ( x) =1 Inx - 1= - Inx , ，g (x)在(0, 1 )上单调递增，在(1, +00)上单调递减, g (x) < g (1) =1,当且仅当x=1时取得最大值1 ,. k=2.(2)由已知可知，f' ( x2)=kekx3 -2>0,贝U k>0,f ( XnJ - f < K i )先证Vf' ( x2), x2 x1 > 0 >f( Xq) - f( Ki)要证Vf' (x2),一一打只要证 f (x2)-f (x1) v

47、(x2-x0 (keksz 2),即证 kJ 叼丁跖 vk (尤x。kJ 勺,只要证 1 - /(*工叼)v k (x2- xj ,即证 / '叼 吗)-k (x1 - x2)- 1 >0,设 h (x) =ex - x - 1,.1 hz ( x) =ex- 1< 0, .h (x)在(-8, 0)内是减函数，h (x) > h (0) =0,x=k (x1 x2)< 0,1. h (k (x1 x2) >0,f ( X2)一 £( KVf，(x2),叼一勺同理可证f'f ( X2)- 1 K _)f - f (Vf ' ( X

48、2)v工& _ x I町 _ Xc考查了利用导数研究函数的单调【点评】本题主要考查了导数在最大值和最小值中的应用,性以及用导数解决方程根的分布的问题，同时考查了利用构造函数法证明不等式，是一道综合题，有一定的难度.属于难题.请考生在22、23、24三题中任选一题作答， 如果多做，则按所做的第一题计分.选彳4-1 : 几何证明选讲22. ( 10分)(2016唐山一模)如图， AB与圆。相切于点B, CD为圆。上两点，延长 AD 交圆。于点E, BF/ CD且交ED于点F(I )证明： BC FDB;(n)若 BE 为圆。的直径，/ EBF=Z CBD BF=2,求 ADED【分析】(I )根据BF/ CD有/ EDCW BFD,再根据同一条弦所对的圆周角相等即可得出/EBC玄BF口 / BCEhBDF,这样即可得出： BCE与 FDB相似；(I