[教学]测量平差基础参考资料精品文档50页

1、每一位同学拿到误差理论与测量平差基础一书时，脑子里马上就有许多问题涌现：这是一门什么样的课程？学习这门课有什么用处呢？我应该怎样去学好它？故在讲课之前，简单地向大家介绍一下本课程的基本情况。测量平差是测绘专业一门重要的技术基础课， 主要讲授测量数据处理的基本理论和方法， 是理论与实践并重的课程。 通过学习测量平差， 牢固地掌握测量数据处理的理论和方法， 为后续专业课程的学习打下扎实的基础。一、教学内容全书共有十二章：第一章 绪论第二、三章全书的基础知识第四章介绍测量平差理论第五、六、七、八章4 种平差方法第九章各种平差方法的总结第十章讨论点位精度第十一章统计假设检验的知识第十二章近代平差概论根

2、据本科教学大纲的要求，重点讲解第二章第八章以及第十章的内容。二、怎样学好测量平差1. 要有扎实的数学基础。只有牢固地掌握了高等数学，线性代数和概率与数理统计等课程的知识才能学好测量平差， 因此课前要做到预习， 对与以上三门课程有关内容进行复习， 只有这样才能听懂这一节课。2. 听课时弄清解决问题的思路，掌握公式推导的方法以及得到的结论，培养独立思考问题和解决问题的能力。3. 课后及时复习并完成一定数量的习题（准备A、 B 两个练习本）， 从而巩固课堂所学的理论知识。第一章 绪论本章主要说明观测误差的产生和分类， 测量平差法研究的内容以及本课程的任务。第二章 误差分布与精度指标全章共分 5 节，

3、是本课程的重点内容之一。重点：偶然误差的规律性，精度的含义以及衡量精度的指标。难点：精度、准确度、精确度和不确定度等概念。要求：弄懂精度等概念；深刻理解偶然误差的统计规律；牢固掌握衡量精度的几个指标。第三章 协方差传播律及权 全章共分 7 节，是本课程的重点内容之一。重点：协方差传播律，权与定权的常用方法，以及协因数传播律。难点：权，权阵，协因数和协因数阵等重要概念的定义，定权的常用方法公式应用的条件，以及广义传播律 （协方差传播律和协因数传播律） 应用于观测值的非线性函数情况下的精度评定问题。要求：通过本章的学习，弄清协因数阵，权阵中的对角元素与观测值的权之间的关系；能牢固地掌握广义传播律和

4、定权的常用方法的全部公式， 并能熟练地应用到测量实践中去，解决各类精度评定问题。第四章 平差数学模型与最小二乘原理全章共分 5 节。重点： 测量平差的基本概念， 四种基本平差方法的数学模型和最小二乘原理。难点：函数模型的线性化，随机模型。要求：牢固掌握本章的重点内容；深刻理解最小二乘原理中“最小”的含义；对于较简单的平差问题，能熟练地写出其数学模型。第五章 条件平差全章共分 4 节，是基本测量平差方法之一。重点： 条件平差的数学模型, 平差原理 , 基础方程及其解以及精度评定问题。难点：各种不同类型的控制网（水准网，测角网和测边网）中，必要观测数 t 的确定， 非线性条件方程线性化， 以及求平

5、差值非线性函数的中误差。要求：通过本章的学习，能牢固掌握并能推导条件平差全部的公式；能熟练地列出各种控制网中的条件方程并化为线性形式； 并求出平差值、 单位权中误差和平差值函数的中误差。第六章 附有参数的条件平差全章共分 3 节，是基本测量平差方法之一。重点：附有参数的条件平差数学模型，平差原理，基础方程及其解。难点：各种不同类型的控制网中，条件方程个数 c 的确定，函数模型的建立。要求： 了解附有参数的条件平差法的平差原理； 在对各种类型的控制第 3 页网平差时，能准确地确定条件方程的个数； 并熟练地列出条件方程以及组成法方程。第七章 间接平差全章共分 9 节，是基本平差方法之一。重点：间接

6、平差原理、数学模型、基础方程及其解，以及精度评定等内容。难点：测角网、测边网坐标平差和导线网、GPSW间接平差时误差方程的列立及线性化，求参数的非线性函数的中误差。要求： 通过本章的学习， 牢固掌握间接平差的平差原理并能推导全部的公式； 能熟练地列出测角网、 测边网坐标平差的线性化误差方程， 以及参数的非线性函数的权函数式； 并求出参数平差值、 单位权中误差和参数函数中误差。第八章 附有限制条件的间接平差全章共分 3 节，是基本平差方法之一。重点： 附有限制条件的间接平差原理， 函数模型的建立和法方程的组第 5 页成， 以及求参数函数的中误差。难点：误差方程的列立，限制条件个数 s 的确定及方

7、程的列立，求参数函数的协因数。要求： 了解附有限制条件的间接平差原理， 能熟练地列出对各种控制网平差时的误差方程和限制条件方程，并组成法方程。第九章概括平差函数模型全章共分 5 节，是对4 种基本平差方法的综合和总结。重点：附有限制条件的条件平差（概括平差函数模型）函数模型的建立，概括平差函数模型与 4 种基本平差方法函数模型之间的关系。难点： 最小二乘估计量最优统计性质的证明和单位权方差估值公式的推导。要求： 弄清各种平差方法的共性和特性， 以及 4 种基本平差方法函数模型与概括平差函数模型之间的关系。第十章 误差椭圆全章共分6节。重点：误差椭圆、相对误差椭圆三个参数的计算、作法和用途，任意

8、方向划（或我）的位差的计算公式。难点：极值方向爆和你的确定和误差椭圆的作用。要求：通过本章的学习，能熟练地求出任意方向 伊（或吠）上的位差；根据已知待定点坐标平差值协因数阵，准确地计算误差椭圆、相对误差椭圆的三个参数并画出略图，误差椭圆在平面控制网优化设计中的作用。第一章绪论§ 1-1观测误差测量数据（观测数据）是指用一定的仪器、工具、传感 器或其他手段获取的反映地球与其它实体的空间分布有关信 息的数据，包含信息和干扰（误差）两部分。一、误差来源观测值中包含有观测误差，其来源主要有以下三个方面：1 .测量仪器；2 .观测者；3 .外界条件。二、观测误差分类1. 偶然误差定义，例如估读

9、小数；2. 系统误差定义，例如用具有某一尺长误差的钢尺量距；系统误差与偶然误差在观测过程中总是同时产生的。3. 粗差定义，例如观测时大数读错。§ 1-4 本课程的任务和内容一、测量平差的任务处理带有观测误差的观测值，估计待求量的最佳估值并评定测量成果的精度。二、测量平差的内容1. 建立观测误差的统计理论，简称误差理论。研究误差的统计分布，误差的估计与传播；2. 研究衡量观测成果质量的精度指标；3. 建立观测值与待求量之间的函数模型，以及描述观测精度及其相关性的随机模型；4. 研究估计待求量的最优化准则；5. 结合测量实践研究测量平差的各种方法;6. 研究预报和质量控制问题。第二章误差

10、分布与精度指标§ 2-1正态分布概率论中的正态分布是误差理论与测量平差基础中随机变量的基本分布。一、一维正态分布1.概率密度/。数学期望与3 .方差。（工h4 .正态随机变量X出现在给定区间S -ka,4+匕内的概率&§ 2-2偶然误差的规律性第 9 页二，偶然误差的知律性人们从无数测量实践中发现，大量的偶然误差的分布表现出一定的统计规 律。下面通过实例来说明这种规律性。例如，选某测原在相同的观测条件下，独立地观测了 358个平面三角形的全 部内角，每个三角形内角和的真误差可威陵攘,4 =180° -（&十4 十4%（I =1,2，358）又在另一

11、测区观测了 421个三角形全部内角，同理可得：厂 1 酣西 + 4 +4）jU =1,2，421）1 .误差分布表将358个4和421个,分别进行整理;首先按大小排列，然后以MA = 0空0 为区间长度进行分区，再统计各区间内误羞的个数/小“误差出现在某个区 间内”这一事件的频率已43为误差个数工分别得到表2-1和表2-2。从表 中可以看出工Q误差的绝对值有一定的限值，表2-1的限值为Tg表2-2为2飞0绝对值较小的误差比绝对值较大的俣差多3 一生对值相等的正负误差个数相近. J2 .直方图由表2-1、表2-2可以得到直方图2-1和图2-2 （注意纵、横坐标各 表示什么？），直方图形象地表示了

12、误差分布情况。3 .误差分布曲线（误差的概率分布曲线）在一定的观测条件下得到一组独立的误差，对应着一种确定的误差分 布。当观测值个数 的情况下，频率稳定，误差区间间隔无限缩小， 图2-1和图2-2中各长方条顶边所形成的折线将分别变成如图2-3所示的两条光滑的曲线，称为误差分布曲线，随着 n增大，以正态分布第10页为其极限。因此，在以后的讨论中，都是以正态分布作为描述偶然误 差分布的数学模型。4 .偶然误差的特性在一定的观测条件下，误差的绝对值有一定的限值，即F(|A|>A =0刊四®绝对值相等的正负误差出现的概率相同;1龙®矶A） = 0或岫=0?5 .偶然误差的概率

13、密度，假设误差服从正态分布，其概率密度式为（2-2-6）通常认为偶然误差是服从也© M)分布的随机变量“第三章协方差传播律及权在测量实际工作中，往往会遇到某些量的大小并不是直接测定的，而是由观测值通过一定的函数关系间接计算出来的，显然，这些量是观测值的函数。例如，在一个三角形中同精度观测了 3个内角L1, L2和L3,其闭合差w和各角度的平差值分别又如图3-1中用侧方交会求交会点的坐标等。现在提出这样一个问题：观测值函数的精度如何评定？其中误差与观测值的中误差存在怎样的关系？如何从后者得到前者？这是本章所要讨论的重要内容，阐述这种关系的公式称为协方差传播律。§3 1数学期望

14、的传播数学期望是描述随机变量的数字特征之一， 在以后的公式推导中经常 要用到它，因此，首先介绍数学期望的定义和运算公式。其定义是:数学期望的运算公式如下设c为一常敬I则E CC) =C设C为一常数，X为一随机变量，则E CCX) =CE (X)谀有随机变量区和Y,则E (X+F) =E (X) +E (Y) 若随机变量X、Y相互独立，则E =E <X) E C Y)推之 如有随机变量为，&，&西两相互独立，则荀E吗&=E)E(笃)E (玄)§ 3 2协方差传播律从测量工作的现状可以看出：观测值函数与观测值之间的关系可分为以下3种情况，下面就按这3种情况来

15、讨论两者之间中误差的关系。一 ,观茨储线性函数的方差1 .设若观测值向量与具数字期望均和虹曷5差f阵%分别为模有X的线性函通偌+于求绮式中钎咕.&为系雌&为常初均无误差.Z根据方差的定义式匕一 3-1）式有。宓=。=矶（2一或2）鹿一矶0力上式中，2=%匾，而E（X）可根据数学期望运售公式、和由下本求得:第 45 页E CZ =E (KX+Q)=E (KX) +E %)©©=KE CK)/= N盘将Z和E (Z)代AD加得%=叱=况(5一如工)(百一刈工=£依圮-打)工-分厂度口皿上一产Amt二。空/立人/(3-2-4)11上式嬲熏牍为3-2-5)

16、北 当4中各分量%G = L2两两独立时,它们之间的协方差为 = 06看力此时C-2-5) 式为以下形式% =仃/ =比/叮；+ Ro：(3- 2 - d)通常将3-2- (3-2-5)和(3-2-d)等式称为协方差传播律.例33解:X-02其协方差阵由已知条件可知;11 96-1-11.96眇)1 .列出X与E的关系式 由图32可知了 =工-用-仇=-1-12 .由(324)式得-C41一0：卜")=14#n3,若按C3-2-5)计算得a,3 = (-1)2 x 1,96 + (-1)2 x 196 + 2 x l)x ( 1)= 3.92 - 2 = 1.92的“)斤=1.4*H

17、提问：不例能用(326)式计反吗？为什么？二约卜现涕联性礴的协方差阵1,设有观测值向量小 其数学期望内和协方差阵如（3-2-1）式.若有£的上个线性函数如_ Wun（327）式所示.现令=2 口则（3T一力飒互为(3-2-3)2一比较口一22）与（32槟式可以看出：两式的形式完全相同,因此，根据C 3-2-4）式可以零至1|N1(3-210)上式中的D.是匕仝观测值函数的协方差阵，而（3-2-4）式中的。出是Y观测值函数2?11的方差，因此，可以认为（3-2-4）式是（3-2-1Q）式的一种特殊情况.所以棘 （3-2-10：公触方差借播律的一般公式，3.设另有X的7个线性函数Y =F

18、XFCtFl E 11 月由（3210）式可得Dyy = F/ m 妣心y关于z的互协方差阵dyz=?藏期财差阵的定义可知加二 H&T&）意 一£ ）T(3213)(3214)按照以上推导的方法可得Dm = F B亚.(3215)% = tF桂通常将(3-24)、(3-210)和(3-2-15)等式称为协方差传播律。例35弱崛应用协方差传播触式前,首先要写出须测值向量图及其协方差阵;雅 7 , 以方便后面的计瓦口三、非线性画文的情况1,设有观测值向量上的非线性函数 MlZ =J(X)(3-2-21)或 2=fW /；)(3-2-22)已知g的胡方差阵D理，就求Z的方差

19、2.对于以上非统性幽漱的情况1苜先要利用台劳公式,在点处将(3222)式展开为线性形式，如(3223)式.当彳口与X非常接近时，舍去上式中的二次及二欢以上各项，得到(3224)式令冬山”&.依金。,4注图产显然，式与专均无误差. C一2一24)式可以写成(3226)上式与(3-2-2)式完全相同，故可以按(3-2-4)式得到Z的方差已五为(3227)3.若按C32-2E)式设谩侪口dZ,刚(3224：式可骂为dZ =西KdXIs itl十，,十(3 - 2 - 29)可见上式是C3-2-22)式的全微分，其系数阵K与小一2-如)式完全相同.因此，为，未非法件阴散的万差，H单时它先卡竽徵

20、分，侨非线性阚葩什为沫性求物，冉控林石浸恃 布缴国求得该函数的方差口 丸若有t个非线性函数专和个非线性蜂0先求全微分得图3T从本例可以看出:1.对函教式进行全微分时，有时先将函数式取对数，再求全微分更简便：2偏导薮里 的数值是用N的近限值代入后算出的！3,用数值代入计算时，应注意各项的单位要统一.本例中有长度和角度两种单位，应 倒穗艘麴认七为弧度.四、应用由方差传播律的计算步骤根据以上3种情况求方羞或|妨羞阵的计算过程总结出应用协方差传播律的日个计 亶步骤.(略)复习思考题1泡测值向量X的协方差阵是怎样定义的？武说明其中各个元素的含义.2.已知观测值J的中误差为=丐=6%,=。0设£

21、 = 2£+5, "L-2% 2 =£1/,£ =工+匕读求工 工2和£的中误差.外作也1该有观测偏向里£其防方差降为 箝6-1-2Dn =-141-212试分别求下列的教的方差：(1)片=4 + 2k(2)国=4" + £, *上彳1 4d n2.在AAEP中(见图1),包B为已知点，上=7和4为同精度观测值，其中误差为V.瀛糕后P点坐标X、f的胡方差阵3在图2中的2ABC中，直接测得b = 105. + 0,05 = 29町9,士 V1和=12。叮丁±2'阴计算边长C及其中误差5 0第四章 平

22、差数学模型与最小二乘原理第五章条件平差§ 5-1条件平差原理以条件方程为函数模型的方法称之条件平差。条件平差的数学模型根据当4-2的介绍可知: n:观测值个数t:必要观测数r多余观测数，户口；1,函数模型2,随机模型且二元（3 =鬲尸$1-2）（5-1-5）品:单位权方差2.观测值协因辨巴现梃陵 Q'P=i3平差准则为VTPV = nrn（5-1-4）条件平差就是要求在满足小条件方程（512）式的条件下，求函数 *尸旷=扁 的V值口能否直接由（5一1一2）式解算V值喝7回顾线性代戮的知 识，我们的回答是否定的口工为什么？）这是数学中求函数的条件极值问题，用 拉格朗日乘数法可以

23、求蜗足上述条件的V值来。补充知识11：弃格朗日秉强法求函毅2 =/（工小）在满足附加条件仍曲刃=0的情况下的极值问题.根据拉 格的日乘数法，先组成一个新的函数尸=。小）+ 34”）式中N为某一常数（特定），即投格即白乘数,再来求上式的极值,二、基础方程及其解1 .平差值条件方程C5-1-5；式式中的鸟6 -LN为条件方程系数,邕口包,r。为条件方程常教项口2 .条件方程用£ =2去，代入C5-1-5）式，得条件方程C5-1-6）式式中8叱为条件方程闭合差，（5-1-）式和闭合差的矩阵形式分别为；，十用=。,、陛加1 月 刈（5-1-8）PF = AL+ A（5JJ1）rl e 理1

24、,13 .按求函数条件极值的方法引入常数4温一比后切，称为联系数 向量。组成新的函数中=厂'FT-241（月厂十杯9S =（元卫）十，双工，”）求中的极值要用到矩阵微分公式。补充羯识切;矩阵做分公式参阅测量平窟基础（增订本）P511-P512的公式。根据P5L2撒分公式（3）ia叱a/Q&r嗜十串余可得d&Tpr）_ rd（FQ d-V 叶厂 v ） d/' av=VTPVTP="p于是有吧=2尸产-2片工二0 dV最后得到改正数方程V =产= QArK4 .基础方程Cs-1-s）AVW =0rjt Jtl rl rl由此方程解得的V既满足/ VK =

25、皿，又满足条件方程上，+用心5 .法方程将（5-1-3）式代入（5-11）式得到法方程:式中Ng - AQAt, RQ5 改口3与双司,，故也为满教对称方阵。于是有反7斑切y = 3K £ = £4/8.当P为对角阵时.改正薮方程和法方程的纯量形式分别为（5.1-16）式和C 5 1-17）式.以3为例写出以上两方程的具体形式s二、按条件平差求平差值的计算步骤及示例 计算步骤：1 .列出r=n-t个条件方程;2 .组成并解算法方程；3 .计算V和的值；4 .检核。例5-2图5-2注意事项,1闭合差单位要化小,本例的单位是“mm彳2,定权闩=5，表示。=1 (km)用1km观

26、测高差中误差为单位权中误差.3,平差值£ =上十/，应注意L与U单位一致。复习思考题：1,能否直接由条件方程V附三。求解改ZE数向量U?为什幺？ n nl rl ri2一条件平差法是怎样求得改正数向量u的kO述M推需献主义式课外作业：1.在图1中，已知角度独立观测值及其中误差为： =6乃 9'401 G = 30*L& 三 5邛 25'20,， % = 20”4 = 3Qr45M2 %=1(/(1)试列出改正数条件方程；(2)试按条件平差法求的平差值。2.在图2中，A, B, C三点在一直线上，测出了 AB, BC及AC的距 离，得4个独立观测值：% = 2M

27、oi 0鸣4=3003 50取& =3 00 80 股4 =500,090 刑若令100m量距的权为单位权，试按条件平差法确定A, C之间各段距 离的平差值。第六章附有参数的条件平差问题的提出由条件平差知，对于n个观测值，t个必要观测（n>t）的条件平差 问题，可以列出r=n-t个独立的条件方程，且列出r个独立的条件方 程后就可以进行后继的条件平差计算。然而，在实际工作中，有些平 差问题的r个独立的条件方程很难列出。例如，在图1所示的测角网 中，A、B为已知点，AC为已知边。观测了网中的9个角度，即n=9。 要确定C、D E三点的坐标，其必要观测数为t=5,故条件方程的个 数为r

28、=n-t=9-5=4 ,即必须列出4个独立的条件方程。由图1知，三 个图形条件很容易列出，但第四个条件却不容易列出。第七章间接平差§ 7-1间接平差原理§7-2精度评定单位权方差的估值公式二、协隈阵由各基本向量马上之间的关系式，应用协因数传播律，可求得Q ，列入下表中，供查阙.LIFA XALLeB阻i-Q0-Q,i期 ”0 ； BJC3TC0-w1 ciLb0X0盘花"芯： c0良科V-Q现0 M“-力口Q-吗50ALQ-Q0e-e.(N =B PRN =CC)三、平差参数函载的协因数设平差参数函数为：=<7-2-2)对其全微分，得权函数式为:式中，3小应

29、用协因数传播律,得;(7-2-3)可求得平差值函数。的中谩差为(7-2-4)复习思考题：1、间接平差的函数模型和随机模型是什么？2、间接平差法与条件平差法的结果上否一样？为什么？3、证明间接平差法中改正数向量 和平差值向量 不相关。第八章 附有限制条件的间接平差原理本章重点：1、附有限制条件的间接平差原理2、精度评定3、误差方程、限制条件方程的列立在一个平差问题中，多余观测数，如果在平差中选择的参数 个，其 中包含了 个独立参数，则参数间存在 个限制条件。平差时列出 个观测方程和 个限制参数间关系的条件方程，以此为函数模型的平差方法，称为附有限制条件的间接平差第九章概括平差函数模型第九章概括平

30、差函数模型一r概括平差函数的数学模型从前面所述的四种基本平差方法的函数模型可以看出，共有以下匹种类型的条件方程:I GC(3-M)U = w 严由宣AU 忤=0实际上，式(SMJ)的最后两式可以概括整个式子，故取其线性形式式中：取二尸亿。犷*X")且c=m丛 d u <c > ; j系散阵的秩分别为R(A)-C,R(C)-s随机模型仍为口= 5M 7 力1二、基础方程及其解W =N卡凡NnOM -跖筑广巴万明、州+为三、精度谛定单位权方差的估值2 VtFV /,FM复习思考题L四种基本平差方法中，参数u与t的关系是怎样的？2 一能否从概括平差函数模型中得到任意一种平差方法

31、的结果?第十章误差椭圆本章重点：1、误差椭圆的定义2、确定误差椭圆的三个要素3、确定任意方向上的位差 4、相对误差椭圆的应用§ 10-1 概述第一章思考题1.1 观测条件是由那些因素构成的？它与观测结果的质量有什么联系？1.2 观测误差分为哪几类？它们各自是怎样定义的？对观测结果有什么影响？试举例说明。1.3 用钢尺丈量距离，有下列几种情况使得结果产生误差，试分别判定误差的性质及符号：（ 1） 尺 长不准确；（ 2） 尺 不水平；（ 3） 估 读小数不准确；（ 4） 尺 垂曲；（ 5） 尺 端偏离直线方向。1.4 在水准了中，有下列几种情况使水准尺读书有误差，试判断误差的性质及符号：

32、（ 1） 视 准轴与水准轴不平行；（ 2） 仪 器下沉；（ 3） 读 数不准确；（ 4） 水 准尺下沉。1.5 何谓多余观测？测量中为什么要进行多余观测？答案：1.6 （1）系统误差。当尺长大于标准尺长时，观测值小，符号为（ +” ；当尺长小于标准尺长时，观测值大，符号为“ - ” 。（ 2）系统误差，符号为“-”（ 3）偶然误差，符号为“+”或“ - ”（ 4）系统误差，符号为“-”（ 5）系统误差，符号为“-”（ .4（ 1）系统误差，当 i 角为正时，符号为“ - ” ；当 i 角为负时，符号为“+”（ 2）系统误差，符号为“+”（ 3）偶然误差，符号为“+”或“- ”（ 4）系统误差，

33、符号为“- ”第二章思考题2.1 为了鉴定经纬仪的精度，对已知精确测定的水平角45o00'00" 作1.2 次同精度观测，结果为：设 a 没有误差，试求观测值的中误差。1.3 已知两段距离的长度及 中误差分别为 300.465m± 4.5cm 及660.894m士 4.5cm,试说明这两段距离的真误差是否相等？他们的精度是否相等？1.4 设对某量进行了两组观测，他们的真误差分别为：第一组：3, -3, 2, 4, -2, -1, 0, -4, 3, -2第二组：0, -1, -7, 2, 1, -1, 8, 0, -3, 1试求两组观测值的平均误差？、？和中误差？1

34、、？2,并比较两组观测 值的精度。1.5 设有观测向量XL1L2T,已知？L1=2秒，？L2=3秒，?L1L22秒2,试写出其协方差阵D 。22 XX42 01.6 设有观测向量X L1 L2以1的协方差阵D 2 93 ,试写3133 XX03 16出观测值L1, L2, L3的中误差及其协方差L1L2、L1L3和L2L3。答案：2.1 ? 3.62"2.2 它们的真误差不一定相等，相对精度不相等，后者高于前者2.3 1=2.4 2=2.4 ?1=2.7 ?2=3.6两组观测值的平均误差相同，而中误差不同，由于中误差对大的误差反应灵敏，故通常采用中误差做为衡量精度的的指标，本题中？产

35、？2,故第一组观测值精度高2.4 D22 XX422.5 L1 =2,L2 =3,L34,L1L22 ,L1L30 ,L2L33第三章思考题3.1 下列各式中的Li i 1,2,3均为等精度独立观测值，其中误差为试求X的中误差:1(1) X 1_1 1_21_3 ；2 XLL2L3X 2I_1 5,Y L1 2L2, ZL2的中误差12,120 ,设L1L2, t X 丫，试求X, Y, Z和t的中误差。3.2 已知观测值L1 ,3.3设有观测向量L1L2 L3 T ,其协方差阵为分别求下列函数的的方差：(1) Fi L1 3L3；(2) F2 3L2L33.4设有同精度独立观测值向量LLi

36、L2 L3 T的函数为Y SABsnJ,31sin L3Y2ab L2,式中ab和Sab为无误差的已知值，测角误差 1”,试求函数的方差y、y2及其协方差知3.5 在图中 ABC中测得 A A,边长b b, c c,试求三角形面积的中误差3.6 在水准测量中，设每站观测高差的中误差均为 1mm,今要求从已知点推算待定点的高程中误差不大于 5cm,问可以设多少站？3.7 有一角度测4个测回，得中误差为0.42，问再增加多少个测回 其中误差为0.28 ?3.8 在相同观测条件下，应用水准测量测定了三角点 A,B, C之间的 高差，设三角形的边长分别为 &=10km, S2=8km, S3=

37、4km,令40km的高差观测值权威单位权观测，试求各段观测高差之权及单位权中误3.9以相同观测精度A和B ,其权分别为Pa4,Pb 2,已知 B 8",试求单位权中误差0和A的中误差3.10已知观测值向量L的权阵为Pll212 ,试求观测值的权PL41和Pl2答案:3.1 (1)3，,L2L2L2L2L1L33.23.3Dfi22, Df218L227L233.4s2S AB"22 ,sin L3222 .cos L1 sin L1 cot L33.5222 AC cos AA/2_ 222222C sin Ab b sin A c,L2L2 , t .133.6 最多可设

38、25站3.7 再增加5个测回3.8 p 4.0, P2 5.0 , F3 10.0,0 V40 (km) " "3.9 0 5.66 , a 11.313.10 儿 4, p2 £第四章思考题4.1 几何模型的必要元素与什么有关？必要元素就是必要观测数吗？为什么？4.2 必要观测值的特性是什么？在进行平差前，我们首先要确定哪些量？如何确定几何模型中的必要元素？试举例说明。4.3 在平差的函数模型中， n， t， r， u， s， c 等字母代表什么量？它们之间有什么关系？4.4 测量平差的函数模型和随机模型分别表示那些量之间的什么关系？4.5 最小二乘法与极大似然

39、估计有什么关系？第五章条件平差习题5 1指出下图中各水准网条件方程的个敬（水淮网中月表示待定点，为表示观测高差）卬5 2指出下图中各测角按条件平差时提哦案件方程的总数及各类条件的个数t图中:为待 定坐标点）R5.3 如下图所示的三角阚中，& B为已知点，耳耳为待定点，用为已知方位角，语为 已知边长，观测了万个内角，试指出按条件平差时条件方程的总数及各类条件的个敷. i5.4 下图所示的三角阚中，4 B为已知点，FG为已知边长.观德角/（工=1,2,-2。观 测边邑（= 1.2）,则（1）在对该网平差时.共有几种条件？每种条件各有（I个？（2）用文字符号列出全部条件方程（非线性不必线性化

40、）.5.5 高水准阚如图5-22所示，试冽1出该网的改正数条件方程已知数据：国4 =丸100犯=34165阳界=11。1通用=1Js2 = 1.002w , S2 =； % = 0.06加？盾=； hK = l.OOOw，S4 - hn ； = 0.500, S5 = 2。；年=0.560m = 2km ；&=0.504m $ = 2.5,= 1.064怯 SQ = 2.5A?« 5年如下图的水准掰中，测得咎点的高差知 片二L357小，自二2.00前，色二口一35筑， &二 IQOOms,电二一。.657的，工二 1 触明 用二鼻二 1触明 号二 lb% g =2触%

41、设O1,试求士 (1)平差后A B两点间高差的权g (2)平差后除C两点间高差的权5.7有水准用如下图，测得各点间高差为&G = 1,2,J),已算得水准卿平差后高差的防 因敌阵为二13-113 - 3-1-1 112 -3-3 6-3 13-8213-5 22-5 10-410读求1(1)待定点A、& C、D平差后高程的权 (2) C. D两素间高差平差值的权.5.S如图的水港阴中，A、为已知点，砥= 1ZQQQh,月l】2,5QQ. /=146。喀; 高差观测值用=2.50Q洒，出1 = 2Q。赭，饱=L352用：儿=L851切；& = 1km，品=Ito>

42、号二2N,邑二的明 试J安条件平差法求高差的平差值,及6点的精度.5g如图的水淮刚中，A、B、3 D为特定点，独立同精度现测了 6条备线的高差； 用=1,576股，% =2,21加， - -3.800w ,瓦=0,871 网. k5 = -2.438w , 用=-1一35M,试按条件平差法求个高差的平差值5.1 口在下图水准网中，观测高差及路续长度见下表:序号观测高差，世路线长1010.35d耳15.00010弋木一一、刍20.3602.0%14.501/Li,/2.0/产 /I1b/* Jl网4.651/1f1.0人'自5 85(51.0寸一上一%10,5002.0已知A、B的高程为

43、9乂三5。000超,H上=40.000处就按条件平差法求；各高差的平差值：2)平差后F1到P2点间高差的中IS差.第六章思考题6.1 某平差问题有12个同精度观测值，必要观测数t = 6,现选取2 个独立的参数参与平差，应列出多少个条件方程？6.2 有水准网如图，A为已知点，高程为Ha 10.000m,同精度观测了 5 条水准路线，观测值为 hi 7.251m, h2 0.312m, h3 0.097m, h4 1.654m, h5 0.400m,若设AC间高差平差值I?Ac为参数父，试按附有 参数的条件平差法，(1)列出条件方程(2)列出法方程(3)求出待定点C的最或是高程6.3 下图水准网

44、中，A为已知点，P1, P2, P3为待定点，观测了高差%h5,观测路线长度相等，现选择 P3点的高程平差值为参数，求P3点平差后高程的权。6.4 下图水准网中，A为已知点，高程为Ha 10.000m, PiP4为为待 i定点，观测高差及路线长度为： /t ft./hi=1.270m, S1=2; h2=-3.380m, S2=2;“ / , h3=2.114m, S3=1;I Jrh4=1.613m, S4=2;h5=-3.721m, S5=1;h6=2.931m, S6=2;h7=0.782m, S7=2;若设P2点高程平差值为参数，求：（1）列出条件方程；（2）列出法 方程；（3）求出观

45、测值的改正数及平差值；（4）平差后单位权方差及 P2点高程平差值中误差。6.5 如图测角网中，A、B为已知点，C、D为待定点，观测了 6个角 度，观测值为：L1=40 23'58"，L2=37 11'36”，L3=53 49'02"，L4=57 00'05”L5=31 59'00"，L4=36 25'56”若按附有参数的条件平差，（1）需要设哪些量为参数；（2）列出条件 方程；（3）求出观测值的改正数及平差值。思考题参考答案6.6 n=5t=3 r=2u=1c=36.7 n=5t=3 r=2u=1c=3v1+v4+v

46、5+w1=0v2+v3-v5+w2=0v1+v2- x? +w3=06.8 （ 1） v1+v2+v3+4=0v3+v4+v5+6=0v5+v6+v7+8=0v1+v7- x? =0（2）（3） 3） v 1124 0 4 4 T （mm）（4） 02 34.7（ mm2）22QX? 0.5 ， Q X? 17.3（mm ） ，X? 4.2（mm）6.5 （1）设X?ADB, X0 103o10'06"（2） v1+v6=0v2+v3+v4+ v5-17” =0-0.955 v1+ 0.220 v2-0.731 v3+0.649 v4-0.396 v5+ 0.959 v6+2

47、” =0（ 3）法方程：x?=0L?40o23'58.3" 37o11'40.2" 53o49'06.4" 57o00'09" 31o59'04.3" 36o25'55.7"第七章思考题7.1 如图闭合水准网中，A为已知点，高程为Ha 10.000m, P1, P2为 高程未知点，观测高差及路线长度为：h1=1.352m, S1=2 km;h2=-0.531m,S2=2 km;h3=-0.826m,S3=1 km;试用间接平差求各高差的平差值。7.2 图中A、B、C为已知点，P为为待定点

48、，网中观测了 3条边长Li L3,起算数据及观测数据均列于表中，现选待定点坐标平差值为 参数，其坐标近似值为(57578.93m, 70998.26m),学试列出各观测边 长的误差方程式。点尸坐标X / mY / mA60509.596 169902.525B58238.93574300.086C51946.28673416.515边号L1L2L3观测值/ m3128.863367.206129.887.3 下图水准网中，A、B为已知点Pi P3为待定点，观测高差hi h5, 相应的路线长度为4 km, 2 km, 2 km, 2 km, 4 km,若已知平差后每 千米观测高差中误差的估值为3

49、 mm,试求P2点平差后高差的中误差。7.4 在剪接平差中，父与L?, L?与V是否相关？试证明。7.5 有水准网如图，A、B、C、D为已知点，Pi、 P2为待定点，观 测高差 hi h5,路线长度为 Si = S2= S5=6 km, 83= 8 km, S4= 4 km,若 要求平差后网中最若点高程中误差w 5 mm,试估计该网每千米观测 高差中误差为多少？思考题参考答案7.6 R 1.356m, h20.822m,匕 0.534m7.7 27.8 ?0 14 , ?0 3.747.9 每千米观测高差中误差小于3.3 mm第八章思考题8.1 附有限制条件的间接平差中的限制条件与条件平差中的

50、条件方程有何异同？8.2 附有限制条件的间接平差法适用于什么样的情况？解决什么样的平差问题？在水准测量平差中经常采用此平差方法吗？8.3 在图中的大地四边形中，A、B为已知点，C、D为为待定点， 现选取L3, L4, L5, L6, L8的平差值为参数，记为 火1区状望5,列出误差方程和条件方程。8.4 如图水准网中，A为已知点，高程为Ha 10.000m,观测高差及路线长度为：一二一线路h / mS / km12.56312-1.32613-3.88524-3.8832_T _T.一 .若设参数父肥X%H?b h3匕，定权时C= 2 km,试列出：(1)误差方程和限制条件(2)法方程式8.5

51、 试证明在附有限制条件的间接平差中：(1)改正数向量V与平差 值向量？互不相关；(2)联系数人与未知数的函数？ fT及。互不相 关。思考题参考答案8.6 n=8t=4 u=5s=1令L3, L4, L5, L6, L8的参数近似值为X° i 1,2L 5 ,且)？ X0攵, 误差方程为：其中常数项：限制条件：8.7 (1)误差方程限制条件(2)法方程第九章思考题9.1 何谓一般条件方程？何谓限制条件方程？它们之间有什么区别？9.2 什么是概括平差函数模型？指出此模型的主要作用是什么。9.3 某平差问题有15个同精度观测值，必要观测数等于 8,现取8个 参数，且参数之间一个限制条件。若

52、按附有限制条件的的条件平差法 进行平差，应列出多少个条件方程和限制条件方程？其法方程有几 个？9.4 概括平差函数模型的方程数是否和附有参数的条件平差的方程数 一样？其中r、u、c和s各表示什么量？9.5 在条件平差中，试证明估计量L?具有无偏性。思考题参考答案9.6 n=15 t=8u=8s=2应列出 13 个条件方程， 2 个限制条件方程，组成的法方程有 15 个。第十章思考题1.1 1 在某测边网中，设待定点P1 的坐标为未知参数，即义Xi YT,平差后得到*的协因数阵为Q茨0.25 0.15 ,且单位权1 1X?X? 0.15 0.7522方差?0 3.0cm ，（ 1）计算 P1 点纵、横坐标中误差和点位中误差；（ 2）计算P1 点误差椭圆三要素E、 E、 F ；（ 3）计算P1 点在方位角为