《一元二次方程》培优试题

1、一元二次方程培优专题复习考点一、概念 定义：|只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2,这样的整式方程就是一元二次方程。 * * (2) 一般表达式：ax2 bx c 0(a 0)难点：|如何理解“未知数的最高次数是 2” ：该项系数不为“ 0”；未知数指数为“ 2”；若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论典型例题：例1、下列方程中是关于x的一元二次方程的是()21122_2.A、3x12 x 1 B> 2 0 C、ax bx c 0 D、x 2x x 1x x2_2 一变式：当k 时，关于x的方程kx 2x x 3是一元二次方程。例2、方程 m 2x

2、网 3mx 1 0是关于x的一元二次方程，则 m的值为针对练习: 1、方程8x2 7的一次项系数是 ,常数项是 一、一一 m 1 一、一 2、若方程 m 2x 0是关于x的一元一次方程，求m的值： ；写出关于 x的一元一次方程： 。 3、若方程 m 1 x2 Jm?x 1是关于x的一元二次方程，则 m的取值范围是 。 4、若方程nxm+xn-2x2=0是一元二次方程，则下列不可能的是()A.m=n=2B.m=2,n=1C.n=2,m=1D.m=n=1考点二、方程的IT概念：I使方程两边相等的未知数的值,就是方程的解。应用：利用根的概念求代数式的值；典型例题：例1、已知2y2 y 3的值为2,则

3、4y2 2y 1的值为。例2、关于x的一元二次方程 a 2x2 x a2 4 0的一个根为0 ,则a的值为。2例3、已知关于 x的一兀二次方程 ax bx c 0a 0的系数满足 a c b,则此方程必有一根为。例4、已知a,b是方程x2 4x m 0的两个根，b,c是方程y2 8y 5m 0的两个根，则 m的值为针对练习: 1、已知方程x2 kx 10 0的一根是2,则k为,另一根是 。X 1方程的2、已知关于x的方程x2 kx 2 0的一个解与方程 3的解相同。求 k的值;x 1另一个解。223、已知m是万程x x 1 0的一个根，则代数式 m m 。224、已知a是x 3x 1 0的根，

4、则2a 6a 。25、方程abx bcxca 0的一个根为()A 1B 1C b cD a6、若 2x 5y 3 0,则 4x?32y。考点三、解法方法：|直接开方法;因式分解法；配方法；公式法关键点：|降次类型一、直接开方法：| x2 m m 0 , x 布222对于x a m, ax m bx n等形式均适用直接开万法典型例题：222例 1、解万程：1 2x2 8 0；2 25 16x2=0;3 1 x 9 0;2_例2、解关于x的万程：ax b 0.2_2一例3、若9x 116 x 2 ，则x的值为。针对练习：|下列方程无解的是()2222A. x 3 2x 1 B. x 20 C. 2

5、x 3 1 x D. x 9 0类型二、因式分解法 ：x Xi x x20 x Xi,或x x2报程特点：口边可以分解为两个一次因式的积,右边为“0”，、/ 4?工口 、 工12,22 .2 一行程形式：如 ax m bx n , x a x b x a x c , x 2ax a 0典型例题：13例1、2x x 35x3的根为（Cx1一, x232例2、若4x y2 3 4x0 ,则 4x+y的值为变式1 :b2 2b26 0,则a2b2变式2 :0,则x+y的值为变式3 :xyy 14xy28,则x+y的值为例3、方程0的解为A. x13,X2B. xi3,X2C.x13, X23 D.

6、x12, X2例4、解方程:2 .32.3 40得xi,x22例5、已知2x3xy 2y2x0,则一 xy的值为 y变式：已知2x223xy 2y0,且x0,y 0,则的值为x y针对练习:卜列说法中:方程x2px q20 的二根为 x1，x2,贝U x px q(x x1)(xx2)x2 6x(x 2)( x4).a2 5ab 6b2 (a2)(a 3)22/x y (xy)(Jx Jy)(Ux 6) 方程(3x1)2(3x17)(3x 1J7） 0正确的有（）A.1B.2C.3D.4个2、以1百与1<7为根的二次方程是oA. x22_2x 6 0 B. x 2x 6 0 C.2y 6

7、2y3、写出一个次方程，要求二次项系数不为写出一个二次方程，要求二次项系数不为1 ,且两根互为倒数: 且两根互为相反数：4、若实数x、y满足x y 3 x y0 ,则x+y的值为（A、-1 或-25、方程： x2 - xB、-1 或 22的解是C、1或-2D、1 或 22x 6y0 ,求 l ¥的值。、3x y6、已知 76x2 xy J6y2 0,且 x 0, y类型三、配方法2ax bx c 0 a 02. 2b b 4ac2a4a2在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代数式的值或极值之类的问题。典型例题：例、已知x、y为实数，求代数式x22_.y 2x 4y 7的最小

8、值。针对练习:-211 ,八一 11、已知 x *一4 0,则*一 . xxx2、若 t 2 3 3x2 12x 9,则t的最大值为 ,最小值为 类型四、公式法条件：I a 0,且b2 4ac 0公式：xb b2 4ac,a2a0,且 b24ac 0典型例题：例、选择适当方法解下列方程:2_(1)31 x 6. x 3 x 68.2. 一 x 4x 1 0一 2(4) 3x 4x 10 3 x 1 3x 1x 1 2x 5类型五、“降次思想”的应用求代数式的值；解二元二次方程组。 9x 1 3 x21典型例题：例1、已知x2 3x 2 0 ,求代数式-1x一1的值。x 1例2、如果x2 x 1

9、 0,那么代数式x3 2x2 7的值。2例3、已知a是一兀二次万程 x 3x 1 0的一根,2a2 5aa2 1的值。考点四、根的判别式b2 4ac应用于其它根的判别式的作用： 定根的个数；求待定系数的值;典型例题：例1、若关于x的方程X2 2乐x 12例2、关于x的方程m 1 x 2mxA. m 0且m 1 B. m 0例3、已知关于x的方程x2 k 2 x0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是m 0有实数根，则 m的取值范围是（）C. m 1 D. m 12k 0（1）求证：无论k取何值时，方程总有实数根；（2）若等腰 ABC的一边长为1 ,另两边长恰好是方程的两 个根，求 ABC的周长

10、。例4、已知二次三项式9x2 （m 6）x m 2是一个完全平方式，试求 m的值.例5、m为何值时，方程组2 一 2x 2y 6, mx y 3.有两个不同的实数解？有两个相同的实数解?针对练习:2一1、当k 时，关于x的二次二项式x kx 9是完全平方式。2、当k取何值时，多项式23x 4x 2k是一个完全平方式？这个完全平方式是什么?23、已知万程 mx mx 2 0有两个不相等的实数根，则 m的值是:y kx 2,4、k为何值时，方程组 2（1）有两组相等的实数解，并求此解；（2）有两组不相y2 4x 2y 1 0.等的实数解；（3）没有实数解.2 一一 25、当k取何值时，万程 x 4

11、mx 4x 3m 2m 4k 0的根与m均为有理数？2（2012山东德州中考，15,4,）若关于x的方程ax 2（a 2）x a 0有实数解，那么实数 a的取值范围是（2012湖北襄阳，12, 3分）如果关于x的一元二次方程kx2 22k 1 x+ 1 = 0有两个不相等的实数根, 那么k的取值范围是A kv 工 B kv 且 kw 0 C, kv d 工 w kv 且 kw 02 ,22222考点五、方程类问题中的“分类讨论”典型例题：2例1、关于x的方程 m 1 x 2mx 3 0有两个实数根，则 m为，只有一个根，则 m为。例2、不解方程，判断关于 x的方程x2 2x k k23根的情况

12、。例3、如果关于x的方程x2 kx 2 0及方程x2 x 2k 0均有实数根，问这两方程是否有相同的 根？若有，请求出这相同的根及 k的值；若没有，请说明理由。考点六、应用解答题“碰面”问题；“复利率”问题；“几何”问题；“最值”型问题；“图表”类问题典型例题：1、五羊足球队的庆祝晚宴，出席者两两碰杯一次，共碰杯 990次，问晚宴共有多少人出席？2、某小组每人送他人一张照片，全组共送了90张，那么这个小组共多少人？3、北京申奥成功，促进了一批产业的迅速发展，某通讯公司开发了一种新型通讯产品投放市场，根据计 会 一、一 一、1% 1划，第一年投入资金 600万元，第二年比第一年减少 -，第三年比

13、第二年减少一，该产品第一年收入资321 一-、一、一 金名400万兀，公司计划三年内不仅要将投入的总资金全部收回，还要盈利-，要实现这一目标，该产3品收入的年平均增长率约为多少？（结果精确到0.1 , <13 3.61）4、某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克，销售单价每涨 1元，月销售量就减少10千克，针对此回答：（1）当销售价定为每千克 55元时，计算月销售量和月销售利润。（2）商店想在月销售成本不超过 10000元的情况下，使得月销售利润达到 8000元，销售单价应定 为多少？5、将一条长20cm的铁丝剪成两段，并以

14、每一段铁丝的长度为周长作成一个正方形。（1）要使这两个正方形的面积之和等于 17cm 2,那么这两段铁丝的长度分别为多少？（2）两个正方形的面积之和可能等于12cm 2吗？若能，求出两段铁丝的长度； 若不能，请说明理由。（3）两个正方形的面积之和最小为多少？6、A、B两地间的路程为36千米.甲从A地，乙从B地同时出发相向而行，两人相遇后，甲再走 2小时 30分到达B地，乙再走1小时36分到达A地，求两人的速度.考点七、根与系数的关系前提：|对于ax2 bx c 0而言，当满足a 0、0时，才能用韦达定理。一、 、 一, - b c2）王要内谷： x2b,x1x2 常用变形：IIa a22(x1

15、 x2)(x1 x2)4x1x2 ,22211x1 x2x1x2(x1 x2) 2x1x2 一 一 ,x x2x x2|Kx2| &xx2)24x1x2,xx22x；x2x1x2(x1x2),222,x2 x1x1x2(x1 x2)4x1x2xx2>2XiX2应用：整体代入求值。典型例题：例1、已知一个直角三角形的两直角边长恰是方程2x2 8x 7 0的两根，则这个直角三角形的斜边是() A. J3B.3C.6 D. v'6例2、解方程组:22 Xy J X J J。'例3、已知关于x的方程k2 *x22k 1 x 1 0有两个不相等的实数根 x1，x2, （1）求k的取值范围;（2）是否存在实数k,使方程的两实数根互为相反数？若存在，求出例4、小明和小红一起做作业，在解一道二次方程（二次项系数为k的值；若不存在，请说明理由。1）时，小明因看错常数项，而得到解为8和2,小红因看错了一次项系数，而得到解为 应该是多少？-9和-1。你知道原来的方程是什么吗？其正确解例5、已知a2a 1,b2 2b变式:2ab22b1 0,则b一的值为a已知是方程0的两个根,那么针对练习已知a27ab2 7b4 (a的值。2、已知x1,x2是方程 b2x x 9 0的两实数根，求3 x127 x23x2 66 的值。225ab b 3a 14