大学高等数学下考试题库(附答案)

1、选择题（3分10）1 x1.点 Mi2,3,1 到点 M 2 2,7,4 的距离 M1M2A.3B.4C.5D.62.向量ai 2j k,b则有（A. a / bB.a bC. a,bD. ： a,b3.函数y的定义域是A. x, y 1B. x,y 1C. x, y 1D x, y 14.两个向量a与b垂直的充要条件是（A. a b 0 B. ab 0 C. a bD. a35.函数z x3xy的极小值是（A.2B.C.1D.6.设zxsin y1,42A.2B.,22D. 27 .若p级数1,4收敛, n 1 npA. p 1B. p 1C. p 1D. p 18.哥级数n的收敛域为（A.

2、 1,11,1C. 1,1D.1,19.哥级数n在收敛域内的和函数是1A.B.2C.1 x1D.2 x4x 2z 5 0确定，求一z,-z x y5.求微分方程y 3y e2x在yx 010.微分方程xyyln y 0的通解为（）xx _xcxA. y ce B. y e C. y cxe D. y e二.填空题（4分5）B 2, 1,1，则此平面方程为1 .一平面过点 A 0,0,3且垂直于直线 AB,其中点2 .函数z sin xy的全微分是2 、一 3 2八3,一 Z3 .设 z x y 3xy xy 1 ,贝U x y4 .的麦克劳林级数是2 x5.微分方程y 4y 4y 0的通解为三

3、.计算题（5分6）uz z1 .设 z e sin v,而 u xy, v x y ,求一,.x y2_22 .已知隐函数z z x, y由万程x 2y3 .计算sin v'x2 y2d ,其中 D : 2 x2 y2 4 2.D4 .如图，求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积（R为半径）0条件下的特解四应用题（10分2） .3 、.、 .才能使用料最省?1.要用铁板做一个体积为 2 m的有盖长方体水箱，问长、宽、高各取怎样的尺寸时,1且曲线过点 1,-32.1. 线y f x上任何一点的切线斜率等于自原点到该切点的连线斜率的2倍,求此曲线方程试卷1参考答案1 .选择题 CBC

4、AD ACCBD2 .填空题1.2x y 2z 6 0.2. cos xy ydx xdy_ 2_2.3.6x y 9y 14.0 2n1n nrx5. yC1C2x e2x三.计算题z1.xexyysin xy cos x yz xy,e xsin x y cos x y y2yz 1223. d sin d03x5. y e2xe四应用题1 .长、宽、高均为当2m时，用料最省2 .y左3选择题（3分10）1.点 Mi 4,3,1 , M2 7,1,2A. .12B. 132.设两平面方程分别为高数试卷2 （下）的距离M1M 2C. 142y 2zD. 155 0 ,则两平面的夹角为（A.6

5、B.一4C. 一3D. 一23.函数 z arcsin的定义域为（A. x, y 0B.x,y 0y2 1C. x, y 0D.x, y 04.点 P 1,2,1到平面x 2y2z0的距离为（A.3B.4C.5D.65.函数2xy3x2_2 .2y的极大值为（A.0B.1C. 11D.26.设zA.6B.7xC.81,2D.97.若几何级数ar n是收敛的，则（0A. r 1B. r 1 C. rD.8.哥级数1xn的收敛域为（A. 1,1B. 1,1C. 1,1D.1,1A.条件收敛B.绝对收敛C.发散D.不能确定二.填空题（4分5）3 tt 平行，则直线l的方程为1 2tx1 .直线l过点

6、A 2,2, 1且与直线yz2 .函数z exy的全微分为.一一 _22.，3 .曲面z 2x 4y在点2,1,4处的切平面万程为 1 ， 4 .亏的麦克劳林级数是 1 x2三.计算题（5分6）1 .设 a i 2j k,b 2j 3k ,求 a b.2 .设 z u2v uv2 ,而 u xcosy,v xsin y ,求一,一 x y3.已知隐函数zz x, y 由 x33xyz2确定，求222.222_4.如图，求球面 x y z 4a与圆枉面x y 2ax ( a0）所围的几何体的体积四应用题（10分2）1.试用二重积分计算由 y Vx, y 2Jx和x 4所围图形的面积试卷2参考答案

7、一选择题 CBABA CCDBA.二.填空题x 2 y 2 z 11 .1 12xy2 .e ydx xdy .3 .8x 8y z 4.4.1n 0n 2nx35. y x .计算题1.8i3j2k .z2. x2z3x sin ycosy cosy sin y , y3 .2x sin y cos y sin ycos y333x sin y cos y .z3.xyz z2 ,xy z yxyxz2 .z324.a四应用题16.3 .高等数学试卷(下)、选择题（本题共10小题，每题3分，共30分）1、二阶行列式 2-3的值为（）A、10 B、 20C、24 D、222、设 a=i+2j-

8、k,b=2j+3k,则a与b的向量积为（A、i-j+2k B、8i-j+2kC、8i-3j+2k D、8i-3i+k3、点P （-1、-2、1）到平面x+2y-2z-5=0的距离为（A、2B、3 C、4 D、54、函数z=xsiny在点（1, 一）处的两个偏导数分别为4A、C、D、-225、设 x2+y2+z2=2Rx,则,分另1J为（x yA、B、C、D、6、设圆心在原点，半径为R,面密度为的薄板的质量为（2)(面积A= R )A、R2AB、2R2AC、3R2AD、2R2 AA、8、A、1)nn的收敛半径为（n2B、C、1D、3cosx的麦克劳林级数为（2nJ)。氤 B、n2nC、1)n2n

9、x(2n)!2n 1D、9、微分方程（y''）4+（y'）5+y'+2=0的阶数是（A、一阶 B、二阶 C、三阶D、四阶10、微分方程y''+3y'+2y=0的特征根为（A、-2, -1B、2, 1C、-2, 1D、1, -2二、填空题（本题共5小题，每题4分，共20分）1、直线Li：x=y=z与直线L2：3、4、直线L3：重积分212J心z的夹角为21z与平面3x 2y 6z 0之间的夹角为2y2 1的值为n!xn的收敛半径为n人的收敛半径为n 0 n!三、计算题（本题共 6小题，每小题5分，共30分）1、用行列式解方程组-3x+2y-

10、8z=172x-5y+3z=3L x+7y-5z=22、求曲线x=t,y=t2,z=t3在点（1, 1, 1）处的切线及法平面方程3、计算xyd ,其中D由直线y 1,x 2及y x围成.D4、问级数 （1）nsin1收敛吗？若收敛，则是条件收敛还是绝对收敛？n 1n5、将函数f（x尸e3x展成麦克劳林级数6、用特征根法求 y''+3y'+2y=0的一般解四、应用题（本题共 2小题，每题10分，共20分）1、求表面积为a2而体积最大的长方体体积。2、放射性元素铀由于不断地有原子放射出微粒子而变成其它元素，铀的含量就不断减小，这种现象叫做衰变。由原子物理学知道， 铀的衰变

11、速度与当时未衰变的原子的含量M成正比，（已知比例系数为 k） 已知t=0时，铀的含量为 Mo,求在衰变过程中铀含量 M （t）随时间t变化的规律。参考答案、选择题1、D 2、C3、C 4、A 5、B 6、D7、C8、A9、B 10,A、填空题1、ar2 cos 18.8,arcsin - 212、0.96, 0.173653、ji、0,5、x2ce2 ,cx计算题1、-3 2-8解： =2 -5(-3) X -53 -2(-8)-5 =-1387 -5-5-517 2-8 x=-53 =175 3 -2(-8)-5 =-138同理: y=所以,-37 -517 -83 =2762 -5方程组的

12、解为-5-5 z= 4142,z2、解：因为 x=t,y=t 2,z=t所以 xt=1,yt=2t,z t=3t2,所以 xt|t=1 =1, yt| t=1 =2, zt| t=1 =3故切线方程为:y 1 _z2法平面方程为:(x-1 )即 x+2y+3z=63、解：因为D由直线所以D:1<y< 2+2(y-1)+3(z-1)=0y=1,x=2,y=x 围成,y<x<2故：D22xyd 11y xydx dy2y31 (2y y)dy184、解:这是交错级数，因为kxy+2(x+y)=0Vn11sin 0,所以，Vn 1Vn,且limsin-0,所以该级数为莱布尼兹

13、型级数sin 1发散。1 n 51 , sin 当x趋于0时，sin x x,所以1 n11sin71发散，从而一n1,又级数 nn1n 1所以，原级数条件收敛ew 1、解：因为x (12x 2!)1 3x 3!1x n!用2x代x,得:2xe 1(2x)1 2x22 x2!)12(2x) 2!223 3x 3!一 x n!6、解：特征方程为 r2+4r+4=0所以，(r+2) 2=0得重根ri=r2=-2,其对应的两个线性无关解为yi=e-2x,y2=xe-2x所以，方程的一般解为y=(ci+c2x)e-2x四、应用题1、解：设长方体的三棱长分别为x, y, z贝U 2 (xy+yz+zx

14、) =a2构造辅助函数F (x,y,z) =xyz+ (2xy 2yz2、2zx a )求其对x,y,z的偏导，并使之为yz+2(y+z)=0xz+2(x+z)=0与2(xy+yz+zx)-a 2=0联立，由于x,y,z均不等于零可得x=y=zt代入 2(xy+yz+zx)-a 2=0 得 x=y=z=-6a3366所以，表面积为a2而体积最大的长方体的体积为V xyz2、解：据题意dM出其中0为常数初始条件M“工dM.对于 M式dtdM dtM两端积分得ln M t In C所以，M ce t又因为M t 0 M 0所以，M 0 C所以，M M0e t由此可知，铀的衰变规律为：铀的含量随时间

15、的增加而按指数规律衰减高数试卷4 (下)一.选择题：3 10 301 .下列平面中过点(1, 1 ,1)的平面是 .(A) x+y + z= O (B) x + y + z = l (C) x = l (D) x = 32 .在空间直角坐标系中，方程x2 y2 2表示(A)圆 (B)圆域 (C)球面 (D)圆柱面3 .二元函数z (1 x)2 (1 y)2的驻点是(A) (0 ,0)(B) (0,1)(C) (1,0)(D) (1,D4 .二重积分的积分区域 D是1 x2 y2 4,则 dxdy . D(A)(B) 4(C) 3(D) 155 .交换积分次序后0dx j f (x y)dy .

16、11111 yx 1(A)0cly yf(x，y)dx (B)0dy0f(x,y)dx©0dy0f(x,y)dx)ody of(x,y)dx6 . n阶行列式中所有元素都是1 ,其值是 (A) n (B) 0(C) n !(D) 1 8 .下列级数收敛的是 .(D)(A) n1(1)(B)nW © nWUn和Vn满足关系式Unn 1 n 1(A)若 Un收敛，则Vn收敛n 1n 1(B)若 Vn收敛，则Un收敛n 1n 1(C)若 Vn发散，则Un发散n 1n 1(D)若 Un收敛，则 Vn发散n 1n 1,1.1 0 .已知：1 x x21 x(A) 1 x2 x4(B)

17、,则的哥级数展开式为1 x21 x2 x4(C) 1 x2 x4(D)1 x2x4.填空题：4 5 201 . 数z Jx2 y2 1 ln(2 x2 y2)的定义域为2 .若 f (x,y) xy ,则 f (-,1) x3 .已知(x0, y0)是 f (x,y)的驻点,若 fxx(x0, y0) 3,fyy(x0,y0)12, fxy(x0, y°)a 则 当 时，(x°, v。) 一定是极小点.5 .级数Un收敛的必要条件是 n 1三.计算题(一)：6 5 301 . 已知：z xy,求：,.x y计算二重积分n14 x2d ,其中 D (x, y)|0 y v4

18、x2,0 x 2.xn4 .求哥级数（1）n 1二的收敛区间.n 1n5 .求f （x） e x的麦克劳林展开式（需指出收敛区间）.四.计算题（二）：10 2 201 .求平面x2 y+z = 2和2 x+y z = 4的交线的标准方程.参考答案1 . C; 2 . D; 3 . D; 4 . D; 5 . A; 6 . B ; 7 . B ; 8 . C;6a 64.275 . lim Un 0n二. 1 .(x,y) |1 x2 y2 22 . 3 .x四. 1 .解：yxy 1 xylny xy2112.解：44 x2dD24-x2'0dx 04 x2dy2°0(4 x

19、2)dx4xx31633.解：B127012 ,AB00110224 15R 1,当|x|1时，级数收敛，当 x=1时，得 （炉1收敛,n 1 n当x 1时，得n 1 nn5 .解：.因为ex n 0 n!发散，所以收敛区间为（1,1.n 1 nx （,），所以 e x 口n 0 n! n 0 n!).i四.1.解：.求直线的方向向量：s 1j k21 i 3j 5k，求点：令 z=0,得 y=0,x=2,即交点为(2,0.0)，所以交线的标准方程为2.解:110(1)(2) 12 时，r(A)2,(A)3，无解；(2)1,2 时,r(A)（A） 3,有唯一解：x12""1

20、 时，r(A)(A)x1，有无穷多组解：yzC1C2C1C2高数试卷、选择题（3分/题）1、2、3、4、5、6、空间直角坐标系中二元函数（C1,C2为任意常数1表不（Bsin xy圆面交换积分次序后1dx0圆柱面球面0）点处的极限是（不存在1x f(x,y)dy =11dy 0 f (x,y)dx01dy01f(x,y)dxy重积分的积分区域D是n阶行列式中所有元素都是11dy0 f(x,y)dx1dy01,y0 f(x,y)dxdxdy (4)n!7、若有矩阵A3 2, B23, C33,下列可运算的式子是（A ACB CB9、在一秩为r的矩阵中，任r阶子式（A 必等于零C可以等于零，也可以不等于零10、正项级数Un和 Vn满足关系式n 1n 1A若 Un收敛，则Vn收敛n 1n 1C 若 Vn发散，则 Un发散n 1n 1C ABC D AB AC）B 必不等于零D 不会都不等于零Un Vn,则（）B若 Vn收