【高等数学基础】形成性考核册答案(大专科)

1、【高等数学基础】形成性考核册答案【高等数学基础】形考作业1答案:第1章函数第2章极限与连续(一)单项选择题L下列各函数对中，(C )中的两个函数相等.x2 1A.f(x)(7'x)2, g(x) x B.f (x)Vx2 , g(x)C.f (x)In x3, g(x) 3ln x d.f (x)x 1, g(x)1xx分析：判断函数相等的两个条件(1)对应法则相同(2)定义域相同A、f (x) (Jx)2 x,定义域 x | x 0 ; g(x) x ,定义域为 R定义域不同，所以函数不相等;B f (x) 尿 x, g(x) x对应法则不同，所以函数不相等；3C f (x) ln

2、x 3ln x , te义域为 x | x 0 , g(x) 3ln x , te义域为 x | x所以两个函数相等.,、 x2 1 _D f (x) x 1,定义域为 R； g(x) x 1 ,定义域为 x|x R,x 1x 1定义域不同，所以两函数不等。故选C2.设函数f(x)的定义域为(，)，则函数f(x) f( x)的图形关于(C)对称.A. 坐标原点B.x轴C. y 轴D.y x分析：奇函数，f( x) f (x),关于原点对称偶函数，f( x) f(x),关于y轴对称y f x与它的反函数y f 1 x关于y x对称,奇函数与偶函数的前提是定义域关于原点对称设gx f x f x,

3、贝Ug x所以g x f xf x为偶函数，即图形关于 y轴对称故选C3.下列函数中为奇函数是(A. yC. yln(1 x2)分析：A、y x ln(1B) .B.y xcosxD.yln(1 x)x 2) In 1 x2y x ,为偶函数B、y x xcos xxcosx或者x为奇函数，cosx为偶函数，奇偶函数乘积仍为奇函数x x一a aC、y x y x ,所以为偶函数dk y x ln(1 x),非奇非偶函数故选B4.下列函数中为基本初等函数是(A. y x 1B._2C. y xD.1,1,分析：六种基本初等函数(1)c (常值)常值函数(2)(3)x ,为常数一一哥函数ax a

4、0,a 1指数函数(4)loga x a 0,a 1对数函数(5)sin x, y cosx, y tan x, y cot x三角函数arc sin x, 1,1 ,(6)arc cosx, 1,1 ,反三角函数arc tanx, y arc cot x分段函数不是基本初等函数，故 对照比较选C5.下列极限存计算不正确的是(D).d选项不对A.limxC.limx24 1 x2 2皿0B.D.分析:A、已知limx2xx2 2limx2x-2xx2_222x xlimxB、limln(1 x) ln(1 0) 0x 0初等函数在期定义域内是连续的C、limx则网1 x)lim xsin1si

5、n x 1 . lim - sin x 0x x x,1 口 一口口时，一是无穷小量，sin x是有界函数, x无穷小量X有界函数仍是无穷小量lim xsin1.1sinlim px ,令 tx 11一 0, x xsin t lim t 0 t故选D6.当x 0时，变量(C)是无穷小量.B.D.ln(x 2)C. xsin1 x分析；lim f x 0,则称f x为xa时的无穷小量A、sin xlim 1,重要极限x 0 x.1，口B、lim 一,无否大重x 0 xC、D>.1c lim xsin- 0, x 0 x limln( x 2)=ln.1，口无穷小量 xx有界函数 sin仍

6、为无否小重 x0+2 ln 2故选C7.若函数f (x)在点x0满足A.C.lim f (x)f(x0)X xlim f(x) f(x。) x /(A),则B.D.分析:f (x)在点x0连续。f (x)在点xo的某个邻域内有定义lim f (x) lim f (x)x Xo连续的定义：极限存在且等于此点的函数值，则在此点连续即lim f x f x0x X0连续的充分必要条件lim f x f x0limX Xox Xolimx xof x f x0故选A(二)填空题X2 9L 函数 f( X) 9x 3ln(1 x)的定义域是_x|x分析：求定义域一般遵循的原则(1)(2)(3)(4)偶次

7、根号下的量0分母的值不等于0对数符号下量(真值)为正反三角中反正弦、反余弦符号内的量，绝对值小于等于(5) 正切符号内的量不能取 k k 0,1,2L2然后求满足上述条件的集合的交集，即为定义域. X2 9.f (x) ln(1 x)要求x 3x2 9 0 x 臧 x3x 30得 x3求交集 J 3_曰£31 X0 X1定义域为x|x 3222 .已知函数 f (X 1) X2 X,贝Uf(x) x -X.分析：法一，令t x 1得x t 12则 f (t) t 1 t 1 t2 t 则 f XX2 X法二，f(x 1) x(x 1) X 1 1 X 1 所以 f(t) t 1 tc

8、1 X3 . lim (1 )x .x 2x1分析：重要极限limxe,等价式limx 011x： e推广limx a则 lim(1x a)fxxlim0则则11x )flim(1x12x)xlim(1x2x)2x121e24 .若函数f(x) (1x0处连续，则k e分析：分段函数在分段点%处连续limPmximx。klim f x f x0 x /所以limx 0limx 05 .函数yx 1 ,sin x,0的间断点是0分析：间断点即定义域不存在的点或不连续的点 初等函数在其定义域范围内都是连续的分段函数主要考虑分段点的连续性ximmxim x 1(利用连续的充分必要条件)1不等，所以x

9、 0为其间断点limx 06 .若 lim f (x)x x0分析：lim( f (x)x %所以f(x)(三)计算题L设函数lim sinxx 0A,则当xxo时,f (x) A称为 _x x0时的无穷小量A) lim f(x) lim A A AxX xx0时的无穷小量f(x)012求：f(解：f2), f(0),2,f(1). f 00,2.求函数1-的定义域.,2x lg 一x解：y2x 1lg有意义，要求解得则定义域为 x|x 0或xAE ,OA2则上底=2AE一 h故 S -g2ROE2 R22, R2 h22 . R2 h2h2h R R2h23 .在半径为 R的半圆内内接一梯形

10、，梯形的一个底边与半圆的直径重合，另一底边的两个端点在半圆上，试将 梯形的面积表示成其高的函数.解：CD= 2R设梯形ABCD为题中要求的才!形，设高为h,即OE=h下底直角三角形AOE中，利用勾股定理得3sin3x4 .求 limx 0 sin2x解:sin3x lim x 0sin2xsin3x 小 3x lim 3x0 sin 2x2x2xsin3x3xsin2x2x5.求limx 1解:sin(x 1)x2 1lim x 1 sin(x1)xim1(x1)(x1)sin(x 1)6.求 limx 0tan3xxtan3xlimosin3x 1sin3x lim x 0 3x1cos3x

11、7.求 lim x 0,.1解：limx 02xsin xx2 1sin xlim (1x 0x2 1)( 1 x21)lim x 0:(.1 x(v1 x2x1)sin x0lim - x 0(12x2x1)sin x1)Sinxx- x 1 v解：lim()x x 31 lim(- x1x)x 3)(1 -)x limxx3 x(1 -)x x(1 lim x(11) xx。)33 x，1 e3 e9.求呵6x 85x 4解:x 6x 8 lim x 4 x 5x 4x 4 x 2 limx 4 x 4 x 1io.设函数(x 2)2 , x 1f (x) x ,1 x 1x 1 , x

12、1讨论f(x)的连续性，并写出其连续区间.解：分别对分段点 x 1,x 1处讨论连续性(1)lim f x lim x 1 x 1x 1limf xlimx 11 1 0x 1x 11处不连续所以lim fxlim fx ,即f x 在 xx 1x 1(2)_ 2_ 2lim f x lim x 21 21x 1x 1lim fxlimx 1x 1x 1所以lim f xx 1f 1即f x在x 1处连续由(1) ( 2)得f x在除点x1外均连续故f x的连续区间为，1 U 1,2答案:【高等数学基础】形考作业第3章导数与微分(一)单项选择题L设f(0) 0且极限lim2)存在，则lim f

13、(凶(C ) .x 0 xx 0 xA. f (0)B.f (0)C. f (x)D.0 cvx2.设 f(x)在 x0 可导，则 lim f(x0 2h)一3°)(D )h 0 2hA.2f (x。)B.f (x0)C. 2 f (xo)D.f (x0)3.设 f(x) ex,f (1 则lim-fx 0xA. eB.2eC. 1eD.1-e244.设 f (x) x(x1)(x 2)(x 99),则 f (0)(D )A. 99B.99C. 99!D.99!5.下列结论中正确的是(C ).A.若f (X)在点Xo有极限，则在点Xo可导.B.若f(X)在点Xo连续，则在点Xo可导.

14、C.若f (X)在点Xo可导，则在点Xo有极限.D.若f (X)在点Xo有极限，则在点Xo连续.(二)填空题L设函数f(X)2 cn 1x sin -,x0,2.设 f(eX)2x e2 1nx3.曲线f(X)4.曲线f(X)dXJX 1在(1,2)处的切线斜率是5.设y6.设ysin x在(一，1)处的切线万程是4x2x,则 y2x2X(111n x)2, 2- 2 匕 、-x (1 )224(三)计算题1.求下列函数的导数3)ex3(X23)ex3 -2 xx2e2cot x2Xln xy2xln x2csc Xx 2x ln x(4)ln xcosx3 X2Xln2 xx( sin x2

15、xln2) 3(cosx 2X). J2、ln xx2sin x(- 2x) (ln x x )cosx xsin xsin2 x(6) y x4 sin xln x3 sin xy 4x cosxln x2sin xx_2 x3 (cosx 2x) (sin x x )3 In 332x_ _ n 1 nsin xcosx cosnxnsin n xsin( nx)x ,e tan x inex tan xxe2-cos x2.求下列函数的导数1 x2 y e 1 xx. 1 x2in cosx33x22 x 33x tan x一 3 sin x3- cosx y x . x x77y x8

16、 y -x8 8 y 3 x x1 1 1 y -(x x2)3(1 -x2)32 y cos2 ex y ex sin(2ex)x2(6)y cose22y2xex sinex y sinn xcosnx一、2 sinx52xln 5cosx 2xsin y y5s1nx2入sin xe一二2sin xsin2xe2yx2sin y(10)y(x2xln x)22xexan yx ex e xe (_xex In x)3.在下列方程中,y(x)是由方程确定的函数，求2yy cos x e2e2yycosx y sin xy sin xc 2ycosx 2ecos y In xsin y.y

17、In xi cos y. 一 xcosyx(1 sin y In x)2xcosy.y 2siny2yx x2yy(2xcosy2xr)y2 y2xy 2ysin y2xy2cosy(4)Iny_yyy 1In xeyeyy2yy1 x(27ey)(6)y2一 x 一一e sin2yy X sin y.exe cosy.y_ x _ .e sin y3y2ey eyyx ex exeey3y3y2y52y e cosy2y5xln5 y 2y ln25x ln51 2 y ln2 4.求下列函数的微分 dy ： y cotx cscx1 cosx dy (- i-)dx cos x sin x

18、ydyln xsin x1sinx In xcosx2dxsin xarcsin1 xdy1(1 x) (1 x)dx1(1 X)2(1 x)1 x1 x21.x (1 x)2dxln(1 x) 1 ,、两边对数得：In y - ln(1 x) 3y 111()y 3 1 x 1 x1 3 1 x 11y cl(；)3 - 1 x 1 x 1 x y sin2 ex3dy 2sinexex exdx sin(2ex)exdx3 y tan ex.2 x3 22 x32 .dy sec e 3x dx 3x e sec xdx5.求下列函数的二阶导数:(1) y x ln xy 1 In x1y

19、 一 x y xsin x y xcosx sin x y xsin x 2cosx y arctan x1_1 x22x22(1 x ),x2y 3x222y2x3x ln3 y4x2 3x ln2 3 2ln3 3x(四)证明题设f(x)是可导的奇函数，试证 f (x)是偶函数.证：因为f(x)是奇函数 所以f( x) f(x)两边导数得：f ( x)( 1) f (x) f ( x) f (x)所以f (x)是偶函数。【高等数学基础】形考作业3答案:第4章导数的应用(一)单项选择题L若函数f(x)满足条件(D),则存在(a, b),使得f (f(b) f(a)B.在(a,b)内可导D.

20、在a, b内连续，在(a,b)内可导A.单调减少且是凸的C.单调增加且是凸的B.单调减少且是凹的D.单调增加且是凹的2.函数f (x)2x 4x 1的单调增加区间是(D )A. (,2)C. (2,)B.( 1,1)D.( 2,)3.函数y x24x 5在区间(6, 6)内满足(A )A.在(a, b)内连续C.在(a, b)内连续且可导A.先单调下降再单调上升B.C.先单调上升再单调下降D.4.函数f(x)满足f (x) 0的点,单调下降单调上升定是“xMqlCA.间断点B.极值点C.驻点D.拐点5 .设f(x)在(a, b)内有连续的二阶导数，x0(a,b),若f(x)满足(C ),则f

21、(x)在x0取到极小值.A.f(xo)0, f(xo)0B.f(xo)0, f(xo)0C.f(x0)0, f(x0)0D.f(x0)0, f(x0)06 .设f(x)在(a, b)内有连续的二阶导数，且 f (x) 0, f (x) 0,则f (x)在此区间内是(A ).(二)填空题L设 f (x)在(a, b)内可导，x0 (a, b),且当 x x0 时 f (x) 0 ,当 x x0 时 f (x) 0 ,则 x0是 f (x)的极小值 点.2 .若函数f (x)在点Xo可导，且Xo是f(x)的极值点，则f (Xo) 03 .函数y ln(1 X2)的单调减少区间是(，0).24 .函

22、数f(x) ex的单调增加区间是(0,)5 .若函数f (x)在a,b内恒有f (x) 0,则f(x)在a,b上的最大值是f(a).6 .函数f(x) 2 5x 3x3的拐点是 x=0.(三)计算题L求函数y (X 1) (X 5)2的单调区间和极值.令 y (x 1)2(x 5)2驻点x 2,x 5列表：2(x 5)(x 2)极大值：f(2) 27X(,2)2(2,5)5(5,)y+极大-极小+y上升27下降0上升极小值：f(5) 02.求函数y x2 2X令：y 2x 2 03在区间0, 3内的极值点，并求最大值和最小值.x 1(驻点)f (0) 3 f (3) 6f(1) 2最大值f (

23、3)6最小值f (1)27 .试确定函数y ax3 bx2 cx d中的a, b, c, d ,使函数图形过点(2, 44)和点(1, 10),且x 是驻点，x 1是拐点.44 8b 4b 2x da 110 a b c db 30 12a 4b cc 16240 6a 2b8 .求曲线y2 2x上的点，使其到点 A(2, 0)的距离最短.解：设p(x,y)是y2 2x上的点，d为p到A点的距离，贝U： d . (x 2)2 y2,(x 2)2 2x人, 2(x 2) 2x 1 八令d 22012«x 2)2 2x (x 2)2 2xy22x上点(1,2)到点A(2,0)的距离最短。

24、9 .圆柱体上底的中心到下底的边沿的距离为L,问当底半径与高分别为多少时，圆柱体的体积最大?设园柱体半径为 R,高为h,则体积VR2h(L2 h2)h令：V h( 2h) LA. ln x B. 4 C. 1 D. h2L2 3h2 0L 局 h 3 LR J2L当h 1,R J2L时其体积最大。:33310 一体积为V的圆柱体，问底半径与高各为多少时表面积最小？设园柱体半径为 R,高为h,则体积_ 2_2_ V_2V R2hS表面积2 Rh 2R22R2R2令：S 2VR 2 4 R 0VR3R23x11 欲做一个底为正方形，容积为62.5立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省?解：设底连

25、长为x,高为ho则：62.5 x2h侧面积为：S x24xh62.5250令 S 2x 250 0xxx 125 x 5x答：当底连长为5米，高为2.5米时用料最省。(四)证明题L当x 0时，证明不等式x ln(1 x).0)证：由中值定理得：n1-x) ln(1 x) ln11(x (1 x) 11ln(1 x) 1x ln(1 x)(当 x 0时)x2.当x 0时，证明不等式 ex x 1 .设f (x) ex (x 1)f (x) ex 1 0(当 x 0时)当 x 0Btf(x)单调上升且 f (0) 0f (x) 0,即ex (x 1)证毕【高等数学基础】形考作业4答案：不定积分定积

26、分及其应用第5章 第6章 (一)单项选择题1L若f(x)的一个原函数是 一，则f (x)(D ).x2.下列等式成立的是(D )A f (x)dx f(x)B. df (x) f (x) C. df(x)dx f(x) D. f(x)dx dxf (x)3.若 f (x) cosx ,则 f (x)dx (B ).A. sinx c B.4. x2 f (x3)dx dxcosx cC. sin xc D.cosx cA. f (x3) B.2 一 3x2 f (x3) C.5.若 f (x)dxF(x) c,则1 .-f(x) D.31.f (、 x)dx x3 f(x3)(B ) .A. F ( . x) cB. 2F(.、x)C.F(2、,x) c D.-F(Vx) c 、xi.2.3.4.5.6.6.由区间a,b上的两条光滑曲线 面积是(c).bA. f (x) g(x)dxabC.af (x) g(x)dx(二)填空题L函数f(x)的不定积分是B.D.f (x)dx.f(x7Dy g(x)以及两条直线 x a和x2 .若函数F(x)与G(x)是同一函数的原函数，则X2X23 . d e dx e4. (tan x