一元二次方程的认识

1、【例题1】【基础、提高】判断下列方程是否一元二次方程：【例题 2】(1)x3 x20(2)0x22x 3 0【例题 3 (3)3x2 40(4)x22x 3y 4y2【例题 4 】(5) -2 0(6) jxl 4x 1 x 1【分析】(1)不是。因为最高次数是3【分析】(2)不是。因为二次项的系数是 0【分析】(3)是的。符合一元二次方程的定义【分析】(4)不是。含有两个未知数【分析】(5)不是。不是整式方程【分析】(6)不是。不是整式方程【分析】【精英】判断下列关于x的方程何时为一元二次方程：【分析】(1)mx3x2 0(2)0x2 2mx 3 0【分析】(3)(m21)x2 40(4)x

2、2 2x (4 m 3n)y(m 5n)y2【分析】(1)当m 0时。最高次数是2,是一元二次方程。【分析】(2)不是。因为二次项的系数是 0【分析】(3)当m2 1 0,即m 1时，符合一元二次方程的定义【分析】(4)这里出现了 x、y两个未知数比较特殊，如果未知数 y前的系数均为0,那么就符合一元二次方程的定义。4m 3n。，解得m 0,即当m、n均为0时，其 m 5n 0n 0为一元二次方程。【例题5】【基础】方程x(x 1) 2x 1化成一元二次方程的一般式是【分析】x2 x 1 0【分析】【提高、精英】把方程(x狗(x画(x 1)2 0化为一元二次方程的一般形式是_【分析】原方程化为

3、x2 5 x2 2x 1 0 ,整理得到2x2 2x 4 0 0【分析】注意：不能写为x2 x 2 0,因为两个方程的系数是不一样的。【例题6】【基础、提高】方程x2 2x 1 x(x 1)是一元二次方程吗？【分析】一个方程是一元二次方程，必须满足两个条件：它是整式方程，方程中含有一个未知数且含未知数项的最高次数是2。判断一个只含一个未知数的整式方程是不是 一元二次方程时，通常应先将这个方程整理成所含各项的次数不同的形式，再观 察含未知数项的最高次数是否为2。由于本题所讨论的这个方程经整理后为3x 1 0,其中含未知数项的最高次数是1 ,所以它不是一元二次方程，而是一元 一次方程。【分析】【精

4、英】已知方程2xab xab ab 0是关于x的一元二次方程，则对应a、b的值有()【分析】A.2组B.3组C.4组D.5组ab 2a b2a b2ab1ab0、【分析】本题有5种情况：，这5个万程组都ab 2a b1a b0ab2a b 2有解，且各不相同，所以选Do【例题7】指出方程(1 2x)(x 2) 3x2 1,(ax b)(bx a) 0(ab 0)的二次项系数、一次项系数及常数项。【分析】原方程可变形为x 22x24x3x21,整理，得5x2 3x 1 0,所以，二次项系数是5 , 一次项系数是3 ,常数项是1。【分析】原方程可变形为abx2(a2b2)xab0 ,所以，二次项系

5、数是ab, 一次项系数是a2 b2,常数项是ab。【例题8】【基础】关于x的方程(a2 1)x2 (a 1)x 3 0当a 时是一元二次方程，当a时是一元一次方程。【分析】当a2 1 0即a 1时，原方程为一元二次方程。【分析】当a2 1 0而a 1 0时，即a 1时，原方程为一元一次方程。2【分析】【提图】万程(a 1)xa 1 2ax 3 0是关于x的一元二次方程，则a的值为【分析】由题意可得：a2 1 2,且a 1 0,解得a 1【分析】【精英】当m 时，关于x的方程(m2 4)x2 (m2 2m)x 4 m 0是一元二次方程；当m 时，这个方程是一元一次方程。【分析】由一元二次方程的定

6、义，二次项的系数不等于零，即 m2 4 0,可得m 2。若原方程是一元一次方程，则二次项的系数等于零，且一次项系数不为零；即2 m2 m2m00【例题9 【基础】已知关于x的一元二次方程(m 2)x2 3x m 4 0有一个根是0,求m的 值。【分析】把x 0代入方程(m 2)x2 3x m 4 0中，得到m 4 0,解得m 4 ,再将m 4代入原方程，得到2x2 3x 0 ,为一元二次方程，所以m 4 o【分析】【提高、精英】已知x 1是一元二次方程(a 2)x2 (a2 3)x a 1 0的一个根，则【分析】a 【分析】将x 1代入方程，得(a 2) (a2 3) a 1 0,解得a 2

7、,但应有a 2 0 ,因此【例题10】根据题意，列出方程(不求解)【例题11】(1) 一个矩形花园，面积为100cm2,长比宽多4cm,求花园的长和宽【例题12】(2)有一个矩形，面积为54m2,若将它的一边剪短5m,另一边剪短2m ,恰好变 为一个正方形，求这个正方形的边长。【例题13】(3) 一个直角三角形的斜边长 7cm, 一条直角边比另一条直角边长 4cm,求两条 直角边的长度。【分析】(1)设长方形的宽为xcm ,其方程为x(x 4) 100【分析】(2)设正方形的边长为xm ,其方程为(x 5)(x 2) 54【分析】(3)设直角三角形的较短的直角边的长为 xcm,其方程为x2 (

8、x 4)2 72【例题14】若方程x2 2ax 1 0的一个根与它的倒数相等，则a的值为【分析】一个数与它的倒数相等的数是1,因此方程x2 2ax 1 0的根是1或1,分别代入得到【分析】 a 1。【例题15】【基础】已知2是关于x的方程3x2 2a 0的一个解，求a2 2a 1的值。2【分析】 把x 2代入方程中得3 22 2a 0 ,解得a 3,将a 3代入a2 2a 1,得到 22a 2a 1 14【分析】【提高、精英】已知a是方程x2 2008x 1 0的一个根，求a2 2007a 等的值。a 1【分析】因为a是所说方程的根，所以a2 2008a 1 0 ,故a2 2008a 1 ,由

9、此得到2,2200820081 a a 1【分析】 a 2007a (2008 a 1) 2007a a 1 - a2 1(2008 a 1) 1a a(2008a 1) a 1分析 2007a【分析】温馨提示：求a 1 1也可用下面的方法：因a 0,将a2 2008a 1 0两边同除以a,a11易得到一a 2008，故 a1 a 1 ( a 2008) 2007。aa【例题16】若方程x2bx 1 0与方程x2x b 0至少有一个相同的实数根，求实数 b的值。【分析】假定这个相同的实数根为x x。，则将它代入两个方程，得到两个关于设、b的等式，视它们为关于x0、b的方程组，即可求出b的值。【

10、分析】 设x %是两个方程相同的根，则有【分析】x02 bx0 1 0 , x02 x0 b 0。(*)【分析】两式相减，得(b 1)x0 1 b 0 ,即(b 1)(x0 1) 0,所以b 1或1 o【分析】 当b 1时，两个方程都是x2 x 1 0。这个方程无实根，故b 1不合题意。【分析】当X0 1时，代入(* )式中任何一式，都可以解得b 2,所以b 2【例题17 (2006年浙江省竞赛题)兀二次方程ax2 bx c 0 (a 0)中，若a、b都是偶数,)B.没有整数根D .没有实数根c是奇数，则这个方程(【例题18】A.有整数根【例题19】C.没有有理数根【分析】 Bo假设有整数根，

11、不妨设它的根是2k或2k 1 (k为整数)，分别代入原方程得方 程两边的奇偶性不同的矛盾结果，所以排除 A；若a、b、c分别取4, 8, 3,则排除C,D 。故选B【例题20】【基础、提高】方程(x 1)(x 3) 0的根是【分析】x 1 0或x 3 0,所以x 1或x 3。【分析】【精英】(2007年数学周报杯竞赛题)已知三个关于x的一元二次方程222ax2 bx c 0 , bx2 cx a 0 , cx2 ax b 0恰有一个公共实数根，则亘一 J的 bc ca ab值为【分析】设x0是它们的一个公共实数根，则ax。2bx。c 0 ,bx。2c%a 0,cx。2a%b 0。把三个式子相加

12、，并整理得(a b c)(x02x0 1) 0。因为 x02(x00,所以222a b c 0。于是里 bc ca ab333333a b c a b (a b)abcabc3ab(a b)。3abc【练习1】【基础】下列方程是关于x的一元二次方程的是(B. (x a)(x a) (x b)(x 2b)_,2 _ 2 _ _D . (a1)x2x 3 0【练习 2】A. (a 1)x2 (a 3)x 3 0【练习3】C.Ux4 6x2 1 02【分析】D【分析】【提高、精英】下列方程x2 2 0 x(2x 1) (x 1)(2x 3)(x 1)(x 2) 0 x2 (石1)x 1 02x2 -

13、 1 0其中是一元二次方程的有x【分析】 【练习4】判断下列方程是不是一元二次方程.如果不是，请说出为什么.【练习 5 (1) 2x2 3x 1 0 ；一4 1 ； 1 x2 0 ； 5x2 0 ；x 3【练习6】(5) x2 y 0 ( xft y都是未知数)；(x 3)2 (x 3)2;【练习7 mx2 3x 2 0 ( m是系数)；【练习8】(8) (a2 1)x2 (2a 1)x 5 a 0 ( x是未知数).【分析】是分式方程，是二元方程，整理后是一元一次方程，当m 0时是一元二次方程，当m 0时是一元一次方程，因为a2 1 0永远成立，所以无论a为何值, 方程(a2 1)x2 (2

14、a 1)x 5 a 0都是一元二次方程.，是一元二次方程.【练习9】【基础】关于x的方程(a2 1)x2 2x 1 0当a,它是一元二次方程。【分析】 a 1【分析】【提高】m为何值时，方程x2 mx(2x m 1) 0是一元二次方程，当m为何值时，此方程是一元一次方程。【分析】原方程可以化为(1 2m)x2 (m2 m)x 0,当1 2m 0时，方程为一元二次方程，即m 1;当122m 0时，方程为一元一次方程，即m L2 m m 02【分析】【精英】方程(m 2)x|m 3mx 1 0是关于x的一元二次方程，求二次项系数、一次项系数及常数项的积。【分析】Q (m 2)x网3mx 1 0是关

15、于x的一元二次方程，【分析】 m应满足m 2 ，则m 2 m 2 0【分析】当m 2时，原方程为4x2 6x 1 0,所以二次项系数为4, 一次项系数为6,常数项为1,因此它们的积威4 6 1 24。【练习10】【基础、提高】若一元二次方程(m 2)x2 3(m2 15)x m2 4 0的常数项为零，则 m的值为.【分析】由题意得到：m 4 0,解得m 2 om 2 0【分析】【精英】若x2ab 3xab 1 0是关于x的一元二次方程，求a、b的化【分析】分以下几种情况考虑：【分析】2ab2,ab2,此时a4 ,b2;33【分析】2ab2,ab1 ,此时a1 ,b0 ;【分析】ab2 ,2ab

16、1 ,此时a1 ,b1 .【练习11】若关于x的一元二次方程(m 扬x2 3x m2 2 0有一个根为0,求m的值。【分析】 把x 0代入方程得m2 20, m 夜，而m72时，m72 0不合题意，舍去。所以，mJ2。【练习12】已知关于x的方程ax2 bx c 0有一个根为1 ,另一个根为1 ,则 a b c , a b c , a c 【分析】把x 1代入得a b c 0,把x 1代入得a b c 0 ,两式相加得2a 2c 0 ,即a c 0。【练习13 若a(a 0)是方程y2 by a 0的一个根，则a b的值为【分析】 把y a代入方程得，a2 ab a 0,因为a 0,所以a b 1 0,即a b 1。【练习14 已知一兀二次方程ax2 bx c0的一个根是1 ,且ab满足 b 4a 2 42 a 3,试求方程1 y2 c 0