第五章习题与复习题详解(矩阵特征值和特征向量)----高等代数

1、习题1) (1)若A2 = E,证明A的特征值为1或1;(2)若A2 = A,证明A的特征值为0或1.证明(1) A2 E 所以A2的特征值为1,故A的特征彳t为12) )A2 A所以两边同乘A的特征向量X,得A2X AX,即 2X X(2 )X 0,由于特征向量非零，故20即於12.若正交矩阵有实特征值，证明它的实特征值为 1或 1.证明设W正交阵，故有AT A E, AT A 1AT与A有相同的特征值， ，11故设A的特征值是，有=-,即 13.求数量矩阵 A=aE的特征值与特征向量解设A是数量阵，则A aEa0L00aL00LL00LLaaL0 a L0LL0LL000a所以：特征值为a

2、(n重)，A 属于 a的特征向量为k 1(1,0,0) T + k 2(0,1,，0) T +kn(0,0,1) T , (k1, k 2，k n不全为0)4.求下列矩阵的特征值与特征向量11 3(1)0120023 242024 23122(3) 212221212(4) 53 31 02自a2Mbib2 Lbn ,其中a1a2Mananb1bn“，(a10,b10)且 T 0.Mbn解(1)1312 1, 3 2,分别彳t入AX=0,求得120,求得特征值为02A属于特征值1的全部特征向量为 k(1,0,0) T, (k 0)A属于特征值2的全部特征向量为 k(1 , 2, 1)T, (k

3、 0)解(2)1C1C3按第一列展方求得特征值:将其代入(A1时,X8时,解(3)(1解得:1 1,代入(A(1E)Xk11,E)XA属于特征值-1为 k(1,-1,1)解(4)1,0,求得特征向量:k20,(1)2(8)1匕*2不全为零(1(1)(1求得特征向量:的全部特征向量为k(1,-1,0)(k0)；(k 0); A属于特征值3的全部特征向量为A属于特征值Tk(0,1,-1)的全部特征向量(k 0)21253037 52321直接展开：(1)2(1)31特征值为-1(5)a1-1,-1;A属于特征值-1的全部特征向量为k(1,1,-1) T, (k0)a2bb2ManaQa2b1anb

4、1为A的任一特征值,A的属于aBa2b2Lanb2aha2bnanbn的特征向量为:A2A2二0,)T TahabLahahab2Laha2ba2b2La2bna2ba2b2La2bnLLauuifiubWiu0LLanb1anb2Lanbnanb1anb2Lanbn0,0,A的所有特征值为0.因为特征向量所以即矩阵ELbib2bn解得基础解系:b2b3bnb1b1b11000，2.,Ln-101MMM001特征值为0 （n重）；A属于n重特征值0的全部特征向量为:b2bbn耳百及1000 + k21+ ,一 + k n10MMM001(ki, k2,kikn 1不全为零）5.设（1）求A勺特

5、征值与特征向量； 求E A 1特征值与特征向量.解(1 )c3c241(1) &9(1)(5)(1)3221,351代入特征矩阵:222111A E故属于2220002220001的特征向量为11k1 1k2 0(k1,k2不全为 0)01将1代入特征矩阵：422211A 5E 2421 21224000属于35的特征向量：1k 1(k0)1114(2) E A 211121的一个特征向量.求k及X所对应的特征值112的特征值为:1 1 2,1 - -5 56.已知12是矩阵A471的一个特征值，求a的值.7 1241A 12E471214a41217.已知X = k是矩阵A =1Q

6、12是A的特征值， A 12E 0AX X21111121 kk112112k12,k2 1,代回得I 2k 1 k 解得：k11k2k12 k2 1II 24习题1. 判断习题第题中各矩阵能否与对角矩阵相似. 如果相似，求出相似变换矩阵与对角矩阵.1）特征值 12 1只有一个线性无关的特征向量，不能对角化2）二重根121 有两个线性无关的特征向量，可以对角化相似变换矩阵为1 12100P 201 对角阵为 0100120083）矩阵有三个互异的特征值，故可以对角化.1 10100P 111 对角阵为 01 00110034）不能对角化5） n1重根0有 n1个线性无关的特征向量，所以可以对角

7、化P,使P 1AP为对角阵2.判断下列矩阵是否与对角阵相似，若相似，求出可逆矩阵211(1) A020413112(2) A0100012A E|0410(232(1)(2)21, 2322寸，R(A E) 1所以该矩阵可以对角化代入12 2,31解得对应的特征向量分别为:111(4k20,k00411 1 1所以：可逆矩阵 P 4 0 00 4 1解(2)112A E 0100011时，R(A E) 1 故该矩阵不能对角化(1)3(3) A是一个3阶矩阵，已知 A的特征值为别为1X12 ,X21,1,0, A属于这3个特征值的特征向量分012 ,X3112100100000000(P|E)5

8、1621001404.计算（k为正整数）.解122A E 212221(5)(1)22W,(AE) 22解得特征向量：11=k1 1K2 001，k1,k2012(5) 0100解A有三个互异的特征值，所以可以对角化01001024 21 014220110000004 22叫,(A E) 2422 24解得特征向量:1=k 11121k1 2 2-11 12 1 2= 10 12 2 101 1k 333112333111333(1)k A与B相似，故A与B有相同的特征多项式，即: ( 1)k 1 5k -1211 ( 1)k05k 11 23k k0( 1)k5k 1112(1)k 15k

9、(1)k 15k( 1)k 15k1(1)k15k2(1)k5k( 1)k 15k3(1)k15k(1)k 15k2( 1)k5k5.设2 0022a 2 ,B 23 3abA与B相似.(1) 求a,b的值；1(2) 求可逆矩阵P,使P AP=B2002 a 2311200020a(2) 1(2)2(b32(a 1) (a 4)3 (b 1) 2 (b 2) 2b2(a 2)各项系数对应相等可得:2b 2a 4,b 2 (a 4),b a 2 a 0,b2(2)2 0 01A 2 0 2 ,B 23 1 121 0 000 1 2 解得(A E)X 0的基础解系为K 20 0 014 00A

10、2E 22 23111 0 0001 1 解得(A 2E)X 0的基础解系为k2 10 0 010 0 0A 2E 2221 0 110 1 0 解得(A 2E)X 0的基础解系为k3 00 0 01最后解得可逆矩阵P0 012 1 0 ,使彳#P1AP B1 1 10 0 16.设A = x 1 y与对角阵相似，求 x, y满足的条件1 0 0y (1)(1)(1)1 0 1x 0 y0 0 0故 R(A E) 2A E x 110将 1代入特征矩阵:1 0 1A E x 0 y101由于A与对角矩阵相似，于是x y即x y 07.设A与B相似，f (x)=a0xn + a1xn 1+ +

11、an1x+an(& w0),证明 f(A)与 f( B)相似.证明因A: B所以存在可逆P,使得P 1AP BP1(a0An aAn1 L anA anE)Pa0P 1AnP 31P 1An1P L an 1P 1AP anP 1EP现证明P 1AkP Bk因 Bk (P1AP)k P 1AkP 代回P1f(A)P a0Bn a1Bn1 Lan 1B anE f(B)故f (A)与f (B)相似A0B08.若A与B相似，C与D相似，证明与相似.0 C 0 D证明若A相似于B,C相似于D则存在耳,有P11Api B存在 P2,有P2 1CP2 DPiiPi 1PP 11P1 1AR _

12、1P2 CP2P2P2 1P1 1AP1P2 1CP,得证习题1 .求正交矩阵 Q,使Q 1AQ为对角阵.2112 2) A 1 2111 2解(1)先求特征值和特征向量22A E 21023 3 2 68将1 1代入：02直接展开(2)(2(1) 2(4)(1)1) 4(2) 4(2)(4)(1)解得特征向量：22'P 1 单位化得：132232422 00120241 020 120 002A E 202解得P2212 03 22423单位化：23132102102 320110110001210正交化:32323于是构成正交矩阵,Q 1AQ(2)先求特征值和特征向量001 301

13、0321A E 12112(3)2将 0代入：211A 0E 1 2111 21解得：11 单位化:11.31.313将 期弋入:11A 3E 11111111解得：P1P20正交化：P21 ,P3101021而 11V62 12111326于是构成正交矩阵Q111- 1八- ,Q AQ3、261.2: 3、62.已知 1 = 6,2= 3= 3是实对称矩阵A的三个特征值，A的属于2 = 3 = 3的特征向1量为 X2 =0,X3 =12 ,求A的属于1 = 6的特征向量及矩阵 A .1x1解令A的属于1 6的特征向量为： X1x2X3X1TX2X1TX3有:-x1x3 0Xi2x2x3解得：

14、X101111631023 111且A的属于1 6的特征向量为：X1 k 1 (k 0)3.设3阶实对称矩阵A勺秩为2,12 6是A勺二重特征值，若1 (11,0)T,2 (2,11)，都是A属于特征值6的特征向量.(1)求A的另一特征值和对应的特征向量；(2)求 A.解(1)因为R(A) 2,所以A 0A的另一特征值为0,令其相应的特征向量为 Xx1x2 ，满足 X T 2 X T 1有:x1 x202x1X2X3解得：X1011 11 ,A 1 110 0 111216习题五(A)一、填空题1.已知3阶矩阵A的特征值为1, 3, -2 ,则A-E的特征值为A的特征值为2(A )2 E的特征

15、值为.解A-E的特征值为 A的特征值减1,故A-E的特征值为0, 2,-3. AIaI *，一一, ,A 13(2)6 求得A的特征值为：6, 2,3(A*)2+E的特征值为：(6)2 + 1, ( 2)2 + 1,32 1.即37,5,10 2. n阶矩阵A的特征值为1, 2 , 3 ,n ,则A (n 1)E 解的特征值为A -(n+1)E 的特征值为：1-(n+1)=-n,2-(n+1)=1-n,3-(n+1)=2-n, 所以 A-(n 1) ( n)(1 n)(2 n)L ( 1) ( 1)nn!L n-(n+1)=-13 .已知3阶矩阵A的特征值为1, 3, 5,则A E =.解A

16、1 3 5 15求得A*的特征值为：出,即1553A+E勺特征值为：16,6,4,A*+E 16 6 4 3844 .设A为3阶方阵，且A 2E |A E |A 2E 0,则人=, A 解 1A的特征值为2,12 A4, A1的特征彳1为：-,1,135由题意知：A 1+2E的特征值为：,3,5, A2的特征彳1为：4,1,4; A2+E的特征值为5,2,5 2E , A2 .1_ _45A 2_lcA2E,AE50 一，111 5.若3阶方阵A与B相似，A的特征值为1,1,1,则 2 3 4 1E| A 1Q册目似于B,A与B有相同的特征值，A1,B1的特征值都为：2, 3, 4B 1-E的

17、特征值为：1, 2, 3B E E B 1 e| A 11 2 3 2 3 4 144O A 16.已知3阶矩阵A1的特征值为1, 2, 3,则A的特征值为 .解1 2 3 6, A E =.A勺特征值为11,1, A*的特征值为2 31116,3,211 07.已知矩阵A2x0的特征值为1,2,3,则*二4 2 1tr(A)特征值的和，tr(A) 1 x 1 1 2 3 6, x 48.已知3阶矩阵A的特征值为1, 3, 2,则（1 A2） 1的特征值为3A的特征值为：1,3,2（-A2）-1的特征值为 131A勺特征值的平方3求得：（1A2）-1的特征值3,1,333 49.设A, B均为

18、3阶方阵，A的特征值为1,2,3, B =1,则A B B =解ABB (A E)B A E | B因A的特征值是1, 2, 3,故A 1 2 3 6A*的特征值是6,3,2A*+E的特征值是7,4,384ABB (A E)B A E | B 7 4 3 ( 1)10.设1b1000Aba1, B010111004有相同的特征值,A BA, B有相同的特征值，即tr(A) tr(B), a 1 1 14 0a 3 代入A由A B 01 b 1-2A b 3 1 (b 1)0, b 11 1 111.已知矩阵A的各行元素之和为2,则A有一个特征值为an1a12La1na22La2nLLan2La

19、nna11a12La1n2由题意：a21a22La2n2Lan1an2Lann2a11a21an1a12La1na1 jj 1na12La1 na22La2na2j j 1a22La2nLLLLLan2annnanjan2Lannj 1nn%j 1na2jj 1nanjj 1a12a22Lan2La1 nLa2 nLLann2a12La1 n2a22La2nLL2an2Lann(21a121a22L1an2La1nLa2nLL ann显然A有一个特征值为21 0 112.已知0是A0 2 0的一个特征值，则 a=.1 0 a由于0是A0 2 0的一个特征值，则:E A 0 ,即 A 0,即1

20、0 1A 0 2 0 2a 2 0 a 11 0 a二、单项选择题1 .若4阶方阵A与B相似，A的特征值为L1,1,1,则B1 E2 3 4 5(A) 24(B) -24(C) -32(D) 32解射目似于B,则A, B有相同的特征值B 1-E的特征值 21,3-1,4-1,5-1, 即 1, 2, 3, 4故 B 1 E 24选(A)2 .设A为n阶矩阵，为A的一个特征值，则A的伴随矩阵 A的一个特征值为().|An|A|n(A) (B) (C) A (D) A解AXX,两边同乘A*,得：A* AX A* XAA EX A*X,A* X XA所以A*的特征值是妇13.设A为n阶矩阵，X为A属

21、于 的一个特征向量，则与A相似的矩阵B=PAP的属于 的 一个特征向量为().(A) PX (B)P1X(C) P TX(D)P nXA PBP1AX X PBP X XBP 1X P 1X 所以选(B)12 1 24.已知X =1是矩阵A =2 b a的一个特征向量，则a,b的值分别为().21 a 3(A) 5, 2(B) -1,3(C) 1, -3(D) -3, 1解12141得2b2a21a6 22 121AX X,即 2 b a 11 a 325, a 3, b 1选(D)5.下列结论正确的是().(A) Xi, X 2是方程组(E A)X=O的一个基础解系，则k1X+k2X2是A的

22、属于 的全部特征向量，其中k1, k 2是全不为零的常数(B) A, B有相同的特征值，则A与B相似(C) 如果A=0,则A至少有一个特征值为零(D) 若 同是方阵A与B的特征值，则 也是A+B的特征值解(A) k1,k2应为不全为零的常数(B)不一定相似，因为不一定能找到可逆矩阵 P,使P1AP B(C)正确(D) AX X BY Y 显然不是A+B的特征值6.设入1 ,入2是矩阵A的两个不相同的特征值，E,刀是A的分别属于入1 ,入2的特征向量，则().(A)对任意k1 w 0 ,k1 E + k2刀都是A的特征向量(B)存在常数 ki w 0 , k2 w 0 ,使ki E + k2 r

23、l是A的特征向量(C)当k1 w 0 ,k2W0时，k1E + k 2rl不可能是 A的特征向量(D)存在唯一的一组常数k2 w 0 ,使k1 E +卜2刀是A的特征向量(A)显然不成立;(B)不存在；(C)正确;(D)不存在.所以选(C)7.与矩阵相似的矩阵是(A) 00(B) 00(C)(D)1是二重根，将1分别代入,只有在(C)中,故选(C)8 .下列矩阵中，不能相似对角化的是).(A) 00(B) 0 0(C)(D)解答案(C)中,1是三重特征值，代回E中,显然(C)不能对角化.9 .若A与B相似，则(A) E A E B(B)(C) A=B(D)A*= B*因为存在可逆矩阵 P ,使

24、PAP B 一1E P AP一1 一P ( E A)PP1 ( EA)|P(E A)选(B)10.设向量a= (ai , a2 ,，an) T , B = (bi , b2 ,，bn) T都是非零向量，且满足条件a T B = 0 ,记n阶矩阵A = a B T,则().(A) A 是可逆矩阵(B) A2不是零矩阵(C) A 的特征值全为 0(D) A 的特征值不全为 0解A2( T )( T ) T T Q T ( T )T 0A20222故 A2 的特征值全为零，而若设A 的特征值为 ，则A2 的特征值为 2 ，显然有200 选 (C)(B)i 设 3 阶矩阵 A 的特征值为 i， 2，

25、3 ，对应的特征向量分别为iiii i,22,33i49又设向量ii3i A;(2) 将 用 i, 2 , 3线性表示；3)求 An .解( i )由题意121524(2)X1X2X311X1X23 X39化为线性方程组形式求解,得增广矩阵X1解得：X2X3(3)解AnAn(22 1n3)n32An2Anon 11 22n ' 2n 2 2n 33n3n 13n 22.设A为4阶方阵，且(1)求A的一个特征值;An3nA、3e0, A =9,(2) A2A1的一个特征值.(1)由已知:A的一个特征值1. 3,A*的一个特征值1(2),1A 2111*(3a 2) b121b111a1解

26、得：的一个牛I征值-1 .3故A2 A1的一个特征值-8113.已知向量X= b是可逆矩阵A=1211121的伴随矩阵A的一个特征向量，求a,b11a与X所对应的特征值A X X两边同乘以A得A EX AX2 11Q|A 1 2 1 3a 21 1a4. A是n阶正交矩阵,A 1,证明1是A的特征值.证明AX X两边同乘以AT,得AT AX AT X1EXAtX ATXX5.设A是正交矩阵，是A的特征值，证明工也是A的特征值.证明Q AX X1AT AX AT X XATX ATXX故工是AT的特征值，也是 A的特征值.3216.已知矩阵Aaaa,0是A的3重特征值，求a及0365解321Aa

27、aa36512a c1 c3 052fl(2)21a a65a) a8(6)32A E a a36220 a08(2)(a)(6) 8a (2)( 2 (a 6)2a)0是A的3重特征值，0 222且： (a 6) 2a (2)两边对应相等得：a 21 1 07,已知A 2 2 0可相似对角化，求与它相似的对角阵4 x 1解先求A的特征值：110和An.220(14 x 12(1) 2 (1)解得10, 23 11是二重特征值，则有：2 1 0R(A 1 E) R 2 1 0 4x0x 21 10故 A 220421当10110(A 0E)22 0 42 1)(1)(2) 2100 0R 2

28、1 04x0解得特征向量2102 1 0(A 1E)2解得特征向量:所以得相似变换矩阵：P1AnAn=PnP8 设 A 是 3 阶方阵， A 有 3 个不同的特征值1，2，3 ， 对应的特征向量依次为1, 2,3,3 证明：, A , A2线性无关 .AA2A( 1A2(3)3)k1k2Ak3A2k3(k1k2 1212)k1(32 3)1 (k13)k2(112 23 3)1, 2,3 线性无关，故有：k1k2k2 222)2(k12k2 3k3 3 ) 30（它们是不同特征值所对应的特征向量）k1k1k2k2k3k3212223212223k1k2ok3由于i j A 0 （范德蒙行列式结

29、论）所以方程只有零解.即，A ,A2线性无关9.若A与B相似且A可逆，证明：A*与B*相似.0证明*AAAEAB,有 A且存在可逆矩阵1P AP B B_* _ 1PAP PAAP1P1A11PA PA1P 1AB1故A与B相似2B是否相似，若相似，求出可逆矩10.设 A = 0阵P,使得1AP(2)(1)(1)量:(2)(1)(1)B有相同的特征值且都可以对角化，所以要确定B是否相似，先求 A、B的特征向解得特征向量2110A 1E 010101010110001001011000 00解得特征向量211300100AE01 10 1 10110000解得特征向量311100P 011011

30、200AP01 0P001100100B E 03001 0060000解得特征向量p10100 0010BE0200010610001解得特征向量p20041R A 2E n 21 此时A可以对角化2 0 0 B E 0 0 0 06 30解得特征向量P312010构成可逆矩阵Q 0 0 1102_ 1_1A PPBQQA PQ1BQP1 所以人 1 0 0 021PQ 1011100110112311.设矩阵A1 4 31a5解12A E141a 5由于当a 2,18 3a 12 故 2 812 (2)(代入1 23A 2E1 23 12 31 000 1120 002 0 0，有 B Q

31、 0 10 Q 10 01_ 1 _ 1 P APQ BQB的相似变换矩阵为PQ 1102101100112有一个2重特征根，求a的值并讨论A可否相似对角化.3|20 023 r1 r2133(2 )( 2 8 18 3a)1 a 1 56) ,2是A勺二重特征值1 2 3-0000 0 0-2当a,183a1632_42816(4),4是A的二重特征值3 233 23A 4E 11此时A不能对角化12. A是3阶矩阵,R A 4E1 2 3是线性无关的3维列向量组，且满足1， 2， 3A 1123, A 2 2 23, A 3 2(1)求矩阵 B，使 A( 1, 2, 3)(1, 2, 3)B；(2)求A的特征值.解1 0 0(1)由 A(a1,a2,a3