高中数学必修4平面向量知识点总结及常见题型

1、高中必修4平面向量知识点归纳及常见题型| 一.向量的基本概念与基本运算1向量的概念：向量：既有大小又有方向的量 向量一般用a,b,c来表示，或用有 向线段的起点与终点的大写字母表示，如：AB几何表示法 Au, a; 坐标表示法a xi yj （x, y）.向量的大小即向量的模（长度），记作 | AB|即向量的大小，记作| a 1 .向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小.零向量：长度为0的向量，记为0,其方向是任意的，0与任意向 rr重平行 若向重a=01 a | =0.由于0的方向是任息的，且规7E 0平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是 否有非零向量这个条件.（注

2、意与0的区别）单位向量：模为1个单位长度的向量.向量a0为单位向量I a。I =1平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量任意一组平行 向量都可以移到同一直线上、方向相同或相反的向量，称为平行向量. 记作a II b .由于向量可以进行任意的平移（即自由向量），平行向量总 可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量 .数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点 可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的 共线”与几何中的 共 线”、的含义，要理解好平行向量中的 平行”与几何中的 平行”是不一 样的.XiX2yiy2相等向量：长度相等且方向相同的向量 相等向量经过平移后总

3、可以重合，记为a b .大小相等，方向相同(卬必)优心) 2向量加法 求两个向量和的运算叫做向量的加法uuur uurrr uuruur uur设 ABa,BCb,贝 Ua+b=ABBC =AC,(1) 0 a a 0 a； (2)向量加法满足交换律与结合律;向量加法有三角形法则”与平行四边形法则”:(1)用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向 量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量(2)三角形法则的特点是 首尾相接"，由第一个向量的起点指 向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和； 差向量是从 减向量的终点指

4、向被减向量的终点当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首 尾连接时，用三角形法则.向量加法的三角形法则可推广至多个向量 相加：uur uuur uuuruuu uuu uuu一.AB BC CD L PQ QR AR ,但这时必须首尾相连.3向量的减法 相反向量：与a长度相等、方向相反的向量，叫做 a的相反向 量 记作a,零向量的相反向量仍是零向量关于相反向量有：(i)( a)=a； (ii) a+( a)=( a)+a=0 ；(i储a、b是互为相反向量,则a= b,b= a,a+b=0,向量减法：向量a加上b的相反向量叫做a与b的差，记作：a b a ( b) 1:求两个向量差

5、的运算，叫做向量的减法作图法：a b可以表示为从b的终点指向a的终点的向量(a、b有共同起点)4实数与向量的积：实数人与向量a的积是一个向量，记作入a,它的长度与方向规定如下：(I ) | a | | |a ；(H)当 0时，入a的方向与a的方向相同；当 0时，入a的方向与a的方向相反；当0时，a 0,方向是任意的数乘向量满足交换律、结合律与分配律5两个向量共线定理：向量b与非零向量a共线 有且只有一个实数 ，使得b = a.6平面向量的基本定理：如果e©是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数1, 2使：a is 23,其中不共线的 向量ei &

6、#169;叫做表示这一平面内所有向量的一组基底7、特别注意：(1)向量的加法与减法是互逆运算(2)相等向量与平行向量有区别，向量平行是向量相等的必要条件(3)向量平行与直线平行有区别，直线平行不包括共线(即重合) ，而向量平行则包括共线(重合)的情况(4)向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的具体位置 无关，只与其相对位置有关学习本章主要树立数形转化和结合的观点， 以数代形，以形观数, 用代数的运算处理几何问题，特别是处理向量的相关位置关系， 正确 运用共线向量和平面向量的基本定理，计算向量的模、两点的距离、 向量的夹角，判断两向量是否垂直等：由于向量是一新的工具，它往 往会与三角函数

7、、数列、不等式、解几等结合起来进行综合考查，是 知识的交汇点二.平面向量的坐标表不1平面向量的坐标表示：在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相 同的两个单位向量i,r作为基底由平面向量的基本定理知，该平面内 的任一向量a可表示成a xir yr ,由于a与数对(x,y)b一对应的，因 此把(X,则做向量a的坐标，记作a=(x,y淇中x叫作a在x轴上的坐标， y叫做在y轴上的坐标.(1心目等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量(2)向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关2平面向量的坐标运算：y2必,X2X1 r b ra rnu 贝y2 , r b

8、,y1, % ra 若 17.uurX2 Xi, y2yi(2)右 A 为， ,B X2,y2 ,则 AB(3)若 a=(x,y)贝|a=( x, y)o y X2 X1r b r a 贝y2,r b,y1,ra若y2必X1 r b ra 贝y2,y1,X ( a 若 5)h r I右 a b ,贝U x1 x2 y1y 2 03.向量的运算向量的加减法，数与向量的乘积，向量的数量（内积） 及其各运算的坐标表示和性质运算类型几何方法坐标方法运算性质向 量 的 加 法1 .平行四边形法则2 .三角形法则r ra b (x 泡 y y)abba(a b) c a (b c)uuu uuur umr

9、AB BC AC向量的减法三角形法则r ra b (x x2,y ya b a ( b)uuu uuuAB BAuuu uur uurOB OA AB向量a是一个向量，满足：a ( x, y)(a) ( )a()a a a的>0时，a与a同(a b) a b乘向；a / b a b法<0时，a与a异向；=0时，a=0.向a?b；1r-个数a?b x为 %a?b b ?a量a 0或b 0日t,(a)?b a?( b) (a?b)的a?b=0(a b) ?c a ?c b ?c数a 0且b 0时，a2 |a|2,|a| 弋X y2量a?b |a|b|cos a,b|a?b| |a|b|

10、积.平面向量的数量积 1两个向量的数量积:r. r rr r已知两个非答向重a与b ,匕们的夹角为 ，则a b = | a | -| b | cos 叫做a与b的数量积（或内积），规定0 a 0.rr rr2向量的投影：| b | cos=a* 6R称为向量b在方向上的投影,投 |a|影的绝对值称为射影3数量积的几何意义：a b等于a的长度与b在a方向上的投影的乘积4向量的模与平方的关系：a a a2 ia5乘法公式成立:r b ra r b ra2 ra2 ra2ra2r b rb ra22ra2r b rar b 2 ra r b 26平面向量数量积的运算律：r r r父换律成立：a b

11、b ar rr对头数的结合律成立： a b a b a b r分配律成立：a b c a c b c c a b特别注意：（i）结合律不成立：a b c a b c ；（2）消去律不成立abac不能得到br crr . r r（3）a b=o不能得到a=0或b=0.7两个向量的数量积的坐标运算：r1rr r已知两个向重 a （Xi,y）b （X2,y2）,则 a b =x1x2 y1y2*8向量的夹角：已知两个非零向量a与b,作OA=a, Ouu,则/aob=r ， ， （0°180°）叫做向量a与b的夹角cos =cos a, bra ?bra ?bX1X2y1y2222

12、2yi、X2 y2rr当且仅当两个非零向量a与b同方向时，0=g,当且仅当a与b反方向,一，r，时0=18°,同时°与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题rrr9垂直：如果a与b的夹角为90°则称a与b垂直，记作a±b< 1°两个非零向量垂直的充要条件a X b a b =O x y* °平面向量数量积的性质题型1.基本概念判断正误：（1）共线向量就是在同一条直线上的向量。（2）若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点。（3）与已知向量共线的单位向量是唯一的。(4)四边形ABCD是平行四边形的条件是uuu uurAB CD。

13、(5)uur 若ABUUUlCD ,则 A、B、C D四点构成平行四边形。(6)因为向量就是有向线段,所以数轴是向量。r ra与b共线,b与c共线，则a与c共线。(8)r marmb,r bo(9)r ma(10)a与b不共线，则r ra与b都不是零向量。(11)a b | a| | b |,则 a/b。(12)r bo题型2.向量的加减运算r1.设a表布“向东走8km”,b表示“向北走6km”，则|ar b|uuu2.化简(ABuuurMB)uuur(BOuur uuuuBC) OMuuu3.已知|OA|uuuuuu5 ,| OB | 3,则| AB |的最大值和最小值分别为UUUTuuu.

14、 uultuuur4.已知AC为AB与AD的和向量，且AC5.已知点C在线段AB上，且uuurAC3 UUT -AB5r uuurra, BDb,则UULTuuu，则ACBCuur ABruuuABuuur，ADuuuBC。题型3.向量的数乘运算r r1.计算：(1) 3(a b)r2(ar b)(2)2(2a 5b3c) 3( 2a 3b 2c)2.已知 a(1, 4),b ( 3,8)-b题型4.作图法球向量的和r r已知向量a,b,如下图，请做出向量r3a1b 和 2a 2%。2题型5.根据图形由已知向量求未知向量uuruuur1.已知在 ABC中，D是BC的中点，请用向量AB,AC表示

15、UULT AD。uuur r uuur2.在平行四边形 ABCD中，已知AC a,BDr uuu uuurb ,求 AB?口 AD 。题型6.向量的坐标运算uuu1 .已知AB (4,5) , A(2,3),则点B的坐标是。 uuir2 .已知PQ ( 3, 5), P(3,7),则点Q的坐标是。 r rr3 .若物体受三个力 Fi(1,2), F2 ( 2,3), F3( 1, 4),则合力的坐标为 r,rr,r r,r r r4 .已知 a(3,4), b(5,2),求 ab, ab, 3a2b。r5 .已知 A(1,2), B(3,2)，向量 a (x 2, xuuuuuiruuur6

16、.已知 AB (2,3), BC (m,n), CDuur7 .已知O是坐标原点， A(2, 1), B( 4,8),且ABuuur3y 2)与AB相等，求x,y的值。uuir(1,4),则 DA uur runr3BC 0 ,求OC的坐标。题型7.判断两个向量能否作为一组基底ur uu1 .已知向£2是平面内的一组基底，判断下列每组向量是否能构成一组基底:urur urur ur ur ur urA.e13和e62B.3e2e2和 4e26Gr，r ,2 .已知a (3,4),能与a构成基底的是(uruu 十 uuuruu 十 ur urC©3a和e23qD©和

17、 e23),4 3、，34、B.(-,-)C.(-,-)5 555D.(1,3)题型8.结合三角函数求向量坐标uuu1 .已知。是坐标原点，点 A在第二象限，|OA| 2,uurxOA 1500,求OA的坐标。2 .已知O是原点，点A在第一象限,uuu|OA| 4、3uurxOA 600,求OA的坐标。题型9.求数量积r rr rr rr1.已知 |a| 3,| b| 4 ,且 a与 b 的夹角为60°,求(1) a b, (2) a (a b),r1 r r小 rI、，J、(3) (a-b) b, (4)(2ab) (a3b)。2 r2.已知 a (2, 6),b,、 r r r

18、r r r r(8,10)，求(1) |a|,|b|, (2) a b, (3) a (2 a b),r r(4) (2b) (a 3b)。题型10.求向量的夹角r r r .rr,r ,1 .已知|a| 8,|b| 3, a b 12,求a与b的夹角。r _ rr r2 .已知 a (J3,1),b ( 2j3,2),求 a与 b 的夹角。3 .已知 A(1,0), B(0,1) , C(2,5),求 cos BAC。题型11.求向量的模r rr rrrrr1 .已知 |a| 3,|b| 4 ,且 a与 b 的夹角为60°,求(1) |a b |,(2) |2a 3b|。rrr r

19、r rr1r2 .已知 a (2, 6),b ( 8,10),求(1) |a |,| b |, (5) |a b|, (6)|a b|。23 .已知1a1 1,ibi 2,13a 2b 3,求 13a bi。题型12.求单位向量r【与a平行的单位向量:ra|a|r1 .与a (12,5)平行的单位向量是 。r 12 .与m ( 1,1)平行的单位向量是。2题型13.向量的平行与垂直rrr r rr1 .已知 a(6,2) , b( 3,m),当 m 为何值时，(1)a/b?( 2) ab ?rrrr r r2 .已知a(1,2), b( 3,2), (1) k为何值时，向量kab与a3b垂直?

20、(2) k为何值时，向量kar3b平行?r 一3.已知a是非零向量,r r rr 一 r rra b a c ,且 b c ,求证：ar r(b c)。题型14.三点共线问题1 .已知 A(0, 2), B(2, 2), C(3,4),求证:uuu 2 r ruuur r r uuur2 .设 AB(a5b),BC2a8b,CD2 uuurr uuur r r uuur r3 .已知 ABa2b,BC5a6b,CD7a4 .已知 A(1, 3), B(8, 1),若点 C(2a 1,a5 .已知四个点的坐标O(0,0) , A(3,4), uur uur umr OA tOB OC 成立？题型

21、15.判断多边形的形状 uur runrr uuurumrA,B,C三点共线。r r3(a b),求证：A B、D三点共线。r2b ,则一定共线的三点是。2)在直线AB上，求a的值。B( 1,2) , C(1,1),是否存在常数t,使1 .若AB 3e, CD 5e,且|AD| | BC |,则四边形的形状是 。2 .已知 A(1,0), B(4,3) , C(2,4), D(0,2),证明四边形 ABCD 是梯形。3 .已知A( 2,1), B(6, 3) , C(0,5),求证：ABC是直角三角形。uuuuuuuuur4 .在平面直角坐标系内，OA ( 1,8),OB ( 4,1),OC

22、(1,3),求证：ABC是等腰直角三角形。题型16.平面向量的综合应用rrrr rr 一1.已知a(1,0), b(2,1),当k为何值时，向量 kab与a3b平行？2.已知 a(j3, j5),且 ar|b|r r3.已知冉b同向,(1,2),则r10,求a的坐标。3.已知(1,2)(3,1)(5,4),则4.已知(5,10)(3,4)(5,0)，请将用向量r rra,b表不向重c。5.已知(m,3)(2, 1)(1).r .右a与b的夹角为钝角，求m的氾围; r .(2)若a与b的夹角为锐角，求m的范围。一 rr6.已知 a (6,2) , b ( 3,m)当m为何值时，(1)与b的夹角为钝角?(2)a与br的夹角为锐角?7.已知梯 形ABCD的顶 点坐标分 别为A( 1,2) , B(3,4) , D(2,1),且AB/DC ,AB 2CD ,求点C的坐标。8.已知平行四边形 ABCD的三个顶点的坐标分别为 A(2,1), B( 1,3), C(3,4),求第四个顶点D的坐标。9.一航船以5km/h的速度向垂直于对岸方向行驶，航船实际航行方向与水流方向成30o 角,求水流速度与船的实际速度。10.已知ABC三个顶点的坐标分别为 A(3,4), B(0,0) , C(c,0),(1)若uurABuuurAC0,求c的值;(2)若c 5 ,求sin