第3节角平分线的性质及应用

1、第三节 角平分线的性质及应用、课标导航课标内容课标要求目标层次角平分线的性质掌握角平分线的性质，理解三角形的三条角平分线的性质掌握角平分线的判定及角平分线的画法熟练运用角的平分线的性质解决问题、核心纲要1 .角平分线的性质定理角的平分线上的点到角的两边的距离相等.如下左图所示：: OC 平分/AOB, CDXOA, CEL OB , CD=CE .注：考查点到线的距离相等时，可以考虑角平分线的性质.2 .角平分线的判定定理到角的两边距离相等的点在角的平分线上.如下中图所示：: CDXOA, CEXOB, CD=CE, . OC 平分 / AOB .注：用来证明一条线是一个角的平分线.3 .角平

2、分线的画法如下右图所示，已知：/ AOB.作法；(1)以。为圆心，适当长为半径作弧，交 OA于点M,交OB于点N.(2)分别以M、N为圆心，大于 -MN的长为半径作弧，两弧在/ AOB的内部交于点C.2(3)作射线OC. .射线OC即为所求.4 .三角形的角平分线三角形的三个内角的角平分线交于一点，且到三边的距离相等.5 .与角平分线有关的辅助线模型(1)在角的平分线上取一点向角的两边作垂线.(点垂线，垂两边，线等全等都出现)如下左图所示，过点 C作CDOA, CEXOB,则CD=CE, OCDA OCE.(2)在角两边截取相等的线段，构造全等三角形.(角分线，分两边，对称全等要记全)如下图所

3、示：在OA、OB上分别截取 OD=OE,连接CD、CE,则OCDOCE.（3）角平分线+垂线，全等必出现.如下右图所示：延长 DC交OB于点E,则 OCDA OCE .本节重点讲解：两个定理，两个作法（角平分线的作法和与角平分线有关的辅助线）三、全能突破基础演练1.如图12-3-1所示,OA是/ BAC的平分线，OMLAC于点M, ONLAB于点N,若ON=8cm,则OM长为（).C. 6cm2.如图12-3-2所示,OP平分/ AOB, PAX OA, PBXOB,垂足分别为 A、B.下列结论中不一定成立的是（A . FA=PBB. PO 平分/ APBC. OA=OBD. AB垂直平分OP

4、3.如图12-3-3所示,AD是 ABC的角平分线，且 AB: AC=3: 2,则 ABD与 ACD的面积之比为（）.A . 3:2用 12-3 2B. 9: 4C. 2: 3D. 4: 9BD是/ ABC的平分线，交AC于点D,若4 .如图 12-3-4 所示，在 RtAABC 中，/ C=90° ,CD=n, AB=m,则4 ABD的面积是PM± AD, PN5 .如图12-3-5所示，BD是/ ABC的平分线，AB=CB,点P在BD的延长线上,XCD,垂足分别是点 M、N,求证：PM = PN.§C6 .如图 12-3-6 所示，在四边形 ABCD 中，BC

5、>AB, AD=DC, DF ±BC, BD 平分/ ABC.(1)求证：/ BAD+/BCD=180° .(2)若DF=3, BF=6,求四边形 ABCD的面积.阴 12-3-67 .如图12-3-7所示，D、E、F分别是 ABC的三边上的点， CE=BF, DCE和 DBF的面积 相等，求证：AD平分/BAC.能力提升8 .如图12-3-8所示，/ AOB和一条定长线段 a,在/ AOB内找一点P,使点P至U OA、OB的 距离都等于a,作法如下：（1）作OB的垂线NH,使NH=a，点H为垂足；（2）过点N作 NM / OB; （3）作/ AOB的平分线 OP,与

6、NM交于点P; （4）点P即为所求.其中（3） 的依据是（）.A.平行线之间的距离处处相等8 .到角的两边距离相等的点在角的平分线上C.角的平分线上的点到角的两边的距离相等D.到线段的两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上9 .如图12-3-9所示，在 ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作 PR±AB, PSXAC,垂足分另1J是 R、S.若AQ=PQ, PR=PS, QDXAP,下列结论： AS=AR;AP平分/ BAC;' BRPA CSP;PQ / AR.其中正确的是（）.A.B.C.D.10 .如图12-3-10所示，直线11、12、13表示三条相互交叉的公路

7、，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有()处.B. 2C. 3D. 411 .如图 12-3-11 所示，在 ABC 中，AC=BC, /ACB=90° , AD 平分/ BAC, BEAD 交 AC 的延长线于 F, E为垂足.贝U结论： AD=BF;CF=CD;AC+CD=AB;BE=CF; BF=2BE,其中正确结论的个数是（）.B. 2C. 3 D. 412 .如图12-3-12所示，已知 AB平行 CD, / CAB, / ACD的平分线交于点 O, OELAC,且OE=2,则两平行线 AB、CD之间的距离等于 13 . (1)如图12-3-

8、13所示， ABC的三边AB、BC、CA长分另是20、30、40,三条角平分线将 ABC分成三个三角形，则Sa ABO： SaBCO ： Sa CAO等于(2)如图12-3-14所示，已知 ABC的周长是18cm, OB、OC分别平分/ ABC和/ACB, ODLBC于点D,若 ABC的面积为54cm2,则OD=14 .如图12-3-15所示，/ B=ZC=90° , M是BC中点，AM平分/ DAB ,求证：DM 平分/ADC.f*| 12-3 1515.如图12-3-16所示，在河中有座水文观测台O,它到河岸以及河上大桥AB的距离相等,一水文数据记录员站在台上，发现桥上有辆漂亮的

9、彩车，从桥头A走到桥头B,问记录员的视线转过多大角度?fl图】2TT616.如图12-3-17所示，在 ABC中,PB、PC分别是 ABC的外角的平分线，求证：/1 = 72.17,已知，如图 12-3-18 所示，在 ABC 和 4DCE 中，BC=AC, DC = EC, /ACB=/DCE,B、C、E三点在一条直线上，A、B、C、D、E、F、G、O为“公交停靠点”，甲公共汽车从A站出发，按照A、F、G、E、C、F的顺序达到F站，乙公共汽车从 B哦出发，按照BOFDGDF的顺序达到F站，(1)如果甲乙两公共汽车分别从AB站出发，在各站耽误的时间相同，两车的速度也相同，试问哪一辆公共汽车先达

10、到指定站点？为什么？(2)求证：/ AFB=/CDE; CF 平分/ BFE .图 12 3 1918.如图12-3-19所示，在 ABC中，BD是/ ABC的平分线，AD XBD,垂足为点 D, (1)求证：/ 2=Z 1+/C;(2)若 ED/ BC, /ABD=28° ,求/ ADE 的度数.ffi 12-3-1919.如图12-3-20所示，在 ABC中，AB>AC, Z 1 = Z 2, P为AD上任意一点.求证：AB-AOPB-PC.图 12-3-2020.如图12-3-21所示，在 ABC中，AD是/ BAC的外角平分线，P是AD上异于点 A的任意 一点，试比较

11、PB+PC与AB+AC的大小，并说明理由.中考链接21 . （2011 浙江衢州）如图 12-3-22所示，OP平分/ MON , PAX ON于点A,点Q是射线 OM上的一个动点，若 PA=2,则PQ的最小值为（）.A. 1B. 2C. 3D. 412-3-23 所22. （2010 青海西宁）八（1）班同学上数学活动课，利用角尺平分一个角（如图示）设计了如下方案:（I） /AOB是一个任意角，将角尺的直角顶点P介于射线OA、OB之间，移动角尺使角尺两边相同的刻度与 M、N重合，即PM = PN,过角尺顶点P的射线OP就是/AOB的平分 线.（II） /AOB是一个任意角，在边 OA、OB上分别取OM=ON,将角尺的直角顶点 P介于射线OA、OB之间，移动角尺使角尺两边相同的刻度与M、N重合，即PM=PN,过角尺顶点P的射线OP就是/ AOB的平分线.(1)方案(I)、方案(II)是否可行？若可行，请证明；若不可行，请说明理由.(2)在方案(I) PM = PN的情况下，继续移动角尺，同时使 PMXOA, PNXOB.此方案是否 可行？请说明理由.巅峰突破23 .如图 12-3-24 所示，在 RtABC 中，ZACB=90° , ZCAB=60° ,