高中数学导数的应用之极值和最值

1、利用导数求函数的极值与最值内容再现 1、函数的单调性与其导数正负的关系：在某个区间 a,b内，如果,那么函数y f x在这个区间内单调递增；在某个区间 a,b内，如果,那么函数y f x在这个区间内单调递减；若恒有 , 则函数y f x在这个区间内是常函数。2、利用函数判断函数值的增减快慢： 如果一个函数在某一范围内导数的绝对 值,那么函数在这个范围内变化的快，这时函数的图像比较“陡峭”(向上或向下)：反之，若函数在这个范围内导数的绝对值 ，那么函数在这个范围内变化的比较慢，这时函数的图像比较“平缓”。 一 、一 一' _ '3、判断函数极大、极小值的方法：解方程f X00,当

2、f X00时：(1)如果在X0附近的左侧 ,右侧,那么f X0是极大值，X0是 极大值点。(2)如果在X0附近的左侧 ,右侧,那么f X0是极小值点。4、(1)函数f x的闭区间 a,b上的最值：如果在闭区间 a,b上函数y f x的图像是一条 曲线，则该函数在 a,b上一定能取得和,并且函数的最值必在 或 取得。(2)求函数y f x在区间a,b上的最值的步骤：求函数y f x在a,b的；将函数y f x的 与 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。三、巩固练习f(x0 h) f (x0 h)1、已知函数y f (x)在区间(a,b)内可导，且xO (a,b),则口”一一7h v

3、 0一-()(A)f'(x。)(B)2f(x。)(C) 2f'(x。)(D)02、函数y xln x在区间()1 ，、，(B)(-,)上单倜递减 e(D) (0,)上单调递增1 ，、，(A) (0,_)上单倜递减 'e(C) (0,)上单调递减323、已知f(x) x 3x a (a R)在3,3上有最小值3,则在3,3上，f (x)的最大值是4、已知x 1是函数f (x)3 一. 一 2mx 3(m 1)x nx 1的一个极值点，其中m,n R, m 0 ,(I )求m与n的关系式;(II )求f (x)的单调区间;(III )当 x 1,1 时,函数yf (x)的图

4、象上任意一点的切线斜率恒大于3m,求m的取值五、典型例题21、一个物体的运动方程为 s= 1- t+ t2其中S的单位是米，t的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是()A、7米/秒B、6米/秒C、 5米/秒D> 8米/秒2、用边长为48cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等 的小正方形，然后把四边折起，就能焊接成铁盒，所做铁盒容积最大时，在四角截去的正 方形的边长为()A. 6cm B. 8cmC. 10cm D. 12cm3、如图，某农场要修建 3个养鱼塘，每个面积为 10 000米2,鱼塘前面要留4米的运料通道，其余各边为2米宽的堤坡，则占地面积最少时，

5、每个鱼塘的长宽分别为（）”,5000业A.长102米，宽米51B.长150米，宽66米f+C.长宽均为100米200D.长100米，宽米34、过抛物线y=x2-3x上一点P的切线的倾斜角为 45° ,它与两坐标轴交于 A, B两点，则 AOB的面积是_5、如图，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器.当这个正六棱柱容器的底面边长为 时，其容积最大.6、6、某旅行社在暑假期间推出如下旅游团组团办法：达到100人的团体，每人收费 1000元。如果团体的人数超过 100人，那么每超过 1人，每人平均收费降低 5元，但团体人数不能超过

6、180人，如何组团可使旅行社的收费最多？（不到100人不组团）7、某机车拖运货物时对货物所做的功W （单位：是时间t （单位：s）的函数，设这个函数可以表示为：w t3 5t 7。（1）求t从1s变到3s时，功W关于时间t的平均变化率，并解释它的实际意义；（2）求在t=1s和t=3s时,该机车每秒做的功。8、用长为90cm ,宽为48cm的长方形做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边形转 900角，再焊接而成（如图所示），问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？轮船公司争取一个相距i 000公里的甲、乙两地的客运航线权， 已知轮船平均载客人数为400人，轮船每

7、小时使用的燃料费用和轮船的航行速度的立方成正比，轮船的最大速度为25公里/小时.当轮船的速度为10公里/小时，它的燃料费用是每小时30元，轮船的其余费用（与速度无关）都是每小时480元.若公司打算从每个乘客身上获利10元，试为该公司设计一种较为合理的船票价格.10、一根水平放置的长方形枕木的安全负荷与它的宽度a成正比，与它的厚度d的平方成正比，与它的长度l的平方成反比.（1）将此枕木翻转90。（即宽度变为了厚度）后，枕木的安全负荷会变大吗？为什么？（2）现有一根横断面为半圆（半圆的半径为R）的柱形木材，用它来截取成长方形的枕木，其长 度即为枕木规定的长度，问如何截取，可使安全负荷最大？的扇形，

8、制成一个圆锥形容器，扇形的圆11、用半径为R的圆形铁皮剪出一个圆心角为心角多大时，容器的容积最大？六、课堂练习1、一质点做直线运动，由始点起经过ts后的距离为s=1t4-4t 3+16t2,则速度为零的时刻是 4（）C 0s 与 8s 末 D 0s,4s,8s 末20cm,要使其体积最大，则其高应为（）C 20cm D 20 cm3两个底面的材料每单位面积的价格为a元，侧面的材料A 4s 末B 8s2、要做一个圆锥形漏斗，其母线长为A 2cm3B 100cm3、做一个圆柱形锅炉，容积为 V每单位面积价格为 b元，当造价最低时，锅炉的直每径与高的比为（）A. a/bB. a2/bC. b/a D

9、. b2/a4、某天中午12时整甲船自A处以每小时16公里的速度向正东行驶，乙船自 A的正北18 公里处以每小时24公里的速度向正南行驶，则当日 12时30分时两船间的距离对时间的变 化率是。5、函数y x 2cos x在0, 上取最大值时，x的值为26、一容积为256升的方底无盖水箱，则它的高为时，材料最省。7、如图，一矩形铁皮的长为8cm,宽为5cm,在四个角上截去四个相同的小正方形，制成 一个无盖的小盒子，问小正方形的边长为多少时，盒子容积最大?8、某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量 x（t）与每吨产品的价格p（元/t）之间的关系式为:p=24200 1x2,且生产x t的成本为：

10、R=50000+200x(元).问该产品每月生产多少吨才能使利润达到最大？最大利润是多少？涮7闰= 攵入一成本)9、在甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40 km的B处，乙厂到河岸的垂足 D与A相距50 km ,两厂要在此岸边合建一个供水站C,从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，问供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省？10、已知 f(x)=ax 3+bx2+cx(a w 0)在 x=±1 时取得极值，且 f(1)=1.(1)试求常数a、b、c的值；(2)试判断x=±1是函数的极小值还是极大值，并说明理由

11、 .11、统计表明：某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y (升)关于行驶速度 x (千1 33yx x 8,(0 x 120)米每小时)的函数解析式为：12800080,已知甲乙两地相距100千米。(1)当汽车以每小时 40千米的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？(2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？七、家庭作业1、某公司生产某种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已,400x1x2 (0WxW400)知总收益R与年广量x的关系是R=R(x)=2 I)，则总利润最大时，80 000 (x>400)每年生产的产

12、品是.2、在半径为R的圆内，作内接等腰三角形，当底边上高为 时它的面积最大.3、如果物体做直线运动的方程为s(t) =2(1t) 2,则其在t = 4 s时的瞬时速度为()A . 12 B .12 C , 4D.44、从时间t=0开始的t s内，通过某导体的电量(单位：C)可由公式q=2t2+3t表示，则 第5 s时的电流强度为()A. 27 C/sB. 20 C/s C . 25 C/sD . 23 C/s5、球的半径从1增加到2时，球的体积的平均膨胀率为 .6、如果一质点从固定点 A开始运动，位移s(单位：m)关于时间t(单位：s)的函数为y=s(t) = t3+3.求：(1)t =4时，

13、物体的位移 s(4);(2)t =4时，物体的速度 v(4);(3)t =4时，物体的加速度 a(4).7、如图所示：一吊灯的下圆环直径为4 m ,圆心为O,通过细绳悬挂在天花板上，圆环呈水平状态，并且与天花板的距离 (即OB)为2 m,在圆环上设置三个等分点 Ai, A2, A3. 点C为OB上一点(不包含端点 0、B),同时点C与点Ai, A2, A3, B均用细绳相连接， 且细绳CAi, CA2, CA3的长度相等.设细绳的总长为y m.(1)设/ CA i0= 0 (rad),将y表示成0的函数关系式;(2)请你设计。，当角。正弦值是多少时，细绳总长y最小，并指明此时 BC应为多长.8

14、、已知a、b为实数，且b>a>e,其中e为自然对数的底，求证：ab> ba.4x a9、设关于X的万程2x2 -ax-2=0的两根为a、3 ( a v 3 ),函数f(x)= X2 1(1)求 f(a) f(3)的值;(2)证明f(x)是a , 3上的增函数;当a为何值时，f(x)在区间a, 3：上的最大值与最小值之差最小?10、某地建一座桥，两端的桥墩已经建好，两桥墩相距m米，余下的工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩， 经测算：一个桥墩的工程费用是 256万元，距离为x米的相邻两桥墩之 间的桥面工程费用为(2 Jx)x万元，假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑 其

15、它因素，记余下的工程费用是y万元，(1)试写出y关于x的函数关系式。(2)当m=640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？附答案：典型例题答案：1、C2、A3、D4、85、设被切去的全等四边形的一边长为x,则正六棱柱的体积 V=6p43(1-2x)2 W3x (0<x<2),禾1J用导数知识可求得：当x=1时,V有最大值，此时正六棱柱的底面边长为 2.636、解：设参加旅游的人数为x,旅游团收费为y则依题意有f(x)=1000x-5 (x-100 )x ( 100WXW180)令 f (x) 1500 10x 0 得 x=150又 f(100) 100000,f(150) 1125

16、00, f (180) 108000所以当参加人数为 150人时，旅游团的收费最高，可达 112500元。w(3) w(1)7、解：(1) t从1s变到3s时，功W关于时间t的平均变化率为：一3一 18,其实际意义是：t从1s变到3s时间内机车对货物所做的功的平均值，即平均功率。(2)根据导数的意义，在t=1s和t=3s时，机车对货物每秒所做的功即瞬时功率分别为w(1)和w，2_w(t) 3t 5,所以：W (1) 8, w(3) 32。8、解：设截去的小正方形的边长为xcm,则此容器的长、宽、高分别为：90 2x,48 2x,x(单位：cm)。容积为：y x(90 2x)(48 2x)(cm

17、)3(0 x 24)即：y 4x3 276x2 4320x(0 x 24) y 12x2 552x 4320 令 y 0得：x 36 (舍)或 x 10又当 x (0,10)时，y 0, y/;当 x (10,24)时，y 0, y x 10 时，y最大 19600故：该容器的高为10cm时，容积最大，最大容积为19600(cm)39、解：设轮船航行速度为 v公里/小时，则0<vW25.又设总费用为y元，则y = 480 1000+1晒 av3.(其中a为比例系数),由条件30=a103,所以a=J；代入上v v100一占 480 000 on 2 二总, ，480 000 cn60(v

18、38 000)式有 y=F30v2, v C (0,25, 所以 y =2F 60v = 2令 v' =0,解得 v = 20.当 v<20 时，v' <0；当 v>20 时，V, >0,又 v = 20是(0,25内唯一极值点且是极小值点，于是，当v = 20时，y有最小值36 000元.所以平均每个乘客的费用为34黑 =90(元).因此，该公司可定票价为100元.10、解：由题可设，安全负荷yi=k 3(k为正常数)，翻转90°后，安全负荷y2=k E .yi=_d关 口，当0vdva时，yi<y2,安全负荷变大；当 0<a&l

19、t;d时，y2<yi,安全负荷变小；当d=a时，yi=y2,安全负荷不变.故将此枕木翻转90°后，安全负荷不一定变大.2(2)设截取的宽为a,高为d,则(彳)+疗=里即a2+4d2=4R2.枕木的长度不变 u=ad2最大时，安全负荷最大.由题意可设 u(a)=ad2=a(R2-4a2), uz (a)=R2-4a2,令 u' (a)=0,可得 a= 3 R.2 2 g当0<a< 3 R时，u' (a)>0,函数u(a)单调递增；当 R R<a<2R时，u' (a)<0,函数2局 国u(a)单调递减.所以当 a= 3 r

20、, d=3R时，u(a)取得最大，即安全负荷最大.11、解：设圆锥的底面半径为 r ,高为h ,体积为V ,则121221213R)r 2h ( R 2 h 2 )h R 2h h3, (0 h3 333R2h2,令 V0得h R3易知：hR是函数V的唯一极值点，且为最大值点，从而是最大值点。把h，3R代入h322.6r2 R2,得 r R32,63即圆心角2.63时，容器的容积最大。课堂作业答案:1、 D2、 A 3、C4、一1.6 【解析】某时刻距离对时间的变化率是距离对时间的导数在该时刻的导数值5、S .(18 24t)2(16t)2y 1 2sin x ,令 y 0 ,而 f 02,

21、f 661 2(18 24t)( 24)2(18 24t)2得x 一6士f -2222 16 16t-2(16t)S | 11.6t -2所以最大值f Y3最小值,f -o662'22答案：一66、解：设一无盖水箱的底面边长为x分米，高为h分米，则x2h256 ,全面积Sx21024 人4xh x2 ,令 S' 2xx10242x0,彳导x 8, h4 ,由本题的实际意义可知当高为4分米时，材料最省7、解：设小正方形的边长为xcm,盒子容积为y=f(x);则y=f(x)=(8 2x)(5 2x)x=4x3 26x2+40x5-2.、 一一(0 x - ) ； f (x) 12x

22、52x 40 4(3x 10)(x 1)；当 f (x) 0 得21010555，、, 一，x 或x1; . 一 0,-,1 0,又 f(1)=18, f(0)= f(一)=0,，小正万形边长为133222cm时，盒子的容积最大，为 18 cm3。1 o8、解:每月生广 x 吨时的利润为 f(x)=(24200 x2)x (50000+200X) 5-X3+24000X- 50000(x>0).5由 f' (x)= 3 x2+24000=0，解得 X1=200,X2= 200(舍去). f(x)在0,5+°°)内只有一个点 xi=200 使 f' (x

23、)=0,它就是最大值点.f(x)的最大值为f(200)=3150000(元).每月生产200 t才能使利润达到最大，最大利润是315万元.9、解：根据题意知，只有点C在线段AD上某一适当位置，才能使总运费最省，设 C点距D点x km,则. BD=40,AC=50 x,BC= . BD 2 CD 2. x2 402又设总的水管费用为 y元，依题意有：2 一 2y=30(5a x)+5a vx 40(0<x<50)y， = 3a+ j 5ax ，令 y， =0,解得 x=30 x2 402在(0,50)上，y只有一个极值点，根据实际问题的意义,函数在x=30(km)处取得最小值，此时

24、AC=50 x=20(km).供水站建在 A、D之间距甲厂20 km处，可使水管费用最省.10、解：(1)f' (x)=3ax2+2bx+cx= ± 1是函数f(x)的极值点,1- x= ± 1 是方程 f' (x)=0，即 3ax2+2bx+c=0 的两根.由根与系数的关系，得3ac3a又 f(1)= 1,，a+b+c= 1,1 由解得a=-,b 0,c2,1 3 3 fz (x)= 3x22(2)f(x)= - x - - x,3 3二二二(x-1)(x+1)2 2当 xv1 或 x>1 时，f' (x)>0当一ivxvl 时，f&#

25、39; (x)<0，函数f(x)在(一8 , 1)和(1,+ oo)上是增函数，在(1, 1)上是减函数当x=1时，函数取得极大值f( 1)=1,当x=1时，函数取得极小值 f(1)= 1.133y x3 x 8,(0 x 120)11、解：(1)当x=40时，代入 12800080得每小时的耗油量是：击403340 8)80=7 (升)，故此时耗油量是7 2.5 17.5 (升)100(2)当速度是 x (千米每小时)，从甲地到乙地行驶时间是x (小时)。耗油量为h(x)(升)h(x)100 y 一x13(x1280003 x 808)10012 xx 128080015小,(0 x1

26、20)h (x)x 800x3 803 小2 , (0640 x 640xx 120)令 h (x) 0 x 80当x (0,80)时，h'(x) 0,h(x)在区间(0,80)是减函数，当x(80,120)时,h (x) 0此时h(x)在区间(80,120)上是增函数。1335h(x) (80380 8) 11.25故当x=80时，h(x)取得最小值。此时128000804升即当汽车以每小时 80千米的速度匀速行驶时，从甲地到乙地的耗油最少，最少为11.25升。家庭作业：1、3002、x 3R23、A4、D 5、巴36、解析： y=s=t3+3(1)t =4 时，s(4) =43 +

27、 3= 67(m)(2)V(4)= s =3 42= 48 m/s (3)a(t) = V =6t.a(4) =V (4) =24 m/s 2.27、解：(1)在 RtCOAi 中，CAi=cosO, CO=2tan 0 ,22(3出色y=3CA i+CB=3 co + 0+2-2tan 0 = co5 +2(0< 9 4).111(2)y =2=2 ，令 y =0,贝U sin 0 =".3当 sin 0 >3时，V >0； sin 0 <、时，v <0, y=sin。在-二一上是增函数,当角。满足sin9=1时，y最小，最小为4也+2;此时BC=2乎(m). 328、证法一：< b>a>e,，要证 ab>ba,只要证 blna>alnb,设 f(b)=blna alnb(b>e),则fz (b)=lna-a/. b>a>e,，lna> 1,且 a v 1,，f' (b)>0.，函数 f(b尸blna alnb 在(e,+8)上 bb是增函数，f(b) >f(a)=