高中数学人教版必修二第二章

1、第二章 点、直线、平面之间的位置关系、选择题1 .设 ，为两个不同的平面，l, m为两条不同的直线，且 l , m?,有如下的两个命题：若/ ，则l / m;若 Um,则 ，.那么（）.A,是真命题，是假命题B.是假命题，是真命题C.都是真命题D.都是假命题（第2题）2 .如图，ABCDAiBiCiDi为正方体，下面结论错误.的是（）.A. BD/平面 CBiDiB. ACiXBDC. AC平面CBiDiD.异面直线AD与CBi角为60°3 .关于直线m, n与平面 ，有下列四个命题：,n± 且，则 m±n;n I 且 I .则 m/ n. m/ , n/ 且 /

2、 ，则 m/n; m，m， ， n/ 且 / ，则 mn;m/其中真命题的序号是（）.A.B.C.D.4 .给出下列四个命题：垂直于同一直线的两条直线互相平行垂直于同一平面的两个平面互相平行若直线li, 12与同一平面所成的角相等，则 li, 12互相平行若直线li, l2是异面直线，则与li, l2都相交的两条直线是异面直线其中假命题的个数是（）.A. iB. 2C. 3D. 45 .下列命题中正确的个数是 （）.若直线l上有无数个点不在平面内，则l /若直线l与平面 平行，则l与平面 内的任意一条直线都平行如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条直线也与这个平面平行若直线l与

3、平面 平行，则l与平面 内的任意一条直线都没有公共点A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个6 .两直线11与12异面，过11作平面与12平行，这1的平面（）.A.不存在B.有唯一的一个C.有无数个D.只有两个7 .把正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A, B, C, D四点为顶点的三棱锥体积最 大时，直线BD和平面ABC所成的角的大小为（）.D. 30°A. 90°B. 60°C. 458 .下列说法中不止娜的.是（）.A.空间中，一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形B.同一平面的两条垂线一定共面C.过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线

4、都在同一个平面内D.过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直9 .给出以下四个命题：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的一个平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么些两个平面互相垂直其中真命题的个数是（）.A. 4B. 3C.2D. 110 .异面直线a, b所成的角60°,直线a±c,则直线b与c所成的角的范围为（）.A. 30°,90B. 60°,90C.30°,60D

5、, 30°,120二、填空题11 .已知三棱锥 P ABC的三条侧棱PA, PB, PC两两相互垂直，且三个侧面的面积分 别为S1, S2, S3,则这个三棱锥的体积为12 . P是4ABC所在平面外一点，过P作POL平面 ，垂足是 O,连PA, PB, PC.（1）若 PA=PB=PC,则。为 4ABC 的 心；（2）PA±PB, PAXPC, PCXPB,则。是 ABC 的 心；（3）若点P到三边AB, BC, CA的距离相等，则 。是4ABC的 心；(4)若 PA=PB=PC, /C=90o,则。是 AB 边的 点;(5)若 PA=PB=PC, AB = AC,则点

6、O 在 ABC 的 线上.,则m与l所成角的取值范围13 .如图，在正三角形 ABC中，D, E, F分别为各边 的中点，G, H, I, J分别为AF, AD, BE, DE的中点，将 ABC沿DE , EF , DF折成三棱锥以后， GH与IJ所成角 的度数为.14 .直线l与平面所成角为30°, m =A,直线me15 .棱长为1的正四面体内有一点 P,由点P向各面引垂线，垂线段长度分别为 di, d2, d3, d4,则 d+d2+d3+d4的值为.16 .直二面角l 的棱上有一点A,在平面 ，内各有一条射线 AB, AC与l成45°, AB , AC ,则/ BA

7、C =.三、解答题17 .在四面体 ABCD中， ABC与 DBC都是边长为4的正三角形.(1)求证：BCXAD;(第17题)(2)若点D到平面ABC的距离等于3,求二面角A-BC-D的正弦值；(3)设二面角ABCD的大小为 ，猜想 为何值时，四面体 ABCD的体积最大.(不要求证明)18 . 如图，在长方体 ABCDA1B1C1D1中，AB2, BBi=BC=1, E 为 D1C1 的中点，连结 ED, EC, EB 和 DB.(1)求证：平面EDB，平面EBC;(2)求二面角EDB C的正切值.(第18题)19*.如图，在底面是直角梯形的四棱锥SABCD中，AD/BC, Z ABC =90

8、°,SAXW ABCD , SA=AB = BC=1, AD = 1 .2(1)求四棱锥S ABCD的体积；(2)求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值.(提示：延长 BA, CD相交于点 巳则直线 SE是 所求二面角的棱.)(第19题)20*.斜三棱柱的一个侧面的面积为10,这个侧面与它所对棱的距离等于6,求这个棱柱的体积.（提示：在 AAi上取一点P,过P作棱柱的截面，使 AAi垂直于这个截面.）（第20题）第二章 点、直线、平面之间的位置关系A组一、选择题（第1题）n平面=直线n,解析：命题有反例，如图中平面1. D且l/n, m± n,则m± l,显然平

9、面不垂直平面 ，故是假命题；命题显然也是假命题,2. D解析：异面直线 AD与CBi角为45° .3. D解析：在、的条件下，m, n的位置关系不确定.4. D解析：利用特殊图形正方体我们不难发现均不正确，故选择答案D.5. B解析：学会用长方体模型分析问题，AiA有无数点在平（第5题）面ABCD外，但AAi与平面ABCD相交，不正确；AiBi / 平面ABCD,显然AiBi不平彳f于BD,不正确；AiBi /AB, AiBi/平面 ABCD ,但AB?平面ABCD内，不正确；l与 平面”平行，则l与 无公共点，l与平面 内的所有直线 都没有公共点，正确，应选 B.6. B解析：设平

10、面过li,且|2/ ,则li上一定点P与|2确定一平面，与 的交线l3/l2,且l3过点P.又过点P与l2平行的直线只有一条，即l3有唯一性，所以经过 li和l3的平面是唯一的，即过 li且平行于l2的平面是唯一的7. C解析：当三棱锥 D-ABC体积最大时，平面 DAC ± ABC,取AC的中点O,则4 DBO 是等腰直角三角形，即/ DBO = 45°.8. D解析：A. 一组对边平行就决定了共面；B.同一平面的两条垂线互相平行，因而共面；C.这些直线都在同一个平面内即直线的垂面；D .把书本的书脊垂直放在桌上就明确了.9. B解析：因为正确，故选 B.10. A解析：

11、异面直线a, b所成的角为60。，直线c，a,过空间任一点 P,作直线a'/ a, b'/b, c'/ c.若a', b', c'共面则b'与c'成30。角，否则 b'与c'所成的角的范围 为(30°, 90 ,所以直线b与c所成角的范围为300, 90 .二、填空题1 11. 1 *2酷2& .解析：设三条侧棱长为a, b, c.则 ab = S1, bc= S2, - ca= S3 三式相乘：2221. 2 b2 c2= S1S2S3, 8abc= 2 氏S&S3 .三侧棱两两垂直，2

12、. - abc , 一 = -、2SS2s3 . 32312. 外，垂，内，中，BC边的垂直平分.解析：(1)由三角形全等可证得 O为4ABC的外心；(2)由直线和平面垂直的判定定理可证得，O为4ABC的垂心；(3)由直线和平面垂直的判定定理可证得，O为4ABC的内心；(4)由三角形全等可证得，。为AB边的中点；(5)由(1)知，。在BC边的垂直平分线上，或说 O在/ BAC的平分线上.13. 60°.解析：将 ABC沿DE, EF, DF折成三棱车B以后，GH与IJ所成角的度数为60°.14. 30°, 90 .解析：直线l与平面 所成的30。的角为m与l所成角

13、的最小值，当m在 内适当旋转就可以得到l，m,即m与l所成角的的最大值为 90°.解析：作等积变换:x （d+ d2+ d3+ d4）理-h,而h=正4316. 60°或 120°.解析：不妨固定AB,则AC有两种可能.三、解答题17.证明：（1）取BC中点O,连结AO, DO. ABC, BCD都是边长为4的正三角形, AOXBC, DOBC,且 AOA DO = O,BC，平面 AOD,又 AD 平面AOD,AaOC （第17题） BCXAD.解：（2）由（1）知/ AOD为二面角A-BC-D的平面角，设/AOD=,则过点D作DEXAD,垂足为E.BC，平面

14、ADO,且BC 平面ABC,平面ADO，平面ABC.又平面ADO n平面 ABC = AO,在长方体ABCD- ABCQ1中，BCL平面D1DCC1,又DE平面 DiDCCi , BCXDE.又 EC BC C , . DE，平面 EBC.平面DEB 过 DE, 平面 DEB± DEL平面 ABC.线段DE的长为点D到平面ABC的距离，即DE = 3.一3又 DO =BD = 23 ,在 RtADEO 中，sin = _DE_ =亘, 故二面角A-BC-D的正弦值为 弓.当 =90 °时，四面体ABCD的体积最大.18.证明：（1）在长方体 ABCD A1B1C1D1 中，

15、AB=2, BB = BC = 1 , E 为 D1C1 的中点.DEC 90 ,即 DEL EC. DD1E为等腰直角三角形，/ DED = 45°.同理/ C1EC=45°.平面EBC.C（2）解：如图，过 E在平面D1DCC1中作EOXDC于 O.在长方体 ABCD ABCiDi 中，面 ABCD，面 DQCCi,，EO,面 ABCD .过 O 在平面DBC中作OFLDB于F,连结EF,，EFBD. / EFO为二面角E DB C的平面角.利用平面几何知识可得 OF =,（第18题）, 5又 OE=1,所以，tan EFO=押.1+-313319*.解：（1）直角梯形

16、 ABCD的面积是 M底面=（BC+AD） AB = 2 1=-,四棱锥 SABCD 的体积是 V= 1 SA , M jkw= X1X. = J.3344（2）如图，延长BA, CD相交于点E,连结SE,则SE是所求二面角的棱. AD / BC, BC= 2AD,EA = AB = SA,SE± SB.SA，面 ABCD,得面SEB±面EBC, EB是交线.又 BCXEB, BC±m SEB,故 SB是 SC在面 SEB 上的射影，/ CSX SE, / BSC是所求二面角的平面角. SB= Jsa2 + ab2 = J2, BC=1, bcxsb,/-;> .tan/ BSC= BC-= ,SB