高中数学导数

1、导数(Derivative )是微积分中的重要基础概念。当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之商的极限。在一个函数存在导数时，称这个函数可导或者可 Wo可导的 函数一定连续。不连续的函数一定不可导。 导数实质上就是一个求极限的过程， 导数的四则 运算法则来源于极限的四则运算法则。1,251,51.75£2,25Z.52 .75导数(derivative function )亦名纪数、微商(微分中的概念)，由速度变化问题和曲线的切线问题而抽象出来的数学概念。又称变化率。如一辆汽车在10小时内走了 600千米，它的平均速度是 60千米/小时.但在实际行驶过程中，是有快慢变化

2、的，不都是60千米/小时。为了较好地反映汽车在行驶过程中的快慢变化情况，可以缩短时间间隔，设汽车所在位置s与时间t的关系为s= f (t)那么汽车在由时刻t0变到t1这段时间内的平均速度是f(t1)-f(t0)/t1-t0当t1与t0很接近时，汽车行驶的快慢变化就不会很大，平均速度就能较好地反映汽车在t0到t1这段时间内的运动变化情况自然就把 极限f(t1)-f(t0)/t1-t0作为汽车在时刻t0的瞬时速度，这就是通常所说的速度。般地，假设一元函数y= f(x )在x0点的附近(x0 ax0 + a)内有定义当自变量的增量Ax= x x00时函数 增量 Ay=f (x) f ( x0 )与

3、自变量 增量之比的极限存在且有限，就说函数f在x0点可导，称之为 f在x0点的(或变化率 ).若函数f在区间I的每一点都可导，便得到一个以 I为定义域的新函数,记作f(x)'或 y',称之为f的导函数，简称为导数。函数y=f (x)在x0点的导数f (x0)的几何意义：表示函数曲线在P0 x0, f(x0)点的切线斜率一般地，我们得出用函数的导数来判断函数的增减性的法则：设y=f(x )在(a,b)内可导。如果在( a, b)内，f (x) >0,则f (x)在这个区间是单调增加的。如果在(a , b)内，f (x) <0,则f (x)在这个区间是单调减小的。所以，

4、当 f (x) =0 时，y= f(x )有极大值或极小值，极大值中最大者是最大值，极小值中最小者是最小 值。导数的几何意义是该函数曲线在这一点上的切线斜率。导数是微积分中的重要概念。导数另一个定义：当 x=x0时，f(x0)是一个确定的数。这样，当 x变化时，f(x) 便是x的一个函数，我们称他为f(x)的导函数(derivative function )(简称导数)。.一，/ s 1-期JO)y - f S) = iim -'Mt。1y=f(x)的导数有时也记作y',即(如右图)：物理学、几何学、经济学等学科中的一些重要概念都可以用导数来表示。如，导数可以表示运动物体的瞬时

5、速度和加速度、可以表示曲线在一点的焚餐、还可以表示经济学中的边际和 弹性。以上说的经典导数定义可以认为是反映局部欧氏空间 的函数变化。为了研究更一般的 流形上的向量丛 截面(比如 切向量场)的变化，导数的概念被推广为所谓的<箜”。有了联络，人们就可以研究大范围的几何问题，这是微分几何 与物理中最重要的基础概念之一。注意：1.f(x)<0 是f(x)为减函数的充分不必要条件，不是充要条件。2.导数为零的点不一定是。点。当函数为常值函数，没有增减性，即没有极值点。但导数为零。(导数为零的点称之为驻点，如果驻点两侧的导数的符号相反，则该点为极值点，否则为一般的驻点，如y=xA3中f &#

6、39;(0)=0 x=0的左右导数符号为正，该点为一般驻点。) 编辑本段求导数的方法(1 )求函数 y=f(x)在x0处导数的步骤: 求函数的增量Ay=f(x0+ A x)-f(x0)求平均变化率取极限，得导数。(2)几种常见函数的导数公式：C'=0(C为常数函数)；(xAn)'= nxA(n-1) (n C Q)；(sinx)' = cosx ;(cosx)' = - sinx ;(tanx)'=1/(cosx)A2=(secx)A2(cotx)'=-1/(sinx)A2=-(cscx)A2(secx)'=tanxsecx(cscx)&

7、#39;=-cotxcscx(arcsinx)'=1/(1-xA2)Al/2(arccosx)'=-1/(1-xA2)Al/2(arctanx)'=1/(1+xA2)(arccotx)'=-1/(1+xA2) (shx)'=chx(chx)'=shx(thx)'=1/(chx)A2(coth)'=-1/(shx)A2(eAx)' = eAx ;(aAx)' = aAxlna (In 为自然对数)(Inx)'= 1/x(In为自然对数)(logax)'=(xIna)A(-l),(a>0 且 a

8、不等于 1)仅人1/2)'=2自人1/2)人(-1)(1/x)'=xA(-2)补充一下。上面的公式是不可以代常数进去的，只能代函数，新学导数的人往往 忽略这一点，造成歧义，要多加注意。(3)导数的四则运算法则(和、差、积、商) ：(u ±v)'=u' i'(uv)'=u'v+uv'(u/v)'=(u'v-uv')/ vA2(4)复合函数的导数复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自 变量的导数-称为链式法则。导数是微积分的一个重要的支柱。牛顿 及莱布尼茨 对此做出了卓

9、越的贡献!编辑本段导数公式及证明这里将列举几个基本的函数的导数以及它们的推导过程基本导数公式1 .y=c(c 为常数)y-02 .y=xAn, y'=nxA(n-1)3 .(1)y=aAx ,y'=aAxlna ; (2)y=eAx y-eAx4 .(1)y=logaX, y-1/xlna (a>0 且 a 不等于 1 ,x>0); (2)y=lnx ,y'=1/x5 .y=sinx y-cosx6 .y=cosx y'=-sinx7 .y=tanx y'=1/(cosx)A28 .y=cotx y'=-1/(sinx)A29 .y=

10、arcsinx y-1/ V l-xA210 .y=arccosx y'=-1/ V l-xA211 .y=arctanx y'=1/(1+xA2)12 .y=arccotx y'=-1/(1+xA2)在推导的过程中有这几个常见的公式需要用到：1 .y=fg(x ),y-fg(x)?g'(x)fg(x)中 g(x )看作整个变量，而 g'(x)中把 x 看作变量2.y=u/v,y'=(u'v-uv')/vA23.y=f(x)的反函数是 x=g(y ),则有 y'=1/x'证：1.显而易见，y=c是一条平行于x轴的直

11、线，所以处处的切线都是平行于x的，故斜率为0。用导数的定义做也是一样的：y=c, Ay=c-c=0,lim Ax-0Ay/Ax=0。2 .这个的推导暂且不证，因为如果根据导数的定义来推导的话就不能推广到n为任意实数的一般情况。在得到y=eAx y'=eAx和y=lnx y'=1/x这两个结果后能用复合函数的求导给予证明。3 .y=aAx,Ay=aA(x+ Ax)-aAx=aAx(aA Ax -1)Ay/ Ax=aAx(aA Ax-1)/ Ax如果直接令Ax0,是不能导出导函数的，必须设一个辅助的函数3= aAAx-1通过换元进行计算。由设的辅助函数可以知道：Ax=loga(1+

12、 3)。所以(aAAx-1)/ Ax= 3/loga(1+ 3 )=1/loga(1+ 341/ 3显然，当 Ax 0时，3也是趋向于 0的。而lim 3 - 0(1+341/ 3 =e所以 lim 3 - 01/loga(1+ 341/ 3 =1/logae=lna把 这个结 果代入 lim Ax0Ay/Ax=lim Ax0aAx(aA Ax-1)/ Ax 后 得 到 lim Ax-0Ay/ A x=aAxlna可以知道，当 a=e时有y=eAx y'=eAx 。4 .y=logaxA y=loga(x+ Ax)-logax=loga(x+ Ax)/x=loga(1+ A x/x)A

13、x/xAy/ Ax=loga(1+ Ax/x4(x/ Ax)/x因为当Ax-0 时，Ax/x趋向于 0 而 x/Ax趋向于8, 所以lim Axf0loga(1+ A x/x4(x/A 却logae,所以有lim Ax-0Ay/ A 户 logae/x 。也可以进一步用换底公式lim Ax-0Ay/ A 户 logae/x=lne/(x*lna)=1/(x*lna)=(x*lna)A(-1)可以知道，当 a=e时有y=lnx y'=1/x 。这时可以进行 y=xAn y'=nxA(n-1)的推导了。因为 y=xAn,所以 y=eAln(xAn)=eAnlnx,所以 y'

14、=eAnlnx?(nlnx)'=xAn?n/x=nxA(n -1)。5 .y=sinxA y=sin(x+ A x)-sinx=2cos(x+ Ax/2)sin( Ax/2)Ay/Ax=2cos(x+Ax/2)sin( Ax/2)/ Ax=cos(x+Ax/2)sin( Ax/2)/( Ax/2)所以 lim Ax-0Ay/ Ax=lim Axf0cos(x+ Ax/2)?lim Axf0sin( Ax/2)/( Ax/2)=cosx6.类似地，可以导出y=cosx y'=-sinx 。7.y=tanx=sinx/cosxy'=(sinx)'cosx-sinx(

15、cosx)'/cosA2x=(cosA2x+sinA2x)/cosA2x=1/cosA2x8.y=cotx=cosx/sinxy'=(cosx)'sinx-cosx(sinx)'/sinA2x=-1/sinA2x9.y=arcsinxx=siny x'=cosy y'=1/x'=i/cosy=i/ Vl -sinA2y=1/ V1 -xA2 10.y=arccosx x=cosy x'=-sinyy'=1/x'=-1/siny=-1/ V l-cosA2y=- 1/，原人211 .y=arctanx x=tany

16、x'=1/cosA2y y'=1/x'=cosA2y=1/secA2y=1/1+tanA2x=1/1+xA2 12.y=arccotx x=coty x'=-1/sinA2yy'=1/x'=-sinA2y=-1/cscA2y=-1/1+cotA2y=-1/1+xA2另外在对双曲函数shx,chx,thx等以及反双曲函数arshx,archx,arthx等和其他较复杂的复合函数求导时通过查阅导数表和运用开头的公式与12 y=u ± v,y'=u' ± v'13 y=uv,y=u'v+uv'

17、 均能较快捷地求得结果。对于 y=xAn y'=nxA(n-1), y=aAx y'=aAxlna有更直接的求导方法。y=xAn 由指数函数定义可知，y>0等式两边取自然对数In y=n*ln x 等式两边对 x求导，注意 y是y对x的复合函数 y' * (1/y)=n*(1/x) y'=n*y/x=n* xAn / x=n * x a (n-1) 哥函数同理可证 导数说白了它其实就是斜率上面说的分母趋于零，这是当然的了，但不要忘了分子也是可能趋于零的，所以两者的比就有可能是某一个数，如果分子趋于某一个数，而不是零的话，那么比值会很大可以认为是无穷大，也就

18、是我们所说的导数不存在x/x,若这里让 X趋于零的话，分母是趋于零了，但它们的比值是1,所以极限为1.建议先去搞懂什么是极限.极限是一个可望不可及的概念，可以很接近它，但永远 到不了那个岸.并且要认识到导数是一个比值导数的应用1 函数的单调性(1) 利用导数的符号判断函数的增减性利用导数的符号判断函数的增减性， 这是导数几何意义在研究曲线变化规律时的一个应用，它充分体现了数形结合的思想一般地，在某个区间(a, b)内，如果f(x) >0,那么函数 y=f(x)在这个区间内单调递增；如果f(x) v 0 ,那么函数y=f(x)在这个区间内单调递减.如果在某个区间内恒有f'(x)=0

19、 ，则 f(x) 是常数函数注意：在某个区间内，f(x) >0是f(x)在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件，如 f(x)=x3 在 R 内是增函数，但x=0 时 f'(x)=0 。也就是说，如果已知 f(x)为增函数，解题时就必须写f(x)>o0(2) 求函数单调区间的步骤确定 f(x) 的定义域；求导数；由(或)解出相应的x的范围.当f(x) >0时，f(x)在相应区间上是增函数；当f(x) V 0时，f(x)在相应区间上是减函数.2 函数的极值(1) 函数的极值的判定如果在两侧符号相同，则不是 f(x)的极值点；如果在附近的左侧，右侧，那么，是极大值或极

20、小值3 求函数极值的步骤确定函数的定义域；求导数；在定义域内求出所有的驻点，即求方程及的所有实根；检查在驻点左右的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么 f(x) 在这个根处取得极小值4 函数的最值(1) 如果 f(x) 在 a,b 上的最大值(或最小值)是在(a ， b) 内一点处取得的，显然这个最大值(或最小值)同时是个极大值(或极小值) ，它是 f(x) 在 (a ， b) 内所有的极大值(或极小值)中最大的(或最小的) ，但是最值也可能在 a ， b 的端点 a 或 b 处取得，极值与最值是两个不同的概念(2) 求 f(x) 在 a ， b 上的最大值

21、与最小值的步骤求 f(x) 在 (a ， b) 内的极值；将 f(x) 的各极值与f(a) ， f(b) 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最 小值5 .生活中的优化问题生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题称为优化问 题，优化问题也称为最值问题.解决这些问题具有非常现实的意义.这些问题通常可 以转化为数学中的函数问题，进而转化为求函数的最大(小)值问题.6 .实习作业本节内容概括总结了微积分建立的时代背景，并阐述了其历史意义，包括以下六 部分：(1)微积分的研究对象；(2)历史上对微积分产生和发展的评价；(3)微积分产生的悠久历史渊源；(4)微积分产生的具体的时

22、代背景；(5)牛顿和莱布尼茨的工作；(6)微积分的历史意义.7. 注意事项(1)函数图像看增减，导数图像看正负。(2)极大值不一定比极小值大。(3)极值是局部的性质，最值是整体的性质编辑本段高阶导数高阶导数的求法1 .直接法：由高阶导数的定义逐步求高阶导数 一般用来寻找解题方法。2 .高阶导数的运算法则-（越土 V）=-U ± -dzn dzn eAncP"d73 一於 d*'-（u-v） = V CrUrV （莱布尼兹公式）高阶导数运算法则注意：必须在各自的导数存在时应用(和差点导数)3.间接法：利用已知的高阶导数公式，通过四则运算，变量代换等方法，注意：代换后函

23、数要便于求，尽量靠拢已知公式求出阶导数.常见高阶导数的公式:即:士 q J ln“ a (a> 0)d炉即Z X-e = edkX）"血琮）(XJS(A£ 十)=kr CUb (Ar +。十71 - 1n.7rT)Hdi”R =/一71 （a - fc） （a > n,若修 罪且a？因则一丁。=k=o叱j )-3<1£及Tnarcm.rdxn次 Xi7： arccos J；drndn7T - 2r*Ty6r2：产-7；- arctan x 叱dnarccot xdxndn2门一】工"门2 相2-n22 n23 77. 口、- arccs

24、c .r =22,3 111 _ ,_B，2'x2:x2常见高阶导数公式第十讲 导数【考点透视】1 . 了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等）；掌 握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念.2 .熟记基本导数公式；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则.了解复合函数的求导 法则，会求某些简单函数的导数.3 .理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数在极值点两侧异号）；会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最 小值.【例题解析】考点1导数的概念对概念的要求：了解导数概念的实际背景，掌握

25、导数在一点处的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念.1例1. f(xf(x) x3 2x 1的导函数，则f ( 1)的值是.3考查目的本题主要考查函数的导数和计算等基础知识和能力22解答过程Q f (x) x 2, f ( 1)12 3.故填3.例2.设函数f(x)。，集合“=3口刈0,P=x| f'(x)0,若MP,则实数a的取值范围是 x 1()A.(-8,1)b.(0,1)C.(1,+ 8) d. 1,+ oo)考查目的本题主要考查函数的导数和集合等基础知识的应用能力解答过程由_x_a 0,当a>1时,1 x a;当a<1时,a x 1. x 1a 1 门 20.x

26、 1/x a / x aQ y 7,y 7x 1x 1a 1.综上可得M运P时，a1.考点2曲线的切线(1)关于曲线在某一点的切线求曲线y=f(x)在某一点P (x,y)的切线,即求出函数y=f(x)在P点的导数就是曲线在该点的切线的斜率.(2)关于两曲线的公切线若一直线同时与两曲线相切，则称该直线为两曲线的公切线典型例题1 Q 1例3.已知函数f(x) -x3 -ax2 bx在区间1,1), (1,3内各有一个极值点.322(I)求a 4b的最大值；(II)当a2 4b 8时，设函数y f(x)在点A(1, f(1)处的切线为l ,若l在点A处穿过函数y f (x)的图象(即动点在点 A附近

27、沿曲线y f(x)运动，经过点 A时，从l的一侧进入另一侧)，求函数f(x)的表达式.思路启迪：用求导来求得切线斜率解答过程：(I)因为函数f(x)1 312-x3 -ax2 bx在区间1,1), (1,3内分别有一个极值点, 32所以f (x) x2 ax b 0在1,1), (1,3内分别有一个实根,设两实根为x1, x2 ( x1x2),则x2x1 Oa 4b，且 0 x2 x1 < 4 .于是2 >0 Ja2 4b <4,0 a2 4b w 16 ,且当 x,1, x2 3 ,即 a 2 , b 3 时等号 成立.故a2 4b的最大值是16.(II)解法一：由f (1

28、) 1 a b知f(x)在点(1, f(1)处的切线l的方程是，r2 1y f f . A 即 ¥ d ' b)x 2 2a,因为切线l在点A(1, f(x)处空过y f(x)的图象,1,-a在x 1两边附近的函数值异号，则2ax a 1 (x 1)(x 1 a).2所以 g(x) f (x) (1 a b)x -x 1不是g(x)的极值点. / 、1312.而 g(x) x ax bx (1 a32g (x) x2 ax b (1 a b) x2若11 a,则x 1和x 1 a都是g(x)的极值点.所以 11 a,即 a 2,又由 a2 4b 8,得 b 1,故 f (x)

29、x3 x2 x .32 1斛法一：同斛法一得 g(x) f(x) (1 a b)x a3 212 3a3-(x 1)x(1 )x (2 -a).322因为切线l在点A(1, f(1)处穿过yf (x)的图象，所以g(x)在x 1两边附近的函数值异号，于是存在 m(, m2 ( mi 1 m2).当日 x 1 时，g(x) 0,当 1 x m2时，g(x) 0;或当门 x 1 时，g(x) 0,当 1 x m2 时，g(x) 0.设 h(x) x2当 mi x 1 时，h(x) 0,当 1 x m2时，h(x) 0；或当 mi x 1 时，h(x) 0,当 1 x m2时，h(x) 0.3a由h

30、(1) 0知x 1是h(x)的一个极值点，则h(1) 2 11 0, 2219所以 a 2 ,又由 a 4b 8 ,得 b 1,故 f (x) -x x x . 3例4.若曲线y x4的一条切线l与直线x 4y 8 0垂直，则l的方程为()B . x 4y 5 0D. x 4y 3 0考查目的本题主要考查函数的导数和直线方程等基础知识的应用能力解答过程与直线x 4y 8 0垂直的直线l为4x y m 0,即y x4在某一点的导数为4,而 y 4x3,所以y x4在(1,1)处导数为4,此点的切线为4x y 3 0.故选A.例5.过坐标原点且与 x2+y2 -4x+2y+5=0相切的直线的方程为

31、()2A.y=-3x或 y=1x B. y=-3x 或 y=-1x C.y=-3x 或 y=-1 x D. y=3x 或 y=1x 3333考查目的本题主要考查函数的导数和圆的方程、直线方程等基础知识的应用能力 解答过程解法1 :设切线的方程为y kx, kx y 0.又x 2 2 y 1 2 5,圆心为2, 21 k 3,k3.2k 152.,3k 8k 3 0. kk2 12y 1x,或 y33x.故选A.解法2:由解法1知切点坐标为(1，2,332), 2(x 2)22(x/yx2) 2 yx 2.y 11 V：0,/Vx1 3)2,23*2/Vx1 3x, y - x.3故选A.例6.

32、已知两抛物线 G：y x2 2x,C2：y x2 a, a取何彳1时Ci , C2有且只有一条公切线，求出此时公切线的方程.思路启迪：先对C1: yx2 2x, C2：y x2a求导数.解答过程：函数yx22x的导数为y' 2x2 ,曲线Ci在点P(x1,x122x1)处的切线方程为y (x12 2x1) 2(x1 2)(x x1)，即 y 2(x1 1)x x12曲线Ci在点Q(x2, x22 a)的切线方程是y ( x2 a)2x2 (x x2)即y2x2x x22 a若直线l是过点P点和Q点的公切线，则式和式都是l的方程，故得x1 1 x2,x12x221 ,消去 x2得方程，2

33、x122x)1 a 0若=442(1a)0,即a 1时，解得x11,此时点P、Q重合.22，当时a 1，C1和C2有且只有一条公切线，由式得公切线方程为y x 1 .24考点3导数的应用中学阶段所涉及的初等函数在其定义域内都是可导函数，导数是研究函数性质的重要而有力的工具，特别是对于函数的单调性，以“导数”为工具，能对其进行全面的分析，为我们解决求函数的极值、最值提供了一种简明易行的方法，进而与不等式的证明，讨论方程解的情况等问题结合起来，极大地丰富了中学数学思想方法.复习时，应高度重视以下问题：1.求函数的解析式；2.求函数的值域；3.解决单调性问题；4.求函数的极值(最值)；5.构造函数证

34、明不等式.典型例题例7.函数f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数f (x)在(a,b)内的图象如图所示，则函数f(x) 在开区间(a,b)内有极小值点()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个考查目的本题主要考查函数的导数和函数图象性质等基础知识 的应用能力.解答过程由图象可见，在区间(a,0)内的图象上有一个极小值点.故选A.例8 .设函数f(x) 2x3 3ax2 3bx 8c在X 1及X 2时取得极值.(I )求a、b的值；(n)若对于任意的 x 0,3,都有f(x) c2成立，求c的取值范围.a、思路启迪：利用函数f(x) 2x3 3ax2 3bx 8c在x 1及x 2时取得极

35、值构造方程组求b的值.解答过程：(I) f (x) 6x2 6ax 3b,因为函数f(x)在x 1及x 2取得极值，则有f (1) 0, f (2) 0.H 6 6a 3b 0,即24 12a 3b 0.解得a 3 , b 4.(n)由(i)可知， f(x) 2x3 9x2 12x 8c, f (x) 6x2 18x 12 6(x 1)(x 2).当 x (0 1)时，f (x) 0;当 x (1,2)时，f (x) 0；当 x (2,3)时，f (x) 0.所以，当 x 1 时，f(x)取得极大值 f (1) 5 8c,又 f(0) 8c, f(3) 9 8c.则当x 0,3时，f(x)的最

36、大值为f(3) 9 8c.2因为对于任息的x0,3 ,有f (x) c恒成立，所以 9 8c c2,解得 c 1或c 9,因此c的取值范围为(，1)U(9,).例9.函数y J2x-4 m丁的值域是 .思路启迪：求函数的值域，是中学数学中的难点，一般可以通过图象观察或利用不等式性质求解，也可以利用函数的单调性求出最大、最小值。此例的形式结构较为复杂，采用导数法 求解较为容易。解答过程：由2x 4 0得，x 2,即函数的定义域为2,). x 3 0112x3 . 2x 4y' ,.,，2x 42 , x 32,2x 4 x 3又 2 无3 <2x 4 , 2x_8，2 x 3 ,2

37、x 4当 x 2时，y' 0,函数ykF VT飞在(2,)上是增函数，而f( 2)1, y 次7 f 飞的值域是1,).例10 .已知函数f x 4x3 3xf (x) cos cos ,其中x R,为参数，且02 .16(1)当时cos 0,判断函数f x是否有极值；(2)要使函数f(x)的极小值大于零，求参数的取值范围；(3)若对(2)中所求的取值范围内的任意参数，函数f x在区间2a 1,a内都是增函数，求实数a的取值范围.考查目的本小题主要考查运用导数研究三角函数和函数的单调性及极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力，以及分类讨论的数学思想方法解答过程(I )当

38、cos 0时，f(x) 4x3,则f(x)在(，)内是增函数，故无极值 (口) f '(x) 12x2 6xcos ,令 f'(x) 0,得 x 0,x2 co；.由(I),只需分下面两种情况讨论.当 cos 0时，随x的变化f'(x)的符号及f(x)的变化情况如下表:x(,0)0(0,") 2cos2(吟)2f'(x)+0-0+f(x)极大值极小值因此，函数f(x)在x 竺处取得极小值f(cos),且“空-)二cos32222416要使 f (cos) 0 ,必有-cos (cos23) 0，可得 0 cos 2442由于c43故.311由 0 0

39、cos 一，叫一一或一一当时cos 0,随x的变化，f'(x)的符号及f(x)的变化情况如下表:xcos(,)cos2cos(,0)0(0,)f'(x)+0-0+f(x)极大值极小值因此，函数f(x)在x 0处取得极小值f(0),且f 3cos16若f(0) 0,则cos0 .矛盾.所以当cos 。时，f(x)的极小值不会大于零综上，要使函数f(x)在()内的极小值大于零，参数 的取值范围为311L C,正).(III)解：由(II)知，函数f(x)在区间(，)与(侬，)内都是增函数。由题设，函数f(x)在(2a 1,a)内是增函数，则 a须满足不等式组由(II),参数时 (_

40、) (3_工)时，06, 22 , 6恒成立，必有2a 1直，即4几a. 48综上，解得a 0或4而a 1. 8所以a的取值范围是(，0) 4百1).a1一 cos22s费.要使不等式2a 11cos关于参数22a -1 ,求f(x)的单调区间.例 11.设函数 f(x)=ax(a+1)ln(x+1),其中考查目的本题考查了函数的导数求法，函数的极值的判定，考查了应用数形结合的数学思想分析问题解决问题的能力 解答过程由已知得函数f(x)的定义域为(1,)，且f'(x) "(a 1),x 1(1)当 1 a 0时，f'(x) 0,函数f (x)在(1,)上单调递减,当a

41、 0时，由f'(x) 0,解得xf '(x)、f (x)随x的变化情况如下表(1,-)af(x)极小值从上表可知当X ( 1%时，f'(x) 0,函数f(x)在(1%上单调递减. aa当x (1,)时，f(x) 0,函数f(x)在(二)上单调递增a'a，综上所述：当1 a 0时，函数f (x)在(1,)上单调递减当a 0时，函数f(x)在(1上单调递减，函数f(x)在(1,)上单调递增.aa，例12.已知函数f(x) ax3 bx2 cx在点x0处取得极大值5,其导函数y f'(x)的图象经过点(1,0), (2,0),如图所示.求：(I)%的值；(D)

42、 a,b,c 的值.考查目的本小题考查了函数的导数，函数的极值的判定，闭区间上二次函数的最值 ，函数与方程的转化等基础知识的综合应用，考查了应用数形结合的数学思想分析问题解决问题的能解答过程解法一：(I)由图像可知，在 ,1上f'x 0,在1,2上f,x 0，在2,上 f' x 0,故f(x)在(-,1) , (2, + )上递增，在(1,2)上递减，因此f x在x 1处取得极大值，所以x0 1(口)f (x) 3ax2 2bx c,由 f'(1) =0, f(2) =0, f( 1) =5,3a 2b c 0, 12a 4b c 0, a b c 5, 解得 a 2,

43、b9,c 12.解法二：(I)同解法一(n)设 f (x) m(x 1)(x 2) mx2 3mx 2m,又 f (x) 3ax2 2bx c,所以 a m,b 3m,c 2m 32m 332|f(x) xmx2mx,32由 f(1) 5,即 m 3m 2m 5,得 m 6, 3 2所以 a 2,b9,c 12例13 .设x 3是函数f xx2 ax be3 x x R的一个极值点.(I)求a与b的关系式(用a表示b),并求f x的单调区间；(n)设a。，gx a2空ex.若存在i, 2 0,4使彳导f 1g 21成立，求a的取值范4围.考查目的本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识，考

44、查综合运用数学知识解决问题的能力.解答过程(I) f '(x) =- x2+(a-2)x+b-a e3 x,由 f'(3)=0,得 一32 + (a2)3 + ba e3 3=0,即得 b=- 3-2a,则 f'(x) = x2+(a 2)x32a a e3 x=x2+(a 2)x 3 3a e3 x= (x 3)(x+a+1)e3 x.令f '(x) = 0,得*1=3或*2=2 1,由于x = 3是极值点，所以 x+a+ 1 w 0,那么 aw 4.当 a< 4 时，x2>3 = x1,则在区间(一00,3)上，f '(x) <0

45、, f (x)为减函数；在区间(3, a1)上，f '(x)>0 , f (x)为增函数；在区间(一a 1, +°°)上，f '(x) <0 , f (x)为减函数.当 a> 4 时，x2<3 = x1,则在区间(一巴 a1)上，f '(x) <0 , f (x)为减函数；在区间(a 1, 3)上，f '(x)>0 , f (x)为增函数；在区间(3, +°°)上，1仅)<0,£仅)为减函数.(n)由(I)知，当 a>0时，f (x)在区间(0, 3)上的单调递增，

46、在区间(3, 4)上单调递减，那么f (x)在区间0, 4上的值域是min(f (0) , f (4) ), f (3),而 f(0)= (2a+3) e3<0, f (4) = (2a+13) e 1>0, f (3) = a + 6,那么f (x)在区间0, 4上的值域是(2a+ 3) e3, a+ 6.又g(a2 25)ex在区间0，4上是增函数, 4且它在区间0, 4上的值域是a2+25,(a2+ 25 ) e4,由于(a2+ 25 ) ( a + 6) = a2a +2=2>0,所以只须仅须(a2+生)(a+6)4<1且a>0,解得0<a<

47、3.2故a的取值范围是(03).2例14已知函数f(x)1 3ax3bx2 (2b)x 1在x Xi处取得极大值,X2处取得极小值，且0 X11 X2 2 .(1)证明a 0 ；(2)若z=a+2b,求z的取值范围。解答过程求函数f (x)的导数f (x) ax2 2bx(I)由函数f (x)在x Xi处取得极大值，在*2处取得极小值，知X1, *2是f (x) 0的两个根.所以f (x)a(x x1)(x x2)x %时,f (x)为增函数,x10.(H)在题设下,x1 1x22等价于(0)2b4a4b2 b化简彳导a 3b4a 5b 2此不等式组表示的区域为平面aOb上三条直线：2b 0,

48、3b 20,4a所围成的 ABC的内部，其三个顶点分别为:z在这三点的值依次为但,6,8 .7所以z的取值范围为,8 .7小结：本题的新颖之处在把函数的导数与线性规划有机结合.考点4导数的实际应用建立函数模型，利用典型例题例15.用长为18 cm的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2: 1,问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？考查目的本小题主要考查函数、导数及其应用等基本知识，考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力.解答过程设长方体的宽为18 12xh - 4.5 3x(m)故长方体的体积为22V(x) 2x2 (4.5 3x) 9x2从而 V(

49、x) 18x 18x2(4.5令 V' (x)当 0vxv1x (m),则长为2x(m),高为0<x<-.23336x3(m3)(0< xv -).3x) 18x(1 x).=0,解得x=0 (舍去)或x=1 ,因此x=1.时，V' ( x) >0;当 1vxv2 时，V' (x) < 03故在x=1处V (x)取得极大值，并且这个极大值就是V (x)的最大值。从而最大体积 V = V' (x) =9X12-6X13 ( m3),此时长方体的长为2 m ,高为1.5 m.答：当长方体的长为 2 m时，宽为1 m ,高为1.5 m时，

50、体积最大，最大体积为3 m 3。例16.统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗100千米.油量y (升)关于行驶速度 x (千米/小时)的函数解析式可以表示为:y _x3 Ax 8(0 x 120)已知甲、乙两地相距 12800080(I)当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？(II)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？考查目的本小题主要考查函数、导数及其应用等基本知识，考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力解答过程(I)当x 40时，汽车从甲地到乙地行驶了100 25小时，40要耗没(1 403 40 8) 2.5 17.5

51、 (升). 12800080答：当7车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升。(II)当速度为x千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了100小时，设耗油量为 h(x)升，依x题思、得h(x)(康3、100x 8). 80 x1280015 小,cc、x一(0x120),1280x4h'(x)x 800640 x2x3 803640x2(0x 120).令 h'(x) 0,得 x 80.当 x (0,80)时，h'(x) 0,h(x)是减函数；当 x (80,120)时,h'(x) 0,h(x)是增函数.当x 80时，h(x)取到极小值h(80

52、) 11.25.因为h(x)在(0,120上只有一个极值，所以它是最小值答：当7车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25 升.【专题训练】、选择题1. y=esinxcos(sin x),贝U y' (0)等于()A.0B.1C. 1D.22.经过原点且与曲线 y=二_9相切的方程是(x 5A.x+y=0 或 _x_+y=025B.x y=0 或 _x_ +y=025C.x+y=0 或 _x_ y=025D.x y=0 或 _x_ y=03.设f(x)可导,且f'(0)=0,又 limx 0L(x.=1，则 f(0)()A.可能不是f(x)的极

53、值B. 一"定是 f(x)的极值C. 定是 f(x)的极小值D.等于04.设函数fn(x)=n2x2(1 x)n(n为正整数),则fn(x)在0,1上的最大值为()A.0B.1 C. (1 _2_)nD. 4()n12 nn 25、函数 y=(x2-1) 3+1 在 x=-1 处()A、有极大值B、无极值 C、有极小值D、无法确定极值情况6.f(x)=ax 3+3x2+2, f (-1)=4 ,则 a=()A、！0 B、13C、16D、史33337 .过抛物线y=x2上的点M (1 1)的切线的倾斜角是()2 4A、300B、450 C、600D、9008 .函数f(x)=x 3-6

54、bx+3b在(0,1)内有极小值，则实数 b的取值范围是()A、(0, 1) B、(-8, 1) C、(0, +oo) d、(0, 1)29 .函数y=x3-3x+3在3刍上的最小值是()2 1 2A、89B、1C、芝D、58810、若 f(x)=x 3+ax2+bx+c ,且 f(0)=0 为函数的极值，则()A、cw0 B、当a>0时，f(0)为极大值C、b=0 D、当a<0时，f(0)为极小值11、已知函数y=2x3+ax2+36x-24在x=2处有极值，则该函数的一个递增区间是()A、(2, 3)B、(3, +8)C、(2, +8)D、(-巴 3)12、方程6x5-15x4+10x3 + 1=0的实数解的集合中()A、至少有2个元素B、至少有3个元素C、至多有1个元素 D、恰好有5个元素二、填空题13 .若 f' (xo)=2, lim f(x0 k) f(x0) =. k o2