小学五年级上册数学奥数知识点讲解第3课《最大公约数和最小公倍数》试题附答案

1、小学五年级上册数学奥数知识点讲解第3课最大公约数和最小公倍数试题附答案一.基本概念和知识1.公约数和最大公狗数几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数F其中最大的一个，叫做这几 个数的最大公约数。例如的约数有:L 2, 3, 4, 6, 12(窗的豺的有:L 2, . 6, 9, 18o12和18的公约数有11, 2, 3, &其中6是12和18的最大公豹数,记作(12, IS)二632,公倍数和最小公倍数几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数;其中最小的一个，叫做这几 个数的最小公倍数,例如;12的倍数有: 12, 24, 36, 48, 60, 72, M 1*的倍数有118. 36

2、, 5% 72,毁，12和18的公倍数有：36, 72,.其中36是12和18的最小公倍数.记作 12, 18=3&,丸互同数如果两个数的最大公约数是L那么这两个数叫做互质数.例1用一个数去除3。，60r 75,都能整除，这个数最大是多少?例2 一个数用3、5除都能整除.这个数最小是多少？ 例3有三根铁丝，长度分别是120厘米.18。厘米和3g厘米,现在要把它们截成 相等的小段，每根都不能有剩余，每小段最长多少厘米斗一共可以戟成多少 段？例4加工某种机器零件,要经过三道工序.第一道工序每个工人每小时可完成3 个事生第二道工南每个工人每小时可髡成10个，第三道工序每个工人每小时 用完成5

3、个，要使加工生产均衡，三道工序至少各分配几个工人？ 例E 一次会餐供有三种饮料.蓍后统计，三种饮料共用了e1碗；平均每2个人饮 用一瓶A饮料.每3人饮用一瓶B饮料，每4人饮用一瓶C饮料.问参加会餐的人数 是多少人？例6 一张长方形纸，长2W3厘米，宽1113厘米.要把它戟成若干个同样大小的 正方形纸张不能有剩余且正方形的边长要尽可能大.问：这样的正方形的边 长是多少厘米T例7用裾转相除法求4311和1981的最大公约数.例8求1。8、1260、882和U34四个数的最大公约数是多少？例9两个数的最大公约数是4,最小公倍数是252,其中一个数是2S,另一个数 是多少？例10求216T/口 113

4、52的最小公倍数.答案例1用一个教去除30、60、75,都能整除.这个薮最大是多少7分析：要求的数去除30、60. 75都能整除，要求的数是30、60, 75的公梵)数“又要求符合条件的最大的数，,就是求30、60, T5的最大公约数。5|加 60 753|6 12 15解二2 4回(30, 60, 75)=5X3=15这个数最大是150例2 一个数用工4. 5除都能整除，这个薮最小是多少7分析由题意可知，要求的数是3. 4. 5的公倍数，且是最小的公倍数电解；1/氏泉5】4汉整65，用3, 4、5除都能整除的最小的数是6。.例3有三根铁丝，长度分别是120厘米,18Q厘米和300厘米.现在要

5、把它们截成 相等的小彘每根布木熊首来廨,每小段最长安少厘米？一觉可以祗成会少 段？分析:要截成相等的小段,且无剩余？;每段长度也是L2。、1g0和300的公约数.解：1瞅1203002 | 4 6 102 35又：每段要尽可能长，工要求的每段长度就是1印、1网和300的最大公狗数.(120, ISO, 30。)-30X 2=C0每小段最长60厘米”120+ 20+璘+ 汕300 +=2+ 3 + 5=10段)售 每段最长EQE求，1央可以截成10段，例4加工某种机器零件，要经过三道工序.第一道工序每个工人每小时可完成3 个零件，第二道工序每个工人每小时可完成10个，第三道工序每个工人每小时 可

6、完成5个，要使加工生产均衡，三道工序至少各分配几个工人，分析要使加工生产均衡，各道工序生产的零件总数应是3, 10和5的公倍数,要 求三道工序"至少X要多少工人，要先求3, 1饼口5的最小公倍数'解5|3 5 1032113, 10, 51 =5X3X2=30/,各道工序均应加13。个零件。30-3=10 （A）5。十 10二3 （人）3。-5=& （人）答；第一道工序至少要分配10人1第二道工序至少要分配M人，第三道工 序至少要分配6人。例5 一次会餐供有三种饮科.餐后统计，三种饮料共用了65瓶平均每2个人饮 用一瓶A饮料，每3人饮用一瓶B饮料，每4人饮用一瓶C饮料

7、.问参加会餐的人数 是多少人T分析由题意可知，参加会餐人数应是2, 3, 4的公倍数，解.芍艮3, 43=12，参加会餐人数应是12的倍数.又 *：12 4 2包233+12-4-6+4+3=13 （瓶）,，可见32个人要用谦A饮料，4瓶B饮料，3瓶C饮料，共用13瓶饮料.又65 占 13 二 5,/-参加会饕的总人数应是12的5倍,12X5=60 （人）*答：参加会餐的总人数是6。人立例6 一党归方形纸，长27UM厘米，宽1113厘米.要把它截成若干个同样大小的 正方形，蛇张不能有剩余且正方形的边长票尽可能大,何；这样的正方形的边 长是多少厘米？分析由题意可知，正方形的边长即是窗。3和111

8、5的最大公约数.在学校，我们 已经学过用短除法求两个数的最大公约数，但有时会遇到类做此题情况，两个 数除了 I缈卜的公约数一下不好找到.但又不能轻易断定它们是互质数.怎么 赤？在此，我们以例6为例介绍另一种求最大公约数的方法。对于例6可做如下图解；111311铝LS31M15915911131113477“7<774772703从图甲可知：在长2皿3厘米、宽1113厘米的长方形纸的一端，依次裁去以 宽（1H3厘米）为边民的正方曲2个.在裁后刷下的弓1113厘米，宽装7厘米的 长方形中,再裁去以宽（4"厘米）为边长的正方形2个然后又在裁剩下的长 方形（长4?7厘米，宽159座米）

9、甲，以159厘米为边长载正方形，恰好裁成3 个，且无剩余囱此可知，159厘米是477厘米，1113厘%和2703厘米的妁感所 以裁成同样大的,且边长尽可能长的正方形的边长应是159厘米.所以，159厘 米是2703和1113的最大公约数0让我们把图解过程转化为计算过程，即:2703-1113,蔺2余4阴1113-477,商2余 159g477-159,商3余CU或者写为2703-2XU13+477,1113二 2 乂 477X59,477=3当余数为。时，最后一个算式中的除数159就是原来两个数2703和1113的最 大公约数.可见，477=159X3,1113二 159X 3X 2+159=

10、15?X 7,2703二159乂 T乂 2+4汴二 159 乂 ？ X 2-t-lS9M 交L5g乂 1 %又17和1T是互质数，.-159是2703和1113的最大公约数千我们把这种求最大公约数的方法叫做鞭转相除法.据转相除法的优点在于 它能在较短的时间内求出任意两个数的最大公约数0例T用辗转相除法求4gn和219我的最大公约数.解：V i811 =2X1481+849,1981=2 X849+283?849=3X 283,，(Ml. 1981) =283o补充说明:如果要求三个或更多的数的最大公约数，可以先求其中任意两 个数的最大公约数，再求这个公约数与另外一个数的最大公约数，这样求下 去

11、，直至求得最后结果.也可以直接观察，依次试公有的质因数.例8求1008、1260、882和1134四个数的最大公约数是多少？斛 V (1260, 1008) =252,(882r 1134) =126,又(252, 126) =1265/1 C1OO8, 1250, 882, 1134) =126.求两个数的最小公倍数，除了用通除法外，是否也有其他方法呢？请看例 9.例9两个数的最大公约数是4,最小公倍数是252,其中一个数是羽，另一个数 是多少？解：设要求的数为工，则有；41- 2g y 7/. x=4Xy28=4X7.1,28K=4XyX4X?又二4是K和28的最大公约数，Cy- On,.

12、4XyX T是尺和2g的最小公倍数口/.xX 23=4X252. x=4X 252-28=36，要求的数是369通过例9的解答过程，不难发现,如果用心口b表示两个自然数，那么这两 个自然数的最大公约数与最小公倍数关系是3b) 乂 ) b=a><bc这样,求两个数的最小公倍数的问题，即可转化成先求两人数的最大公约 数，再用最大公豹数除两个数的积，其结果就是这两个数的最小公倍数“例1。求216Tz和11352的最小公倍数#解；:(21672, 113523 =1032(1032可以用辗转相除法求得)A 21672, 11352J=23J672X11352r032=233392.管=21

13、872和11352的最小公倍数是23 g 39 2.习题三1 .甲数是乙数的三分之一，甲数和乙数的最小公倍数是54,甲数是多少？ 乙数是多少？2 .一块长方形地面，长12。米，宽6。米，要在它的四周和四角种树，每两 裸之间的距离相等1最少要种树苗多少棵？每相邻两棵之间的距离是多少旅？3 .己知两个自然数的积是5T66,它们的最大公约数是3L求这两个自然 数.4,兄弟三人在外工作，大哥6天回定一次，二哥后天回家一次，小弟L2天回 家一次.兑弟三人同时在十月一日回家，下一次三人再见面是哪一天？5 .将长25分米，宽2。分米，高15分米的长方体木块锯成完全一样的尽可能 大的立方体，不能有剩余，每个立方体的体积是多少？ 一共可锯多少块？6 .一箱地雷，每个地雷的重量相同，且都是