中山大学2016-2017学年第2学期高等数学A期末考试试卷(word文档良心出品)

1、中山大学高等数学A期末考试试卷20162017学年第2学期考试科目：高等数学 A考试类型：（闭卷）考试考试时间：120 分钟学号 姓名 年级专业题号一一二四总分得分评阅人得分、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1 .二元函数z = ln( y2-2x+1)的定义域为。,T4 44442 .设向量 a=(2,1,2) , b = (4,1,10), c = b Ka,且 a _L c,贝 U九=3 .经过（4,0, -2）和（5,1,7）且平行于x轴的平面方程为 4 .设 u = xyz,贝U du =o二 c 15.级数工（-1）n4,当p满足条件时级数条件收敛pn 1 n得分、单

2、项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）微分方程2（xy +x）y'= y的通解是2.3.A. y=Ce2xC. y2e2y=Cx求极限（J叫0,0）2 - xy 4xy直线L:x =1 =z和平面3-2 7B. yD.C.2 = Ce2xe2y =Cxyn :3x-2y+7z 8 = 0的位置关系是A .直线L平行于平面几B.直线L在平面元上得分D .直线L与平面江斜交C.直线L垂直于平面n4 . D 是闭区域( x, y) |a2 4x2 +y2 Wb2,则 gx2 + y2do = D33233、八433、A. (b -a ) B.(b -a ) C.(b -a ) 23

3、35 .下列级数收敛的是1: 1 n:1A.£ B. Z C.£ n4 (n 1)(n 4)n二 n1n4 2n -1333、D.(b -a )200D. Zn 413 n(n 1)三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分）1 .求微分方程y'+y =ex满足初始条件x = 0, y =2的特解。. x + yc c2 .计算一重积分 2dxdy ,其中 D =( x, y) x + y < 1, x + y > 1D x +y3 .设 z =z(x, y)为方程 2sin( x+2y-3z) =x-4y+3z确定的隐函数，求+ 二 x 二 y1

4、34 .求曲线积分 J(x+y)dx+(x-y)dy ,其中 L 沿 x2 + y2 = a2(x > 0, y > 0),逆时针方L向。5 .计算JJ y5 Ji + x2 y6 dxdy ,其中D是由y = 3/x, x = -1及y =1所围成的区域 Dn6,判断级数Z 3 .二 的敛散性，并指出是条件收敛还是绝对收敛 n i n 1、. n7,将函数1展开成x的幕级数，并求其成立的区间。(1-x)(2 -x)得分四、解答题(本大题共3小题，每小题7分，共21分)1 .抛物面z=x2+y2被平面x + y+ z=1截成一椭圆，求原点到这椭圆的最长与 最短距离。二 (,1)nn

5、 .一 一2 .求幕级数Z ( 1)的和函数n 4 (n 1)!3 .设函数f(x)和g(x)有连续导数，且f(0)=1, g(0)=0, L为平面上任意简 单光滑闭曲线，取逆时针方向，L围成的平面区域为D,已知Qxydx+yf(x)+g(x)dy= Hyg(x)d。，D求 f (x)和 g(x)。参考答案一、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)1. (x,y)|y2 2x+1 >02. 33. 9yz2=0 4. yzxyz'dx 十zxyz ln xdy 十 yxyz ln xdz 5. 0 < p < 1二、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共1

6、5分)1. C 2. C 3. C4. B 5. A1.5CM三、计算题(本大题共7小题，每小题7分，共49分)1 .求微分方程y' + y =ex满足初始条件x = 0, y =2的特解。解：先求y'+y = 0的通解，得y=C1e， 2分采用常数变易法，设y=h(x)e/，得y'= h'(x)e*-h(x)e。3分代入原方程得 h'(x)e。h(x)e+h(x)e'=ex 4分得 h(x)e2x+C 5分2故通解为y=lex+Ce上 6分2将初始条件x=0, y=2JVM#C=3,故特解为y = ex +-e 2222 .计算二重积分-2yy

7、dxdy ,其中 D =(x,y):x2 + y2 M1,x + y 之 1 d x y解：& x =r cosQ, y = rsin8 1分一，.二1贝心工建一，一<r <1 3分2 sin 二 cos1所以 口 dxdy=2dJ1 r8s 1rsi%dr -220 2D x ysin -： cosr=2 (sin f cos1 -1)d-4 一二3 .设 z =z(x, y)为方程 2sin( x+2y3z) = x4y+3z确定的隐函数，求 一 十 < x .:y解：设 F(x, y,z) =x-4y+3z_2sin(x+2y-3z) 1分Fx -1 -2cos

8、(x 2y -3z), Fy =-4 -4cos(x 2y -3z), Fz =3 6cos(x 2y -3z)4分Jz _ _ Fx _ 2cos(x 2y -3z) -1 ix _ Fz _ 31 2cos(x 2y-3z)z _ Fy _ 4cos(x 2y -3z) 4飞一 一百一 31 2cos(x 2y-3z)所以 三卫=1.:xfy4 .求曲线积分f(x +y)dx +(x- y)dy,其中L沿x2 1 = -6x3 I(1 +x -y ) dx 4分 + y2 = a2(x20, y占0),逆时针L方向。角单：圆的参数方程为：x = acost, y =asint (0 Mt

9、M() 1分J(x + y)dx +(x - y)dy =0(acost +asint)dacost + J02 (acost -asint)dasint3 分Lg =a2 I2 (cos2tsin 2t)dt 4 分2二a -=一sin 2t +cos2t(26 分2_a2 7分(本题也可以利用“曲线积分与路径无关”来解)5.计算Jfy5 Ji +x2 y6 dxdy ,其中D是由y=3/x, x = -1及y =1所围成的区域。 D解：D =( x, y) | 3/x < y <1, -1 < x 1 1 分L11 L口 y Ji +x -y dxdy = Qdx Qy

10、川 +x - y dy 2分D1 131(|x|3 -1)dx9 2 2 . . 1 x=1 x x IH-1 -22 3(x3)dx96.判断级数Z(-1)nn的敛放性，并指出是条件收敛还是绝对收敛。解:(-1)nn 1n+1 布n+1而1.n（n）所以级数发散。 又可 L=( - 1)n(1 n 1. n显然，交错级数-(-1)nQ0(-1)nnd(n 1).n都收敛，所以原级数收敛。因此是条件收敛。7.将函数(1-x)(2 -x)展开成x的幕级数，并求其成立的区间。解:(1-x)(2-x) 1 -x 2 -x2 -x-21 I (|)2 HI (|x|：2)所以(1-x)(2 -x)n)

11、x成立范围冈：二1 四、解答题(本大题共3小题，每小题7分，共21分) 1.抛物面z =x2 + y2被平面x + y+z =1截成一椭圆，求原点到这椭圆的最长与最短距离。解：设椭圆上任一点P的坐标为P(x, y, z),P点满足抛物面和平面方程。原点到这椭圆上任一点的距离的平方为x2 y2 构造拉格朗日函数F =x2y2 z2: -(x2 y2 -z):i： -(x y z -1)Fx =2x+2x 九+ N =0Fy =2y +2y 九+ N =0« Fz=2z-九+ N=0F)=x2 +y2 z =0 /ljJF. I - x y z 7 = 01解得x(-1 -2得两个驻点为

12、P1=T+?-2+9,2-岛巳七-92-亭23)所以最短距离为.9-5/3 ,最短距离为，9 5,3二(-1)n n .一 一2.求幕级数£ ( 1)的和函数。7 n解：因为ex= n $ n!nm (n 1)!:=(-1)nxn,所以 e«=£ ( 1) x ,n=on!oOS(x)八n =0n n(T) nx(n 1)!oOn =0(T)n(n 1 T)xn(n 1)!COn =0(T)nxn!n-Zn $n n(一1) x(n 1)!n!qO z n 0J (1)nxn _ 1 J (1)nxn 1 _ 1 J (-1)n 1xn x= xe e -1x11

13、 xx=e e -x xn卫(n 1)! x n 0 (n 1)! xnR(n 1)!n n(-1) x1 1J-z x x n卫n!(-1)nxn1，(1)n- 2x |N.n!nx -1(x# 0 )n!一v 1VS(x)=e/ -(1-e)(x-0)所以故 S(x) =e*x1-1(1-e ) (x#0)6 分x当x=0时,S(x) =0 o另解:当X#0时,oO z n 1n n(-1) nx(n 1)!1 二 Jx n z!n n 1(-1) nx(n 1)!1 二(-1)nxJ ( 1)xnxnm _(n-1)! 0xJ I占1望dx =x 0 n|L(n-1)!I "-1(-1) ml °n/ (n-1)! JJTi!>dx当x=0时,S(x) =0 on n1 X v. (-1) x一 ：x?P dxx 0 n=0 n!1 x 二=-xedxx 01 x_xxdex 0g(0)=0, L为平面上任意简单3.设函数f(x)和g(x)有连续导数，且f(0)=1 光滑闭曲线，取逆时针方向，L围成的平面区域为D,已知xydx + yf(x)+g(x)dy = Hyg(x)d。，求 f (x)和 g(x) o解：由格林公式得fyf &#