必修5-解三角形知识点归纳总结

1、第一章解三角形.正弦定理：并且都等于外1.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等,接圆的直径，即sin A sin B2.变形:i)a- sin sincsinCcsinCa2R （其中R是三角形外接圆的半径）sin sin sin C2）化边为角:a :b: csin A: sin B :sin C a sin A b sin B a sin AJb sin B c化边为角:a 2Rsin A,b 2RsinB, c 2RsinC化角为边:sin Asin B化角为边:sin Aa-； ba2Rsin Bsin Csin Bb sin A ac' sin Cb,sin

2、C 2RJ cc2R3.利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题：已知两个角及任意一边，求其他两边和另一角; 例：已知角B,C,a,解法：由A+B+C=18°0,求角A,由正弦定理 晅A； - "B b sin B c sin Ca sin A t;求出b与cc sin C已知两边和其中一边的对角，求其他两个角及另一边。例：已知边a,b,A,解法：由正弦定理a . 求出角B,由A+B+C=18O0t出角C,再使用正 b sin B弦定理a当公求出c边 c sin C4. AABO,已知锐角A,边b,则absinA时，B无解；尸4， absinA或 a b 时，B 有一个解；

3、/bsinAbsinA a b时，B有两个解。/-r -v- A.,如：已知A 60 ,a 2,b 2向，求B （有一个解）已知A 60 ,b 2,a 243，求B （有两个解）注意：由正弦定理求角时，注意解的个数。.三角形面积1. S ABC11 . .12.3.S ABC4.S ABC-(a b c)r ,其中r是三角形内切圆半径.2. 1Jp(p a)(p b)(p c),其中 p (a b c),，2abc,R为外接圆半径4RabsinC bcsinA acsinB5. S ABC2R2sin Asin Bsin C ,R 为外接圆半径 三.余弦定理1 .余弦定理：三角形中任何一边的平

4、方等于其他两边平方的和减去这两边与它们 夹角的余弦的积的2倍，即a2 b2 c2 2bccos A222b a c 2accosB22,2cab 2abcosC2222 .变形：cos A -2bc22. 2a c b cosB 2ac2. 22a b c cosC 2ab注意整体代入，如：a2 c2 b2 ac cosB -23 .利用余弦定理判断三角形形状：设a、b、c是 C的角 、C的对边，则:+ 2_ 1金 43” 卜4n O J => 0 O/士 900若，.，所以工为锐角若c2 b2 a2A为直角/ +A2 七短 Oeos4 =4 0 O5 90*若凶,所以乂为钝角，则WC是

5、 钝角三角形4 .利用余弦定理可以解决下列两类三角形的问题：1）已知三边，求三个角2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角四、应用题1 .已知两角和一边（如 A、B、C）,由A+B+C=冗求C,由正弦定理求a、b.2 .已知两边和夹角（如a、b、c）,应用余弦定理求c边；再应用正弦定理 先求较短边所对的角，然后利用 A+B+C =兀，求另一角.3 .已知两边和其中一边的对角（如 a、b、A ,应用正弦定理求B,由A+B+C 二九求C,再由正弦定理或余弦定理求 c边，要注意解可能有多种情况.4 .已知三边a、b、c,应用余弦定理求A、B,再由A+B+C =兀，求角C.5 .方向角一般是指以

6、观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达成.正北或正南，北偏东XX度， 北偏西XX度，南偏东XX度，南偏西XX度.6 .俯角和仰角的概念：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上 方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角.五、三角形中常见的结论1）三角形三角关系：A+B+C=180; C=180 （A+B）;2）三角形三边关系：两边之和大于第三边：白+白白，白+5鼻；两边之差小于第三边： 代，"。出，c-ba .3）在同一个三角形中大边对大角：A B a b sin A sin B4） 三角形内的诱导公式：sin(A B) s

7、inC, cos(A B) cosC, tan(A B) tanC,A + B一产 C、Csin= sm()= cos22 y25)A B ., tan tan(一22两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin( a±B) = sin a cos B ±cos a sin 0.(2)cos(a±®=cos ocos 供sin osin 0tan 民 ±an S(3)tan(迂 9 =: 一口1?tan otan 66)二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin 2 a =2sin a cos a.(2)cos 2a =cos2a sin 2 a=2cos2 a 1 = 1 2sin 2 a .(3) sin21 cos2 2;cos1 cos2(4)tan 22tan a=d 22.1 tan