微专题07三角函数的图像与性质-2020高考数学(理)二轮复习微专题聚焦

1、专题07三角函数的图像与性质2020高考数学(理)二轮复习微专题聚焦【考情分析】三角函数试题：小题主要考查三角函数的图象与性质、图象变换。大题仍有可能 以三角形中的三角函数为背景，结合平面向量、正弦、余弦定理，考查三角公式的恒等变形， 和运算求解能力；也有可能考查三角函数的图像与性质， 结合实际问题考查三角函数的基本公 式、图象与性质、正、余弦定理，解三角形的实际应用题要高度关注。考点一 函数y Asin( x ) k(A 0,0)的图像变换【必备知识】1、函数y sinx的图象经变换得到y Asin( x ) (A 0,0)的图象的两种途径途径一：函数 y sinx的图象上所有 点向左(右)

2、平移|个单位 长度，得到 函数1y sin(x )的图象；再将函数y sin(x )的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的一倍(纵坐标不变)，得到函数y sin( x )的图象；再将函数y sin( x )的图象上所有点的纵坐标伸长(缩短)到原来的 A倍(横坐标不变)，得到函数y Asin( x )的图象.1途径二：函数y sin x的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的,倍(纵坐标不变)，得到函数y sin x的图象；再将函数y sin x的图象上所有点向左(右)平移一个单位长度，得到函数y sin( x )的图象；再将函数y sin( x)的图象上所有点的纵坐标伸长(缩短)到原来的

3、A倍(横坐标不变)，得到函数y Asin( x )的图象.2、函数 y Asin( x ) (A 0,0)的性质：振幅：A;周期：T 2-；频率：f 一 ；相位：x ;初相：2【典型例题】【例11 (2020 福建莆田10月月考)函数f(x)sin( x ) (0,-)的最小正周期为2其图像向左平移一个单位长度后关于原点对称,6则函数 f (x)在0,万上的最小值为()B 3 B. 2C.12A. 12【解析】因为函数f(x)sin( x )(0,一， ,2 万)的最小正周期为-所以 2,所以f(x)sin(2x ).将函数f(x)的图像向左平移个单位长度后，6可得函数 f(x) sin2(x

4、 -) sin(2x -)的图像.根据所得的图像关于原点对称，可得 一 k (k Z), 3因为 一，所以 -,所以函数f(x) sin(2x )233一，即x=0时，函数f(x)取得最小 3又因为x 0,所以2x -,故当2x 233 33【方法归纳提炼素养】整体把握问题的能力、数形结合的思想和函数思想,核心素养是数学建模函数 y Asin( x ) k(A 0,0)的图像变换模型解法:函数 y Asin( x ) k(A 0,0)的图像可以通过A, k由函数y sin x的图像变换得到.由A引起的变换称为振幅变换，由 引起的变换称为周期变换，它们均为伸缩变换;由 引起的变换称为相位变换，由

5、k引起的变换称为上下左右平移变换，它们都是平移变换.解决三角函数图像变换问题的两种方法分别为先平移后伸缩和先伸缩后平移.破解此类题的关键如下：(1)定函数：一定要看准是将哪个函数的图像变换得到另一个函数的图像.(2)变同名：函数的名称要一样.(3)选方法：即选择变换方法.要注意：对于函数y sin x(0)的图像，向左平移|个单位长度得到的是函数y sin (x )的图象，而不是函数y sin( x )的图像.【类比训练11函数y=cos (2x+ )(-冗&nt的图象向右平移1个单位长度后，与函数y=sin(2x+ -3) 的图象重合，则=.【解析】将y=cos (2x+ )的图象向

6、右平移;个单位长度后得到y=cos2(x-1)+ 的图象，化简得 y=-cos (2x+ )，又可变形为 y=sin(2x+ -；).由题意可得 -；=；+2k/k C Z)所以=5-? +2k/kezB合-冗&冗知=5.5答案：.6【类比训练2】已知函数f(x) sin( x ) (0),若f(x)的图象向左平移一个单位所得的图象3与f(x)的图象向右平移 后个单位所得的图象重合，则的最小值为.【解析】函数f(x)=sin(x+(|)(雄(岖)的图象向左平移一个单位所得的图象为3y sin (x -) sin( x -).33把f(x)的图象向右平移一个单位所得的图象为y sin (

7、x -) sin( x ),6L '66根据题意可得y sin( x )和丫 sin( x )的图象重合，3 6故 2k 求得=4k,故的最小值为 4.36答案：4考点二求函数y Asin( x ) k(A Q0)的解析式【必备知识】1、确定y Asin( x ) k(A 0,0)的解析式的模型解法：求A,k,确定函数的最大值M和最小值m,则A=比上,k=%. 22求确定函数的最小正周期T,则彳.常用的确定T的值的方法有：e相邻的两个对称中心或相邻的两条对称轴之间的距离为T ；2e相邻的一个对称中心与其相邻的一条对称轴之间的距离为-；4e最高点的横坐标与其相邻的最低点的横坐标之间的距离

8、为-；2e相邻的两个最低点(或最高点)之间的距离为t ；e有时还可以从图中看出 工或的值.4 4(3)求，常用方法有e代入法:把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上 )或把 图象的最高点或最低点代入.e五点法:确定 值时，往往以寻找 五点法”中的特殊点作为突破口 .具体如下：第一点”即图象上升时与x轴的交点)为x+小=0;第二点”即图象的峰点”为x+小1；第三点”即图象下降时与x轴的交点)为X+小=冗；第四点”即图象的谷点”为乂+小3；第五点”即图象上升时与X轴的交点)为x+小=2冗.【例2】函数y=Asin(x+)(A 0,0,)的部分图象如图所示，则()2一.

9、一5T、_.一5T、C.y=cos(4x+- )D.y=sin(2x+ -)【解析】由题中图象知,A=1,3T= g-(-5),所以T= =所以=2.又当x=1时,y=0,所以0=sin(2号+ )，所以 =丘谷,k C茶k=1时，=g,所以 y=sin(2x+ 2)，故选 D.【方法归纳提炼素养】整体把握问题的能力、数形结合的思想和方程思想， 核心素养是数学建模.自我总结：由三角函数图像求y=Asin(x+)(A 0,0)的解析式，通常由最高点或最低点确定A,由周期确定，由特殊点确定.其中对于 的求解，往往需结合题目中给出的的取值范围.在例2中，给定 的取值范围是一,通过解方程，对k Z赋值

10、法确定 =-.23【类比训练11函数f(x) cos( x )的部分图象如图所示，则A,的值为()A. 1,4B. 1C. 12 4D.1,【解析】,一，,5 1.由题图知，周期T= 2(5-1)4 42 ,A=12,所以二兀.-2k ,k 2Z,得42k ,k Z,不妨取一.故选A. 4【类比训练2已知函数f(x)=Asin(x+)(A>0,>0q< < 1),则函数g(x)=f(2x-1)的单调递增区间是()A. 4k-1,4k+1(k / Z)B. 4k+1,4k+3(k Z)C. 8k-2,8k+2(k Z)D. 8k+2,8k+6(k Z)【解析】显然A=3,

11、T=7-3=4，得二24所以 f(x)=3sin( ；x+，又 f(5)=3sin(? + )=-3，得=；,所以 f(x)=3sin( ?x+ ?),所以 g(x)=3sin /(2x-1)+ /=3sin £,由不等式 2kB-<2x<2k7t4,k Z,解得 4k-1<x<4k+；k Z,即函数g(x)的单调递增区间为4k-1,4k+1(k Z放选A.考点三求函数y Asin( x ) (A 0,0)的图像的周期性、单调性、对称性【必备知识】二函数 性版、y sin x y cosxy tanx：1;lr !I;图象yi1jrpY ,吊1'定义域

12、RRx x k , k 2值域1,11,1R最值当x 2k - k时，2y max 1 ；当x 2k - k时，2ymin1 当x 2k k 时，ymax 1 ；当x 2kk时，ymin1 既无最大值也无最小值周期性22奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在 2k -,2k-22k上是增函数；3在 2k,2k22k上是减函数.在 2k,2 k k上是增函数；在 2k ,2kk上是减函数.在 k 一, k 一22k上是增函数.对称性对称中心k ,0 k对称轴x k k2对称中心k ,0 k 2对称轴x k k对称中心"0 k无对称轴【例3】已知向量m (2cos2 x, V3),n(1,si

13、n 2x),设函数f (x) m n,则下列关于函数y f (x)A.图像关于直线x 对称12 5，一，B.图像关于点(言,0)对称C.周期为2口.在(一,0)上单调递增3【解析】由题意得f (x) 2 cos2 xI/-V3sin x cos2x J3sinx 1 2sin(2x ) 1, 6当 x 时，sin(2x ) sin 12631,所以函数f(x)的图像不关于直线x 12对称；一 5当 x 时，sin(2x )1260,2sin(2x -) 1 15 一,所以函数f(x)的图像关于点(石,1)对称;由f (x)的解析式易知函数f(x)的最小正周期T22，x ( ,0)时，2x 36

14、f(x)在在(90)上单调递增.的性质的描述正确的是()故选D.【方法归纳提炼素养】一一数学思想：整体代换、函数与方程思想、数形结合思想；核心素养是数学建模、数学运算1、周期的计算公式函数 y Asin( x ), y Acos( x ) (0)的周期为 T函数 y Atan( x )(0)的周期为T求解.2、奇偶性的判断方法三角函数中奇函数一般可化为 y Asin x或y A tan x的形式, 而偶函数一般可化为y Acos x b的形式.3、解决对称性问题的关键：熟练掌握三角函数的对称轴、对称中心 .方法：整体处理法、代入验证法对于函数y Asin( x ), y Acos( x ) (

15、0)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此在判断直线x a或点(,0)是否是函数的对称轴或 对称中心时，可通过检验“?)的值进行判断.4、确定函数y Asin( x ) (A 0,0)单调区间的方法采用换元”法整体代换，将'x '看作一个整体，可令2 x ”即通过求y Asin z的单调 区间而求出函数的单调区间.若 0,则可利用诱导公式先将x的系数转变为正数，再求单调区 问.【类比训练】已知函数f(x) 2sin(2x ) (0)，若将函数f(x)的图象向右平移一个单位6后关于y轴对称，则下列结论中不正确的是()5A. B.(一,0)是f

16、(x)图象的一个对称中心612C.f()2D.x 一是f(x)图象的一条对称轴6【解析】 函数f (x) 2sin(2x )的图象向右平移一个单位，可得g(x) 2sin(2x ),63且g(x) 2sin(2x )的图象关于y轴对称，所以 一 一k ,k Z,332解得5 k , k Z 当 k=0 时可得5，故 f(x) 2sin(2x 5),666所以 f( ) 2sin(5 5) 2sin 5 2, 362所以f( )2不正确.故选C.做高考真题提能力素养【选择题组】1、(2019全国卷II理T？下列函数中，以 万为周期且在区间(,万)单调递增的是()A. f(x)= | cos 2

17、|B. f(x)= | sin x |C. f(x)=cos x ID. f(x)= sin x|【解析】因为由y sin|x|图象知，不是周期函数,排除D；因为y cosx cosx,周期为2排除C,作出y |cos2x图象，由图象知，其周期为一,在区间(一,)单调递增，A正确；作124 2出y sin2x的图象，由图象知，其周期为在区间(工,万)单调递减，排除B,故选A.2、(2019全国卷III理T12设函数f x =sin ( x -) ( >0),已知f x在0,2 有且仅 5有5个零点，下述四个结论：e f x在(0,2 )有且仅有3个极大值点e f x在(0,2 )有且仅有

18、2个极小值点e f x在(0,行)单调递增,一 12 29的取值范围是-,-9)5 10其中所有正确结论的编号是B.A. 【解析】当x 0,2 时,Cf (x)在0,2 有且仅有5个零点，529后故C正确,6 知 x , 255559 一一，,一 一 .时取得极大值,正确;极小值点不确定，可能是2个也可能是3个，e不正确;因此由选项可知只需判断e是否正确即可得到答案,当 x 0,一10时，x - 52)10，若 f (x)0,一单调递增，则10£ 5 ,即 <3，29空，故e正确.10故选:D.3、（2018天津高考理科 T6）函数y=sin（2x + :）的图象向右平移算个单

19、位长度，所得图象对应的 510函数（）A.在区间号,上单调递增B.在区间? u止单调递减C.在区间；言上单调递增D.在区间彦,2 nt止单调递减【解析】选A.因为将函数y=sin(2x + 5)的图象向右平移七个单位长度彳马到函数y=sin2x的图象.用五点法作出草图，如图:从图中可以看出选项A正确，其他都不正确.4、(2017全国丙卷理科 T跳函数f(x)=cos(x+),则下列结论错误的是()A.f(x)的一个周期为-2冗B.y=f(x)的图像关于直线x= 8-对称3C.f(x+ 的一个零点为x=- D.f(x)在一，单调递减62【解析】选D.当xC ,时,x+ e 5-,，函数在该区间内

20、不单调. 236325、(2017全国乙卷理科 T9)知曲线Ci:y=cosx,C2：y=sin 2x 一，则下面结论正确的是()3A.把Ci上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 9个单位长度,得到曲线C2B.把Ci上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 一个单位长 12度将到曲线C2C.把C1上各点的横坐标缩短到原来的1倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移g个单位长度将到曲线C2D.把C1上各点的横坐标缩短到原来的1倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 ;个单位长度，得到曲线C2【解析】选 D.Ci :y=cosx,C2:y=sin 2x 一3y=cosx=cos首先把曲线Ci,C2统一为同一三角函数名，可将Ci：y=cosx用诱导公式处理.x =sin x 一 .横坐标变换